1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 49 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()在 0 的邻域内有定义，且 f(0)0，则 f()在 0 处可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.存在B.存在C.存在D.存在3.设曲线 y 2 ab 与曲线 2yy 3 1 在点(1，1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a1，b1B.a1，b1C.a2，b1D.a2，b14.设 f()在(，)上有定义， 0 0 为函数 f()的极大值点，则(
2、 )（分数：2.00）A. 0 为 f()的驻点B. 0 为f()的极小值点C. 0 为f()的极小值点D.对一切的 有 f()f( 0 )5.设 f( 0 )f( 0 )0，f( 0 )0，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.f( 0 )是 f()的极大值B.f( 0 )是 f()的极大值C.f( 0 )是 f()的极小值D.( 0 ，f( 0 )是 yf()的拐点6.设 f() 3 a 2 b 在 1 处有极小值2，则( )（分数：2.00）A.a1，b2B.a1，b2C.a0，b3D.a0，b37.设 f() 3 1g()，其中 g()连续，则 g(1)0 是 f()在 1 处可导
3、的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.设曲线 yln 与 yk （分数：2.00）填空项 1:_9.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_10.曲线 re 在 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 yy()由方程 e y cos(y)0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.证明
4、：当 0 时， 2 (1)ln 2 (1)（分数：2.00）_16.证明不等式：arctan （分数：2.00）_17.求 y 0 (1t)arctantdt 的极值（分数：2.00）_18.设 PQ 为抛物线 y （分数：2.00）_19.证明：当 01 时，(1)ln 2 (1) 2 （分数：2.00）_20.证明：对任意的 ，yR 且 y，有 （分数：2.00）_21.设 ba0，证明： （分数：2.00）_22.证明： （分数：2.00）_23.证明方程 pqcos0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0q1（分数：2.00）_24.证明方程 ln （分数：2.00）_25.
5、设 k0，讨论常数忌的取值，使 f()lnk 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_26.设 f() （分数：2.00）_27.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f() （分数：2.00）_28.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，证明： (1)存在 (a，b)，使得f()2f() (2)存在 (a，b)，使得 f()f()0（分数：2.00）_29.设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f()f()f(2)2f(1)（分数：2.00）
6、_30.设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f()0，证明：存在 ，(1，2)，使得（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 49 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()在 0 的邻域内有定义，且 f(0)0，则 f()在 0 处可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.存在B.存在C.存在 D.存在解析：解析：设 f() 显然 一 0，而 f()在 0 处不可导，A 不对； 即 存在只能保证 f()在
7、0 处右可导，故 B 不对； 因为 ，所以 h0 时 htanh h 3 ， 于是 存在不能保证 f()在 0 处可导，故 D 不对； 3.设曲线 y 2 ab 与曲线 2yy 3 1 在点(1，1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a1，b1B.a1，b1 C.a2，b1D.a2，b1解析：解析：由 y 2 ab 得 y2a， 2yy 3 1 两边对 求导得 2yy 3 3y 2 y，解得 y ， 因为两曲线在点(1，1)处切线相同，所以 解得 4.设 f()在(，)上有定义， 0 0 为函数 f()的极大值点，则( )（分数：2.00）A. 0 为 f()的驻点B. 0 为f()的
8、极小值点 C. 0 为f()的极小值点D.对一切的 有 f()f( 0 )解析：解析：因为 yf()的图像与 yf()的图像关于 y 轴对称，所以 0 为 f()的极大值点，从而 0 为f()的极小值点，选 B5.设 f( 0 )f( 0 )0，f( 0 )0，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.f( 0 )是 f()的极大值B.f( 0 )是 f()的极大值C.f( 0 )是 f()的极小值D.( 0 ，f( 0 )是 yf()的拐点 解析：解析：因为 f( 0 )0，所以存在 0，当 0 0 时， 6.设 f() 3 a 2 b 在 1 处有极小值2，则( )（分数：2.00）A.a
9、1，b2B.a1，b2C.a0，b3 D.a0，b3解析：解析：f()3 2 2ab，因为 f()在 1 处有极小值2， 所以 7.设 f() 3 1g()，其中 g()连续，则 g(1)0 是 f()在 1 处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析：解析：设 g(1)0，f (1) .( 2 1)g()0， f + (1) ( 2 1)g()0， 因为 f (1)f + (1)0，所以 f()在 1 处可导 设 f()在 1处可导， f - 3g(1)， f + (1) 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.设曲线 yln 与
10、 yk （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*1）解析：解析：设当 a 时，两条曲线相切，由 得 ae 2 两条曲线的公共切线为 ylne 2 (e 2 )，整理得切线为 y 9.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y21）解析：解析：在点(0，1)处 t0，10.曲线 re 在 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*）解析：解析： 当 时，0，y k 1，所求切线方程为 y11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y2）解析：解析：t0 对应的曲线上点为(0，0)， 又 ，切线斜率为 k12.设函数
11、 yy()由方程 e y cos(y)0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程两边对 求导，得 解得13.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：今 f() ，解得 A3，B2，即 f() ，于是 f (n) () 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.证明：当 0 时， 2 (1)ln 2 (1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() 2 (1)ln 2 (1)，f(0)0； f()2ln 2 (
12、1)2ln(1)，f(0)0； f() 0(0)， 由 得 f()0(0)； 由 )解析：16.证明不等式：arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()arctan ln(1 2 )，f(0)0 令 f() arctan0，得 0， 因为 F() 0，所以 0 为 f()的极小值点，也为最小值点，而 f(0)0，故对一切的 ，有 f()0，即 arctan )解析：17.求 y 0 (1t)arctantdt 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y(1)arctan0，得 0 或 1，yarctan ，因为 y(0)10，y(1) 0，所以 0 为极小值点
13、，极小值为 y0；1 为极大值点，极大值为 )解析：18.设 PQ 为抛物线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P(a， )，因为 y 关于 y 轴对称，不妨设 a0 y(a) ，过 P 点的法线方程为 y (a)， 设 Q(b， )，因为 Q 在法线上，所以 (ba)，解得 ba PQ 的长度的平方为 L(a)(ba) 2 ， 由 L(a) 0 得 a2 为唯一驻点，从而为最小值点， 故 PQ 的最小距离为 )解析：19.证明：当 01 时，(1)ln 2 (1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() 2 (1)ln 2 (1)，f(0)0： f()2ln
14、 2 (1)2ln(1)，f(0)0； f()2 0(01)， 由 得 f()0(01)； 再由 )解析：20.证明：对任意的 ，yR 且 y，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(t)e t ，因为 f(t)e t 0，所以函数 f(t)e t 为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的 ，yR 且 y，有 ，即 )解析：21.设 ba0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (ab)(lnblna)2(ba)0令 ()(a)(lnlna)2(a)，(a)0， ()lnlna 1，(a)0，() 0(0) 由 ()0(a) 再由 ()0(a) )解析：22.证明： （
15、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()1 一 0 则 0 为 f()的最小值点，而最小值为 f(0)0，故 f()0，即 1ln )解析：23.证明方程 pqcos0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0q1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()pqcos，因为 f()1qsin0，所以 f()在(，)上单调增加，又因为 f()， )解析：24.证明方程 ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，令 f()ln ，令 f() 0， 得 e，因为 f(e) ，所以 f(e)2 0 为 f()的最大值， 又因为 f()， )解析：25.设 k0，讨论常
16、数忌的取值，使 f()lnk 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f()的定义域为(0，)， f()k， f() 由 f()ln10，得驻点为 ，由 f() 0，得 为 f()的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 k 时，函数 f()在(0，)内没有零点； (2)当k 1 时，函数 f()在(0，)内有唯一零点 ； (3)当 0k 时，函数 f()在(0，)内有两个零点，分别位于(0， )与( )解析：26.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f() 0，所以 f()在(，)上单调增加 因为 f() ，当 0 时，
17、f()0；当 0 时，f()0，则 yf()在(，0)的图形是凹的，yf()在(0，)内是凸的，(0，0)为 yf()的拐点 因为 f()f()，所以 f()为奇函数 由 得 )解析：27.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()(b) a f()，显然 ()在a，b上连续，在(a，b)内可导， 因为 (a)(b)0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0， 由 ()(b) a1 (b)f()af()得 (b) a1 (b)f()af()且(b) a1 0，故 f() )
18、解析：28.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，证明： (1)存在 (a，b)，使得f()2f() (2)存在 (a，b)，使得 f()f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 () f()，因为 f(a)f(b)0，所以 (a)(b)0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0， 而 () f()2f()且 )解析：29.设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f()f()f(2)2f(1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 () ， 则 ()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)(2)f(2)f(1)， 由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 ()0， 而 () )解析：30.设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f()0，证明：存在 ，(1，2)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F()ln，F() 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 由拉格朗日中值定理得 ln2ln1 其中 (12) f(2)f(1)f()(21)f()，其中 (1，2)， 故 )解析：
