1、专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题1 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 =1，则（A）f(0)=0 且 f (0)存在（B） f(0)=1 且 f (0)存在（C） f(0)=0 且 f (0)存在（D）f(0)=1 且 f (0)存在2 设 f(x)=e2+ ，则 f(x)= ( )3 设函数 f(x)=xsinx，则 f( )= ( )（A）（B） 1（C）（D）24 函数 f(x)= 在 x=0 处 ( )（A）连续且可导（B）连续且不可导（C）不连续（D）不仅可导，导数也连续5 设 y=x2+2x 一 1(x0)，则其反函数 x=(y)在 y=
2、2 处导数是 ( )6 已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， =2，则在点 x=0 处 f(x) ( )（A）不可导（B）可导且 f(0)0（C）取得极大值（D）取得极小值7 函数 y=ex+arctanx 在区间一 1，1上 ( )（A）单调减少（B）单调增加（C）无最大值（D）无最小值8 设函数 f(x)满足关系式 f(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则 ( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的
3、拐点9 设 f(x)在0，a上二次可微，且 xf(x)一 f(x)0，则 在区间(0，a)内是 ( )（A）单调减少（B）单调增加（C）有增有减（D）不增不减10 点(0 ，1) 是曲线 y=ax3+bx2+c 的拐点，则有 ( )（A）a=1 ，b=一 3，c=1（B） a0，b=0，c=1（C） a=1，b=0，c 为任意（D）a、b 为任意， c=1二、填空题11 设 f(x)=g(x)，则 f(sin2x)=_12 设 y=(3x+1)27，则 y(27)=_13 若 f(x0)=1，f(x 0)=0，则 =_14 函数 F(x)=1x(2 )dt(x0)的单调递减区间是_15 设点(
4、x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点，且 f(x0)0，则 f(x0)必定_16 当 h0，f(x 0+3h)一 f(x0)+2h 是 h 的高阶无穷小量，求 f(x0)17 求曲线 处的切线方程18 设 f(x)在 x=1 处有连续导数，且 f(1)=2，求 19 设 y=y(x)由 所确定，求 20 计算 lnl01 的近似值20 给定曲线 y= 。21 求曲线在横坐标为 x0 的点处的切线方程；22 求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度23 设 f(x)在a，b上可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：至少存在 (a，b)，使 f()+f()=024 设 f(x)在0，c上
5、有定义，f (x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0aba+bc，恒有 f(a+b)f(a)+f(b)25 证明：当 0x ，sinx+tanx2x26 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0， =1，证明至少存在一个 (0，1)，使 f()=127 设一物体下端为直圆柱，上端为半球形，如果此物体的体积为 V，问这物体的尺寸各是多少时，才能使其表面积最小?专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，且 =1，所以 f(0)=0从而有 =f (0)，故选 C【知
6、识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 f (x)=(e2)+ 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=sinx+xcosx，所以 =1【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =0=f(0)，所以函数在 x=0 处连续；又因 不存在，所以函数在 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 y=x 2+2x 一 1(x0)，y =2x+2，y=2 时，x=1 或 x=一 3(舍)，y (1)=4，所以 x=(y)在 y=2 处的导数为 (2)= ，故选 A【知识模块】 一元函数微
7、分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 0，由极限的保号性知，存在 x=0 的某个邻域使0，因此在该邻域内有 f(x)f(0) ，所以 f(x)在 x=0 处取极小值，故选 D【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 因 y=ex+ 0 处处成立，于是函数在(，+)内都是单调增加的，故在一 1，1 上单调增加，在区间端点处取得最值【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=0 及 f(x)+f(x)2=x 知 f(0)=0 且 f(x)=x 一f (x)2，又x，f (x)可导，所以 f(x)可导，于是 f(x)=12f(x)f(x)，f
8、 (0)=10，而 f(0)=，故 f(x)在 x=0 左、右两侧异号，故选 C【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 在区间(0，a)内单调减少【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 (0，1) 在曲线上，所以 c=1，y =3ax2+2bx，y =6ax+2b，(0，1)为拐点，所以 y(0)=0，得 a0，b=0 ，故选 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 g(sin 2x)sin2x【试题解析】 f(sin2x)=f(sin2x)(sin 2x)=2sinxcosxf(sin2x)=sin2xg(sin2x)【知识模
9、块】 一元函数微分学12 【正确答案】 3 2727！【试题解析】 对于形如 y=(ax+b)n 的函数，其 k 阶导为 y(k)= ak(ax+b)nk ，对于此题 n=k=27，a=3，b=1，所以 y(27)=27！3 27【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 一 1【试题解析】 =f (x0)=1【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 0x【试题解析】 由 F(x)=1x(2 一 )dt(x0)，则 F(x)=2 一 令 F(x)=0，得时，F (x)0，F(x)单调递减【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 不存在【试题解析】 拐点是二阶导数为 0 的点或是
10、二阶导数不存在的点【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 因为 h0，f(x 0+3h)f(x 0)+2h 是 h 的高阶无穷小量，即 所以，3f(x0)+2=0，即 f(x0)= 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 则根据点斜式求得切线方程为 y=a+x 一 a 一 1)=x+2a【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 ，由隐函数求导【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 由微分定义可知 f(x+x)=f(x)+f(x)x，令 f(x)=lnx，则ln101=f(1 01)=f(1)+f (1)001=0+1
11、001=001【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 由 y= 可知曲线 y= 在横坐标为 x0 的点处的切线方程为【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由切线方程 y 一 (xx0)分别令 y=0，x=0 可求得该切线在 x轴，y 轴上的截距分别为 设该切线被两坐标轴所截线段长度为 L，则L2=X2Y 2= 令 =0，得驻点 x0= 由此可知，L 2 在 x0= 处取得极小值，即最小值，【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 因e xf(x)=exf(x)+exf(x)=exf(x)+f(x)，故设 F(x)=exf(x)，显然 F(x)
12、在a ，b上连续且可导，F(a)=F(b)=0 由罗尔定理，至少存在 (a，b)，使 F()=0即 eF()+f()=0，e 0，则 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 在0，a 上用拉格朗日中值定理得 f(a)一 f(0)=f()(a 一 0)，(0a) 即有 f(a)=af ()， (0a) 再对 f(x)在b，a+b上应用拉格朗日中值定理得 f(b+a)=f(b)+f ()a，(b a+b) 因为 f(x)单调减少，且 ab，则有 f()f ()，而 a0，故 af()af()，于是 f(a+b)f(b)+af ()=f(b)+f(a)【知识模块】 一元函数
13、微分学25 【正确答案】 设 f(x)=sinx+tanx 一 2x，f (x)=cosx+sec2x 一 2，f (x)=一sinx+2sec2xtanx=sinx(2sec3x 一 1)0，x(0， )，因此 f(x)单调增加，故 f(x)f (0)=0，因此 f(x)单调增加，故 f(x)f(0)=0，即 sinx+tanx2x,x (0， )【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 x，则有 F(0)=f(0)一 0=0，F(1)=f(1)一 1=一 10，0又 F(x)在 ，1上连续，故由零点定理知，存在 ( ，1)，使F()=0，在0，上利用罗尔定理知，至少存在 (0，) (0，1)，使 F()=0，f ()=1【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 设底面半径为 r，圆柱高为 h，则 V=r2h+ r3，S=3r 2+2rh，经验证其为极小值点，在此问题中也为最小值点，r 代入 h 中解得 h= ，所以底面半径和直圆柱的高均为 时，S 有最小值【知识模块】 一元函数微分学
