1、专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 设 y=f(x)在点 x=1 处可导,且 =2,则 f(1)= ( )(A)2(B) 1(C)(D)02 若函数 y=f(x)有 f(x0)= ,则当 x0 时,该函数在 x=x0 处的微分 dy 是 ( )(A)与x 等价的无穷小(B)与 x 同阶的无穷小(C)比 x 低阶的无穷小(D)比x 高阶的无穷小3 设函数 y=3x+1,则 y= ( )(A)0(B) 1(C) 2(D)34 设函数 f(x)满足 f(sin2x)=cos2x,且 f(0)=0,则 f(x)= ( )5 设 f(ex)= ,则 f(x)= (
2、)6 曲线 y=x3(x 一 4)的拐点个数为 ( )(A)1 个(B) 2 个(C) 3 个(D)0 个7 设函数 f(x)=(1+x)ex,则函数 f(x) ( )(A)有极小值(B)有极大值(C)既有极小值又有极大值(D)无极值8 设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值,则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处( )(A)必取极大值(B)必取极小值(C)不可能取极值(D)是否取极值不能确定9 下列函数在给定区间满足拉格朗日定理条件的有 ( )(A)y=x,一 1,1(B) y=cosx,0,(C) y= , 一 1,1(D)y= ,一 2,210 设 x=x0
3、为 y=f(x)的驻点,则 y=f(x)在 x0 处不一定 ( )(A)连续(B)可导(C)取得极值(D)曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x 0)处的切线平行于 x 轴二、填空题11 曲线 y=x+cosx 在点(0,1)处的切线的斜率 k=_12 设 f(x)= ,而 h(t)满足条件 h(0)=3,h (t)=sin2(t ),则 fh(t) t=0=_13 设 y=22arccosx,则 dy=_14 当 x=1 时, f(x)=x3+3px+q 取到极值( 其中 q 为任意常数),则 p=_15 设函数 f(x)=x2pxq,有 (a,b)满足a,b上的拉格朗日中值定理,则=_16
4、 设 f(x)= 讨论 f(x)在 x=0 处的连续性和可导性17 设 y=excos 3xlnx ,求 y18 设 y=y(x)是由方程 2yx=(xy)ln(xy)确定的隐函数,求 dy19 设函数 y=f(x)由方程 xef(y)=ey 所确定,其中 f 具有二阶导数,且 f1,求 20 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导,且 f(x)=ef(x),f(2)=1,计算 f(n)(2)21 设函数 y=alnx+bx2+5x 在 x=1 处取极值且 x= 为其拐点横坐标,求 a,b 之值22 设 f(x)在a,b上二阶可导,且恒有 f(x)0,证明:若方程 f(x)=0 在(a,b
5、)内有根,则最多有两个根23 设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b) 内可导,且 f(a)=f(b)证明:若 f(x)不恒为常数,则至少 (a,b),有 f()024 求证方程 3x 一 1 一 0x dt=0 在区间(0 ,1)内有唯一根24 已知函数 f(x)在区间0,1上连续,在区间(0,1) 内可导,且 f(0)=0,f(1)=1,证明:25 存在 (0,1),使得 f()=1 一 ;26 存在两个不同的 , (0,1),使得 f()f()=127 证明对任意常数 ab ,都有 sinb 一 sinab 一 a28 一艘轮船甲以 20 海里小时的速度向东行驶,同一时间另一艘轮船乙
6、在其正北82 海里处以 16 海里小时的速度向南行驶,问经过多少时间后,两船相距最近?29 将长为 a 的铁丝切成两段,一段围成正方形,另一段围成圆形,问这两段铁丝各长多少时,正方形与圆形面积之和最小专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 y=f(x)在点 x=1 处可导,则 y=f(x)在点 x=1 处必连续,所以有f(1)= =2【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 按照微分定义,在 x=x0 处,dy=f (x0)x= x,当x0 时,dy与x 为同阶无穷小,故选 B【知识模块】 一元函数微分学3
7、 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y=3x+1,故 y=3,y =0【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 f (sin2x)=cos2x=1sin 2x,令 =sin2x,故 f()=1一 ,所以 f()=一 2+C,由 f(0)=0,得 C=0,所以 f(x)=x x2【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 令 t=ex,则 x=lnt,代入原函数得 f(t)= (ln 2t)= ,故选 A【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 因 y=x4 一 4x3,于是 y=4x3 一 12x2,y =12x2 一 24x=12x
8、(x 一 2),令y=0,得 x=0,x=2;具有下表: 由表知,函数曲线有两个拐点为 (0,0),(2,一 16)【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(x)=(1+x)ex,且处处可导,于是,f (x)=ex+(1+x)e x=(x2)e x,令 f(x)=0 得驻点 x=一 2;又 x一 2 时,f (x)0; x2 时,f (x)0;从而 f(x)在 x=一 2 处取得极小值,且 f(x)只有一个极值【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 (1)f(x)=(1 一 x2)3 和 g(x)= 都在 x=0 处取得极大值,但 f(x)g(
9、x)=一 1 在 x=0 不取极值;(2)f(x)=一 x3 和 g(x)=一 x4 都在 x=0 取得极大值,但 f(x)g(x)=x6 在 x=0 取极小值,针对不同情形,F(x)在 x=a 处是否取极值不能确定,故选 D【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 A 选项中,函数在 x=0 处不可导;C 选项中,函数在 x=0 处不可导;D 选项中,函数在 x=1 处不连续;B 选项中,函数在0,连续,在(0,)可导,符合拉格朗日中值定理条件,故选 B【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 驻点是导数为零的点,所以 A、B 项正确,由导数的几何意
10、义可知D 项正确,驻点不一定是极值点,故选 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 因为 y=x+cosx,所以 y=1 一 sinx,y (0)=1,即所求的切线斜率k=1【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 fh(t) t=0=fh(t)h (t) t=0=fh(0)sin 2 ,f (x)= 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 由 y=22arccosx,则 y=一 22arccosx2 ln2,所以 dy=一ln2 dx【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 一 1【试题解析】 f (x)=3
11、x2+3p,在 x=1 处可导,则 f(1)=3+3p=0,所以 p=一 1【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f()= =b+a+p,即有 2+p=b+a+p,故 =【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 因 =1故 =1=f(0),f(x)在 x=0 处连续,又 故 f(x)在x=0 处连续、可导,且 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 对 y=excos 3xlnx 两边取对数得 lny=x+3ln(cosx)ln(lnx),两边对 x 求导得 ,解得 y= 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 利
12、用一阶微分的形式不变性得 2dydx=(dxdy)ln(xy)+(xy) (dxdy),所以3+ln(xy)dy=2+ln(xy)dx,因此 dy= dx【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 方程两边先取对数再求导得:lnx+f(y)=y,方程两边对 x 求导可得:+f(y)y=y,再对 x 求导,一 +f(y)(y)2+f(y)y=y,代 y并解出:y =一 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 对 f(x)=ef(x)两边求导数得 f (x)=ef(x)f (x)=e2f(x), 两边再求导数得 f(x)=e2f(x)2f (x)=2e3f(x), 两边再求导数得 f
13、(4)(x)=2e3f(x)3f (x)=3!e 4f(x) 由以上导数规律可得 f (n)(x)=(n 一 1)!e nf(x), 所以 f(n)(2)=(n 一 1)!e n【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 y = 2bx+5,y = +2b,又有已知条件可得 y(1)=a+2b+5=0, y( )=4a+2b=0,联立解得 a=一 1,b=一 2【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 按题意,不需要证明根的存在性,只需证明 f(x)=0 若在(a,b)内有根,则最多有两个根用反证法,设 f(x)在(a ,b)内有三个根 x1,x 2,x 3,且设ax 1x 2x 3
14、b,即有 f(x1)=f(x2)=f(x3)=0,现分别在区间x 1,x 2与x 2,x 3上应用罗尔定理,有 f(1)=0, 1(x1,x 2);f (2)=0, 2(x2,x 3),又 f(x)在 1, 2上也显然满足罗尔定理条件,于是有 f()=0,( 1, 2) (a,b),这与假设 f(x)0矛盾,故 f(x)=0 在(a ,b)内最多有两个根【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 因为 f(a)=f(b),且 f(x)不恒为常数所以至少存在 x0(a,b),使f(x0)f(a),则 f(x0)f(a)或 f(x0)f(a) 不妨设 f(x0)f(a),则在x 0,b上用拉格
15、朗日中值定理得至少存在 (x0,b)(a ,b),有 f()= 0对于 f(x0)f(a)情形同理可证【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 设 f(x)=3x 一 1 一 0x dt,f(x)在0,1内连续,f(0)=一 1,f(1)=31 一 01 ,因为 f(0)f(1)0,所以,由零点定理可知,存在一点 (0,1),使得 f()=0,又 f(x)=3 一 0。则 f(x)是单调增加的,故存在唯一的 (0,1)使得 f()=0,即结论得证【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 设 F(x)=f(x)一 1+x,0x1,则 F(x)在区间0 ,1
16、上连续因为 F(0)=一 10,F(1)=10,所以由零点定理,存在 (0,1),使得 F()=0,即 f()=1 一 ;【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 由题设,函数 f(x)在区间0 , 上连续,在区间 (0,)内可导,于是由拉格朗日中值定理,存在 (0,) (0,1),使得 f()= 同样,由题设,函数 f(x)在区间,1上连续,在区间(,1)内可导,于是由拉格朗日中值定理,存在 (,1) (0,1),使得 f()= 因为 (0,),(,1),于是存在两个不同的 ,(0,1) ,使得 f()f()=1【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 sinbsinaba 1令
17、 f(x)=sinx,则 f(x)在a ,b上满足拉格朗日中值定理,所以,存在 (a,b),使 =f()=cos1【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 设经过 t 小时两船相距 S 海里,则 S= ,即 S2=(8216t)2+(20t)2,所以(S 2)=2(8216t)(一 16)+220t 20,令(S 2)=0,得驻点 t=2,即经过两小时后两船相距最近【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 设正方形长度为 x,则圆形周长为 a 一 x那么正方形边长为 ,则圆形半径为 它们的面积之和 S= ,S = ,令 S=0,则有唯一驻点 x=,即当 x= 时,S 取得最小值因此, 【知识模块】 一元函数微分学
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