1、专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题1 设 f(x)在 x=0 处可导,则 = ( )(A) f(0)(B) f(0)(C) 2f(0)(D)f (0)2 设函数 y=ex2 ,则 dy= ( )(A)e x3 dx(B) ex2 dx(C) ex1 dx(D)e xdx3 下列函数中,在 x=0 处可导的是 ( )(A)y=x(B) y=(C) y=x3(D)y=lnx4 f(x)=(x+1)(x+2)(x+100),则 f(一 1)= ( )(A)100!(B) 99!(C) (D)一 99!5 曲线 y= ( )(A)有一个拐点(B)有两个拐点(C)有三
2、个拐点(D)无拐点6 函数 y=ex+ex 的单调增加区间是 ( )(A)(一, +)(B) (一,0(C) (一 1,1)(D)0 ,+)7 函数 f(x)= 在0,3上满足罗尔定理,则 = ( )(A)2(B) 3(C) 0(D)18 设 y=f(x)在0,1上连续,且 f(0)0,f(1)0,则下列正确的是 ( )(A)y=f(x)在0,1上可能无界(B) y=f(x)在 0,1上未必有最小值(C) y=f(x)在 0,1上未必有最大值(D)方程 f(x)=0 在(0,1)内至少有一个实根二、填空题9 设函数 y=(x 一 3)4,则 dy=_10 设 y=x2ex,则 y(10) x=
3、0=_11 x= ,y=t 3,则 =_12 曲线 y= 的水平渐近线方程为_13 f(x)=xex,则 f(n)(x)的极小值点为 _14 讨论 f(x)= 在 x=0 处的可导性15 求曲线 y=ex 上通过原点的切线方程及和直线 x+y=2 垂直的法线方程16 函数 y=y(x)由方程 ey=sin(x+y)确定,求 dy17 求函数 y= 的导数 已知 f()可微18 设 f(x)在 x0 点可导,求 19 已知 g(x)=af2(x)且 f(x)= ,证明:g (x)=2g(x)20 已知曲线 y=ax4+bx2+x23 在点(1,6) 处与直线 y=11x 一 5 相切,求 a,b
4、21 设 f(x)在0,+)上连续,f(0)=0,f (x)在(0,+)内恒大于零,证明 g(x)= 在(0,+) 内单调增加22 设 f(x)在a,b上具有一、二阶导数,f(a)=f(b)=0,又 F(x)=(x 一 a)2f(x)证明F(x)在(a,b)内至少存在一点 ,使 F()=023 当 0x 时,证明 24 设函数 f(x)在0,1上连续,在 (0,1)内可导,且 f(0)=0,k 为正整数,求证:存在一点 (0,1)使得 f()+kf()=f()25 证明当 x0 时,有 26 某企业计划生产一批服装 a 件,分若干批进行生产,设生产每批服装需要固定支出 1000 元,而每批生产
5、直接消耗的费用与产品数量的平方成正比,已知当每批服装生产数量是 40 件时,直接消耗的生产费用是 800 元,问每批服装生产多少件时,才能使总费用最少?专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷 3 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=ex2 ,y =ex2 ,所以 dy=ex2 dx【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中,y=x,在 x=0 处左右导数不相同,则 y=x在 x=0处不可导;选项 B 中, 在 x=0 处无定义,即 y= 在 x=0 处不可导;选项 C中
6、,y=x 3,y =3x2 处处存在,即 y=x3 处处可导,也就在 x=0 处可导;选项 D 中,y=lnx 在 x=0 点没定义,所以 y=lnx 在 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由导数的定义可知 f(一 1)= = (x+2)(x+100)=99!【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 因 y= ,则 y在定义域内恒不等于 0,且无二阶不可导点,所以无拐点【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 y=e x+ex ,则 y=ex 一 ex = ,令 y0,则 x0,所以 y 在区间0,+) 上单调
7、递增【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)= ,得 f(0)=f(3)=0又因 f(x)= ,故 f()=0,所以=2【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 函数在闭区间上连续,则在该区间必定有界,且存在最大、最小值,由零点定理可知选项 D 正确【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 4(x 一 3)3dx【试题解析】 因为 y=(x 一 3)4,y =4(x 一 3)3,则 dy=4(x 一 3)3dx【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 90【试题解析】 y =2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex(
8、x+1)2 一 1, y =ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex(x+2)2 一 2, y =ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex(x+3)2 一 3, y (10)=ex(x+10)2 一10, 所以 y(10) x=0=90【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 一 3t2(1+t)2【试题解析】 =一 3t2(1+t)2【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 y=【试题解析】 的水平渐近线【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 x=一(n+1)【试题解析】 f (x)=ex+xex=(x+1)ex,f (x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex,
9、f (x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex,f (n)(x)=(x+n)ex,故(f (n)(x)=f(n1) (x)=(x+n+1)ex=0,则 x=一(n+1),显然当 x一(n+1)时,f (n1) (x)0;当 x一(n+1)时,f (n1) (x)0,因此 f(n)(x)的极小值点为 x=一(n+1) 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 f (0)= =0,f (0)= =0故函数在 x=0 处可导且 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 曲线 y=ex 上任一点(x 0,e x 0)处的切线方程为 y=ex 0=一(e x) x=x0(xx0
10、),即 y ex 0=一 ex 0(xx0) 因切线过原点,则将 x=0,y=0 代入得 x0=一 1,则切点为( 一 1,e) ,故过原点的切线方程为 y=一 ex 又曲线 y=ex上任意点的法线方程为 yex 0=ex0(xx0),因法线与 x+y=2 垂直,故有 e x0(一1)=一 1,得 x0=0,从而所求法线方程为 y=x+1【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 将 ey=sin(x+y)两边对 x 求导,有 eyy =cos(xy)(1+y ),所以 y=dx【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 设 y=f(),= 2,=sint,t= ,则【知识模块】 一元
11、函数微分学18 【正确答案】 =2f(x0)【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 g (x)=(af2(x)=lnaa f2(x)f 2(x)=lnaa f2(x)2f(x)f (x),又 f(x)=,所以 g(x)=lnaa f2(x)2f(x) =2af2(x)=2g(x)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 曲线过点(1,6),即点(1,6) 满足曲线方程, 所以 6=a+b+4, 再 y=4ax2+3bx2+2x,且曲线在点(1,6)处与 y=11x 一 5 相切,所以y x=1=4a+3b+2=11, 联立解得 a=3,b= 一 1【知识模块】 一元函数微分学21
12、 【正确答案】 方法一 因为 f(x)0,所以 f(x)在(0,+) 单调增加,故 f(x)f (),即 g(x)0,从而 g(x)在(0,+)单调增加方法二 g (x)= ,欲证分子(x)=f(x)x f(x)大于零,因为 (x)=f(x)x+f(x)一 f(x)=f(x)x0(x0),所以 x0时 (x)单调增加,即 (x)(0)=0,故当 x0,g(x)在(0,+)内单调增加【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 显然,F(x)在a,b 上满足罗尔定理条件,故存在 (a,b) ,使F()=0,又由 F(x)=2(x 一 a)f(x)+(x 一 a)2f(x),知 F(a)=0因此
13、,F (x)在a ,上满足罗尔定理条件,故存在 (a,) (a,b),使得 F()=0【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 F(x)= ,则 F(0)=F()=0又 F(x)= F (0)F (x)F ()而 F(0)= 0,判别不出 F(x)的正负注意到 F(x)0,则 F(x)在0x 时是凸曲线,由于 F(0)=F()=0,故 F(x)0,即 ,得证【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 xf (x)+kf(x)=f(x),整理得,(x 一 1)f(x)=一 kf(x),分离变量得 ,两边积分得 lnf(x)=一 kln(1 一 x)+C1,整理得 lnf(x)(1
14、一 x)k=C1,即 f(x)(1 一 x)k=C,所以设 F(x)=f(x)(1 一 x)k,F(x)在0,1上连续,在 (0,1)内可导,又 F(0)=0,F(1)=0 ,则 F(x)在0,1上满足罗尔定理,故存在一点 (0,1) ,使得 F()=0,即 f()+kf()=f()【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 分析可得 0,又可构造辅助函数,用单调性证明令 F(x)=(0x+) ,因为 F(x)= 0,所以 F(x)在 (0,+)上单调减少,又=0,所以,对一切 x(0,+) ,恒有 F(x)0,即 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 设每批生产 x 件,则一年内生产 批,每批生产直接消耗费用为 p,则 p=kx2,又因为根据条件,每批产品 40 件时,直接消耗的生产费用为800,所以,800=k40 2,即 k= x2,该产品的总费用 y 为 y= 0xa ,又因为在实际问题中唯一的极值点就是最值点,所以当 x= 45 时,总费用最小【知识模块】 一元函数微分学
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