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【考研类试卷】考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷49及答案解析.doc

1、考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷 49 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f()在 0 的邻域内有定义,且 f(0)0,则 f()在 0 处可导的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.存在B.存在C.存在D.存在3.设曲线 y 2 ab 与曲线 2yy 3 1 在点(1,1)处切线相同,则( )(分数:2.00)A.a1,b1B.a1,b1C.a2,b1D.a2,b14.设 f()在(,)上有定义, 0 0 为函数 f()的极大值点,则(

2、 )(分数:2.00)A. 0 为 f()的驻点B. 0 为f()的极小值点C. 0 为f()的极小值点D.对一切的 有 f()f( 0 )5.设 f( 0 )f( 0 )0,f( 0 )0,则下列正确的是( )(分数:2.00)A.f( 0 )是 f()的极大值B.f( 0 )是 f()的极大值C.f( 0 )是 f()的极小值D.( 0 ,f( 0 )是 yf()的拐点6.设 f() 3 a 2 b 在 1 处有极小值2,则( )(分数:2.00)A.a1,b2B.a1,b2C.a0,b3D.a0,b37.设 f() 3 1g(),其中 g()连续,则 g(1)0 是 f()在 1 处可导

3、的( )(分数:2.00)A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件二、填空题(总题数:6,分数:12.00)8.设曲线 yln 与 yk (分数:2.00)填空项 1:_9.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_10.曲线 re 在 (分数:2.00)填空项 1:_11.设 (分数:2.00)填空项 1:_12.设函数 yy()由方程 e y cos(y)0 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_13.设 f() (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:17,分数:34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_15.证明

4、:当 0 时, 2 (1)ln 2 (1)(分数:2.00)_16.证明不等式:arctan (分数:2.00)_17.求 y 0 (1t)arctantdt 的极值(分数:2.00)_18.设 PQ 为抛物线 y (分数:2.00)_19.证明:当 01 时,(1)ln 2 (1) 2 (分数:2.00)_20.证明:对任意的 ,yR 且 y,有 (分数:2.00)_21.设 ba0,证明: (分数:2.00)_22.证明: (分数:2.00)_23.证明方程 pqcos0 有且仅有一个实根,其中 p,q 为常数,且 0q1(分数:2.00)_24.证明方程 ln (分数:2.00)_25.

5、设 k0,讨论常数忌的取值,使 f()lnk 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点(分数:2.00)_26.设 f() (分数:2.00)_27.设 f()在a,b上连续,在(a,b)内可导(a0),且 f(a)0证明:存在 (a,b),使得 f() (分数:2.00)_28.设 f()在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)f(b)0,证明: (1)存在 (a,b),使得f()2f() (2)存在 (a,b),使得 f()f()0(分数:2.00)_29.设 f()在1,2上连续,在(1,2)内可导,证明:存在 (1,2),使得 f()f()f(2)2f(1)(分数:2.00)

6、_30.设 f()在1,2上连续,在(1,2)内可导,且 f()0,证明:存在 ,(1,2),使得(分数:2.00)_考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷 49 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f()在 0 的邻域内有定义,且 f(0)0,则 f()在 0 处可导的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.存在B.存在C.存在 D.存在解析:解析:设 f() 显然 一 0,而 f()在 0 处不可导,A 不对; 即 存在只能保证 f()在

7、0 处右可导,故 B 不对; 因为 ,所以 h0 时 htanh h 3 , 于是 存在不能保证 f()在 0 处可导,故 D 不对; 3.设曲线 y 2 ab 与曲线 2yy 3 1 在点(1,1)处切线相同,则( )(分数:2.00)A.a1,b1B.a1,b1 C.a2,b1D.a2,b1解析:解析:由 y 2 ab 得 y2a, 2yy 3 1 两边对 求导得 2yy 3 3y 2 y,解得 y , 因为两曲线在点(1,1)处切线相同,所以 解得 4.设 f()在(,)上有定义, 0 0 为函数 f()的极大值点,则( )(分数:2.00)A. 0 为 f()的驻点B. 0 为f()的

8、极小值点 C. 0 为f()的极小值点D.对一切的 有 f()f( 0 )解析:解析:因为 yf()的图像与 yf()的图像关于 y 轴对称,所以 0 为 f()的极大值点,从而 0 为f()的极小值点,选 B5.设 f( 0 )f( 0 )0,f( 0 )0,则下列正确的是( )(分数:2.00)A.f( 0 )是 f()的极大值B.f( 0 )是 f()的极大值C.f( 0 )是 f()的极小值D.( 0 ,f( 0 )是 yf()的拐点 解析:解析:因为 f( 0 )0,所以存在 0,当 0 0 时, 6.设 f() 3 a 2 b 在 1 处有极小值2,则( )(分数:2.00)A.a

9、1,b2B.a1,b2C.a0,b3 D.a0,b3解析:解析:f()3 2 2ab,因为 f()在 1 处有极小值2, 所以 7.设 f() 3 1g(),其中 g()连续,则 g(1)0 是 f()在 1 处可导的( )(分数:2.00)A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析:解析:设 g(1)0,f (1) .( 2 1)g()0, f + (1) ( 2 1)g()0, 因为 f (1)f + (1)0,所以 f()在 1 处可导 设 f()在 1处可导, f - 3g(1), f + (1) 二、填空题(总题数:6,分数:12.00)8.设曲线 yln 与

10、 yk (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y*1)解析:解析:设当 a 时,两条曲线相切,由 得 ae 2 两条曲线的公共切线为 ylne 2 (e 2 ),整理得切线为 y 9.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y21)解析:解析:在点(0,1)处 t0,10.曲线 re 在 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y*)解析:解析: 当 时,0,y k 1,所求切线方程为 y11.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y2)解析:解析:t0 对应的曲线上点为(0,0), 又 ,切线斜率为 k12.设函数

11、 yy()由方程 e y cos(y)0 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:方程两边对 求导,得 解得13.设 f() (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:今 f() ,解得 A3,B2,即 f() ,于是 f (n) () 三、解答题(总题数:17,分数:34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:15.证明:当 0 时, 2 (1)ln 2 (1)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f() 2 (1)ln 2 (1),f(0)0; f()2ln 2 (

12、1)2ln(1),f(0)0; f() 0(0), 由 得 f()0(0); 由 )解析:16.证明不等式:arctan (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f()arctan ln(1 2 ),f(0)0 令 f() arctan0,得 0, 因为 F() 0,所以 0 为 f()的极小值点,也为最小值点,而 f(0)0,故对一切的 ,有 f()0,即 arctan )解析:17.求 y 0 (1t)arctantdt 的极值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 y(1)arctan0,得 0 或 1,yarctan ,因为 y(0)10,y(1) 0,所以 0 为极小值点

13、,极小值为 y0;1 为极大值点,极大值为 )解析:18.设 PQ 为抛物线 y (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 P(a, ),因为 y 关于 y 轴对称,不妨设 a0 y(a) ,过 P 点的法线方程为 y (a), 设 Q(b, ),因为 Q 在法线上,所以 (ba),解得 ba PQ 的长度的平方为 L(a)(ba) 2 , 由 L(a) 0 得 a2 为唯一驻点,从而为最小值点, 故 PQ 的最小距离为 )解析:19.证明:当 01 时,(1)ln 2 (1) 2 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f() 2 (1)ln 2 (1),f(0)0: f()2ln

14、 2 (1)2ln(1),f(0)0; f()2 0(01), 由 得 f()0(01); 再由 )解析:20.证明:对任意的 ,yR 且 y,有 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(t)e t ,因为 f(t)e t 0,所以函数 f(t)e t 为凹函数,根据凹函数的定义,对任意的 ,yR 且 y,有 ,即 )解析:21.设 ba0,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: (ab)(lnblna)2(ba)0令 ()(a)(lnlna)2(a),(a)0, ()lnlna 1,(a)0,() 0(0) 由 ()0(a) 再由 ()0(a) )解析:22.证明: (

15、分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f()1 一 0 则 0 为 f()的最小值点,而最小值为 f(0)0,故 f()0,即 1ln )解析:23.证明方程 pqcos0 有且仅有一个实根,其中 p,q 为常数,且 0q1(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f()pqcos,因为 f()1qsin0,所以 f()在(,)上单调增加,又因为 f(), )解析:24.证明方程 ln (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: ,令 f()ln ,令 f() 0, 得 e,因为 f(e) ,所以 f(e)2 0 为 f()的最大值, 又因为 f(), )解析:25.设 k0,讨论常

16、数忌的取值,使 f()lnk 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f()的定义域为(0,), f()k, f() 由 f()ln10,得驻点为 ,由 f() 0,得 为 f()的极小值点,也为最小值点,最小值为 (1)当 k 时,函数 f()在(0,)内没有零点; (2)当k 1 时,函数 f()在(0,)内有唯一零点 ; (3)当 0k 时,函数 f()在(0,)内有两个零点,分别位于(0, )与( )解析:26.设 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f() 0,所以 f()在(,)上单调增加 因为 f() ,当 0 时,

17、f()0;当 0 时,f()0,则 yf()在(,0)的图形是凹的,yf()在(0,)内是凸的,(0,0)为 yf()的拐点 因为 f()f(),所以 f()为奇函数 由 得 )解析:27.设 f()在a,b上连续,在(a,b)内可导(a0),且 f(a)0证明:存在 (a,b),使得 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 ()(b) a f(),显然 ()在a,b上连续,在(a,b)内可导, 因为 (a)(b)0,所以由罗尔定理,存在 (a,b),使得 ()0, 由 ()(b) a1 (b)f()af()得 (b) a1 (b)f()af()且(b) a1 0,故 f() )

18、解析:28.设 f()在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)f(b)0,证明: (1)存在 (a,b),使得f()2f() (2)存在 (a,b),使得 f()f()0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)令 () f(),因为 f(a)f(b)0,所以 (a)(b)0, 由罗尔定理,存在 (a,b),使得 ()0, 而 () f()2f()且 )解析:29.设 f()在1,2上连续,在(1,2)内可导,证明:存在 (1,2),使得 f()f()f(2)2f(1)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 () , 则 ()在1,2上连续,在(1,2)内可导,且 (1)(2)f(2)f(1), 由罗尔定理,存在 (1,2),使得 ()0, 而 () )解析:30.设 f()在1,2上连续,在(1,2)内可导,且 f()0,证明:存在 ,(1,2),使得(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F()ln,F() 0,由柯西中值定理,存在 (1,2),使得 由拉格朗日中值定理得 ln2ln1 其中 (12) f(2)f(1)f()(21)f(),其中 (1,2), 故 )解析:

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