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[专升本类试卷]专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3及答案与解析.doc

1、专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题1 设函数 f(x)在 x=0 处连续,且 =1,则(A)f(0)=0 且 f (0)存在(B) f(0)=1 且 f (0)存在(C) f(0)=0 且 f (0)存在(D)f(0)=1 且 f (0)存在2 设 f(x)=e2+ ,则 f(x)= ( )3 设函数 f(x)=xsinx,则 f( )= ( )(A)(B) 1(C)(D)24 函数 f(x)= 在 x=0 处 ( )(A)连续且可导(B)连续且不可导(C)不连续(D)不仅可导,导数也连续5 设 y=x2+2x 一 1(x0),则其反函数 x=(y)在 y=

2、2 处导数是 ( )6 已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续,且 f(0)=0, =2,则在点 x=0 处 f(x) ( )(A)不可导(B)可导且 f(0)0(C)取得极大值(D)取得极小值7 函数 y=ex+arctanx 在区间一 1,1上 ( )(A)单调减少(B)单调增加(C)无最大值(D)无最小值8 设函数 f(x)满足关系式 f(x)+f(x)2=x,且 f(0)=0,则 ( )(A)f(0)是 f(x)的极大值(B) f(0)是 f(x)的极小值(C)点 (0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点(D)f(0)不是 f(x)的极值,点(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的

3、拐点9 设 f(x)在0,a上二次可微,且 xf(x)一 f(x)0,则 在区间(0,a)内是 ( )(A)单调减少(B)单调增加(C)有增有减(D)不增不减10 点(0 ,1) 是曲线 y=ax3+bx2+c 的拐点,则有 ( )(A)a=1 ,b=一 3,c=1(B) a0,b=0,c=1(C) a=1,b=0,c 为任意(D)a、b 为任意, c=1二、填空题11 设 f(x)=g(x),则 f(sin2x)=_12 设 y=(3x+1)27,则 y(27)=_13 若 f(x0)=1,f(x 0)=0,则 =_14 函数 F(x)=1x(2 )dt(x0)的单调递减区间是_15 设点(

4、x 0,f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点,且 f(x0)0,则 f(x0)必定_16 当 h0,f(x 0+3h)一 f(x0)+2h 是 h 的高阶无穷小量,求 f(x0)17 求曲线 处的切线方程18 设 f(x)在 x=1 处有连续导数,且 f(1)=2,求 19 设 y=y(x)由 所确定,求 20 计算 lnl01 的近似值20 给定曲线 y= 。21 求曲线在横坐标为 x0 的点处的切线方程;22 求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度23 设 f(x)在a,b上可导,且 f(a)=f(b)=0,证明:至少存在 (a,b),使 f()+f()=024 设 f(x)在0,c上

5、有定义,f (x)存在且单调减少,f(0)=0,证明对于0aba+bc,恒有 f(a+b)f(a)+f(b)25 证明:当 0x ,sinx+tanx2x26 设 f(x)在0,1上连续,在 (0,1)内可导,且 f(0)=f(1)=0, =1,证明至少存在一个 (0,1),使 f()=127 设一物体下端为直圆柱,上端为半球形,如果此物体的体积为 V,问这物体的尺寸各是多少时,才能使其表面积最小?专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷 3 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续,且 =1,所以 f(0)=0从而有 =f (0),故选 C【知

6、识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 f (x)=(e2)+ 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=sinx+xcosx,所以 =1【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =0=f(0),所以函数在 x=0 处连续;又因 不存在,所以函数在 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 y=x 2+2x 一 1(x0),y =2x+2,y=2 时,x=1 或 x=一 3(舍),y (1)=4,所以 x=(y)在 y=2 处的导数为 (2)= ,故选 A【知识模块】 一元函数微

7、分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 0,由极限的保号性知,存在 x=0 的某个邻域使0,因此在该邻域内有 f(x)f(0) ,所以 f(x)在 x=0 处取极小值,故选 D【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 因 y=ex+ 0 处处成立,于是函数在(,+)内都是单调增加的,故在一 1,1 上单调增加,在区间端点处取得最值【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=0 及 f(x)+f(x)2=x 知 f(0)=0 且 f(x)=x 一f (x)2,又x,f (x)可导,所以 f(x)可导,于是 f(x)=12f(x)f(x),f

8、 (0)=10,而 f(0)=,故 f(x)在 x=0 左、右两侧异号,故选 C【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 在区间(0,a)内单调减少【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 (0,1) 在曲线上,所以 c=1,y =3ax2+2bx,y =6ax+2b,(0,1)为拐点,所以 y(0)=0,得 a0,b=0 ,故选 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 g(sin 2x)sin2x【试题解析】 f(sin2x)=f(sin2x)(sin 2x)=2sinxcosxf(sin2x)=sin2xg(sin2x)【知识模

9、块】 一元函数微分学12 【正确答案】 3 2727!【试题解析】 对于形如 y=(ax+b)n 的函数,其 k 阶导为 y(k)= ak(ax+b)nk ,对于此题 n=k=27,a=3,b=1,所以 y(27)=27!3 27【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 一 1【试题解析】 =f (x0)=1【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 0x【试题解析】 由 F(x)=1x(2 一 )dt(x0),则 F(x)=2 一 令 F(x)=0,得时,F (x)0,F(x)单调递减【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 不存在【试题解析】 拐点是二阶导数为 0 的点或是

10、二阶导数不存在的点【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 因为 h0,f(x 0+3h)f(x 0)+2h 是 h 的高阶无穷小量,即 所以,3f(x0)+2=0,即 f(x0)= 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 则根据点斜式求得切线方程为 y=a+x 一 a 一 1)=x+2a【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 ,由隐函数求导【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 由微分定义可知 f(x+x)=f(x)+f(x)x,令 f(x)=lnx,则ln101=f(1 01)=f(1)+f (1)001=0+1

11、001=001【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 由 y= 可知曲线 y= 在横坐标为 x0 的点处的切线方程为【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由切线方程 y 一 (xx0)分别令 y=0,x=0 可求得该切线在 x轴,y 轴上的截距分别为 设该切线被两坐标轴所截线段长度为 L,则L2=X2Y 2= 令 =0,得驻点 x0= 由此可知,L 2 在 x0= 处取得极小值,即最小值,【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 因e xf(x)=exf(x)+exf(x)=exf(x)+f(x),故设 F(x)=exf(x),显然 F(x)

12、在a ,b上连续且可导,F(a)=F(b)=0 由罗尔定理,至少存在 (a,b),使 F()=0即 eF()+f()=0,e 0,则 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 在0,a 上用拉格朗日中值定理得 f(a)一 f(0)=f()(a 一 0),(0a) 即有 f(a)=af (), (0a) 再对 f(x)在b,a+b上应用拉格朗日中值定理得 f(b+a)=f(b)+f ()a,(b a+b) 因为 f(x)单调减少,且 ab,则有 f()f (),而 a0,故 af()af(),于是 f(a+b)f(b)+af ()=f(b)+f(a)【知识模块】 一元函数

13、微分学25 【正确答案】 设 f(x)=sinx+tanx 一 2x,f (x)=cosx+sec2x 一 2,f (x)=一sinx+2sec2xtanx=sinx(2sec3x 一 1)0,x(0, ),因此 f(x)单调增加,故 f(x)f (0)=0,因此 f(x)单调增加,故 f(x)f(0)=0,即 sinx+tanx2x,x (0, )【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 x,则有 F(0)=f(0)一 0=0,F(1)=f(1)一 1=一 10,0又 F(x)在 ,1上连续,故由零点定理知,存在 ( ,1),使F()=0,在0,上利用罗尔定理知,至少存在 (0,) (0,1),使 F()=0,f ()=1【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 设底面半径为 r,圆柱高为 h,则 V=r2h+ r3,S=3r 2+2rh,经验证其为极小值点,在此问题中也为最小值点,r 代入 h 中解得 h= ,所以底面半径和直圆柱的高均为 时,S 有最小值【知识模块】 一元函数微分学

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