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【考研类试卷】考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷56及答案解析.doc

1、考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷 56 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 2 ,则导数 f (x)不存在的点的个数是( )(分数:2.00)A.0。B.1。C.2。D.3。3.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x),且有 f (0)=b,其中 a,b 为非零常数,则( )(分数:2.00)A.f(x)在 x=1 处不可导。B.f(x)在 x=1 处可导,

2、且 f (1)=a。C.f(x)在 x=1 处可导,且 f (1)=b。D.f(x)在 x=1 处可导,且 f (1)=ab。4.设 f(x)在点 x=a 处可导,则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.f(a)=0 且 f (a)=0。B.f(a)=0 且 f (a)0。C.f(a)0 且 f (a)0。D.f(a)0 且 f (a)0。5.设函数 g(x)可微,h(x)=e 1g(x) ,h (1)=1,g (1)=2,则 g(1)等于( )(分数:2.00)A.ln31。B.一 ln31。C.一 ln21。D.ln21。6.已知函数 f(x)具有任

3、意阶导数,且 f (x)=f 2 (x),则当 n 为大于 2 的正整数时,f(x)的 n 阶导数是( )(分数:2.00)A.n!f(x) n1 。B.nf(x) n1 。C.f(x) 2n 。D.n!f(x) 2n 。7.周期函数 f(x)在(一,+)内可导,周期为 4,又 (分数:2.00)A.。B.0。C.一 1。D.一 2。8.设函数 f(x)连续,且 f (0)0,则存在 0,使得( )(分数:2.00)A.f(x)在(0,)内单调增加。B.f(x)在(一 ,0)内单调减少。C.对任意的 x(0,),有 f(x)f(0)。D.对任意的 x(一 ,0),有 f(x)f(0)。9.设

4、y=f(x)是方程 y 一 2y +4y=0 的一个解,且 f(x 0 )0,f (x 0 )=0,则函数 f(x)在点 x 0 处( )(分数:2.00)A.取得极大值。B.取得极小值。C.某邻域内单调增加。D.某邻域内单调减少。10.设 f(x)有二阶连续导数,且 f (0)=0, (分数:2.00)A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。二、填空题(总题数:9,分数:18.00)11.设函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_

5、12.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_13.设函数 y=y(x)由方程 y=1 一 xe y 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_14.设 y=y(x)由方程 x= 1 yx sin 2 (分数:2.00)填空项 1:_15.已知 f (e x )=xe x ,且 f(1)=0,则 f(x)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_16.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。(分数:2.00)填空项 1:_17.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1,0)处有公共的切线,则 (分数:2.00)填空项 1:_18.曲线 y=(x 一 5)

6、x * 的拐点坐标为 1。(分数:2.00)填空项 1:_19.曲线 y= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:8,分数:18.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_21.设 y=f(t),= 0 t e s2 ds,=g(x),其中 f,g 均二阶可导且 g (x)0,求 (分数:2.00)_假设函数 f(x)和 g(x)在a,b上存在二阶导数,并且 g (x)0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:(分数:4.00)(1).在开区间(a,b)内 g(x)0;(分数:2.00)_(2).在开区间(a,b)内至少存在一点 , (分数:2.00

7、)_22.设函数 f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明存在 (a,b),使得 f ()=g ()。(分数:2.00)_23.设函数 f(x)在(0,+)上二阶可导,且 f (x)0,记 n =f(n),n=1,2,又 1 2 ,证明 (分数:2.00)_设 f(x)在a,b上可导,f (x)+f(x) 2 a x f(t)dt=0,且 a b f(t)dt=0。证明:(分数:4.00)(1). a x f(t)dt 在(a,b)的极大值不能为正,极小值不能为负;(分数:2.00)_(2). a x f(t)

8、dt 在(a,b)内恒为零。(分数:2.00)_24.设 a1,f(t)=a t 一 at 在(一,+)内的驻点为 t(a)。问 a 为何值时,t(a)最小?并求出最小值。(分数:2.00)_25.设 eab,证明:a 2 (分数:2.00)_考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷 56 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 2 ,则导数 f (x)不存在的点的个数是( )(分数:2.0

9、0)A.0。B.1。 C.2。D.3。解析:解析:考查带有绝对值的函数在 x 0 点处是否可导,可以借助如下结论: 设 f(x)为可导函数,则 (1)若 f(x 0 )0,且 f(x)在 x 0 处可导,则f(x)在 x 0 处可导; (2)若 f(x 0 )=0,且 f (x 0 )=0,则f(x)在 x 0 处可导; (3)若 f(x 0 )=0,且 f (x 0 )0,则f(x)在 x 0 处不可导。 设(x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 ,则 f(x)=(x),f (x)不存在的点就是 f(x)不可导的点,根据上述结论可知,使 (x)=0 的点 x 1 =1,

10、x 2 =2,x 3 =3 可能为不可导点,故只需验证 (x i ),i=1,2,3 是否为零即可,而 (x)=(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 +2(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3) 3 +3(x 一 1)(x一 2) 2 (x 一 3) 3 ,显然, (1)0, (2)=0, (3)=0,所以只有一个不可导点 x=1。故选B。3.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x),且有 f (0)=b,其中 a,b 为非零常数,则( )(分数:2.00)A.f(x)在 x=1 处不可导。B.f(x)在 x=1 处可导,且 f (1)=a。C.f(x)在 x=1

11、 处可导,且 f (1)=b。D.f(x)在 x=1 处可导,且 f (1)=ab。 解析:解析:根据题意,令 x=0,则 f(1)=af(0)。由导数的定义可知, f (1)= , 且由 f (0)=b 可知, =b, 故 4.设 f(x)在点 x=a 处可导,则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.f(a)=0 且 f (a)=0。B.f(a)=0 且 f (a)0。 C.f(a)0 且 f (a)0。D.f(a)0 且 f (a)0。解析:解析:若 f(a)0,由复合函数求导法则有 因此排除 C 和 D。 当 f(x)在 x=a 可导,且 f(a)

12、0 时,f(x)在 x=a 点可导。 当 f(a)=0 时, 5.设函数 g(x)可微,h(x)=e 1g(x) ,h (1)=1,g (1)=2,则 g(1)等于( )(分数:2.00)A.ln31。B.一 ln31。C.一 ln21。 D.ln21。解析:解析:函数 h(x)=e 1g(x) 两边同时对 x 求导,可得 h (x)=e 1g(x) g (x)。 在上面的等式中令 x=1,结合已知条件 h (1)=1,g (1)=2,可得 1=h (1)=e 1g(1) g (1)=2e 1g(1) , 因此得g(1)=一 ln21,故选 C。6.已知函数 f(x)具有任意阶导数,且 f (

13、x)=f 2 (x),则当 n 为大于 2 的正整数时,f(x)的 n 阶导数是( )(分数:2.00)A.n!f(x) n1 。 B.nf(x) n1 。C.f(x) 2n 。D.n!f(x) 2n 。解析:解析:由 f (x)=f 2 (x)可得,f (x)=2f(x)f (x)=2!f(x) 3 。 假设 f (k) (x)=k!f(x) k1 ,则 f (k1) (x)=(k+1)k!f(x) k f (x)=(k+1)!f(x) k2 ,由数学归纳法可知,f (n) (x)=n!f(x) n1 对一切正整数成立。7.周期函数 f(x)在(一,+)内可导,周期为 4,又 (分数:2.0

14、0)A.。B.0。C.一 1。D.一 2。 解析:解析:因为 f(x)在(一,+)内可导,且 f(x)=f(x+4k),其中 k 为整数,故有 f (x)=f (x+4k)。 取 x=1,k=1,可得 f (1)=f (5)。 又由 8.设函数 f(x)连续,且 f (0)0,则存在 0,使得( )(分数:2.00)A.f(x)在(0,)内单调增加。B.f(x)在(一 ,0)内单调减少。C.对任意的 x(0,),有 f(x)f(0)。 D.对任意的 x(一 ,0),有 f(x)f(0)。解析:解析:由导数定义,知 f (0)= 0。根据极限的保号性,存在 0,使对任意 x 9.设 y=f(x)

15、是方程 y 一 2y +4y=0 的一个解,且 f(x 0 )0,f (x 0 )=0,则函数 f(x)在点 x 0 处( )(分数:2.00)A.取得极大值。 B.取得极小值。C.某邻域内单调增加。D.某邻域内单调减少。解析:解析:由 f (x 0 )=0 知,x=x 0 是函数 y=f(x)的驻点。将 x=x 0 代入方程,得 y (x 0 )一 2y (x 0 )+4y(x 0 )=0。 考虑到 y (x 0 )=f (x 0 )=0,y (x 0 )=f (x 0 ),y(x 0 )=f(x 0 )0,有 f (x 0 )=一 4f(x 0 )0,由极值的第二判定定理知,f(x)在点

16、x 0 处取得极大值,故选 A。10.设 f(x)有二阶连续导数,且 f (0)=0, (分数:2.00)A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。 C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。解析:解析:根据极限的保号性,由 =1 可知,存在 x=0 的某邻域 ,使对任意 x 二、填空题(总题数:9,分数:18.00)11.设函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:当 x0 时,12.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (

17、正确答案:正确答案:(1+3x)e 3x)解析:解析:先求出函数的表达式,即 f(x)= 13.设函数 y=y(x)由方程 y=1 一 xe y 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 e)解析:解析:当 x=0 时,y=1。 在方程两端对 x 求导,得 y =一 e y 一 xe y y ,整理得 y (1+xe y )=一 e y , 14.设 y=y(x)由方程 x= 1 yx sin 2 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 2)解析:解析:将 x=0 代入方程 x= 1 yx sin 2 dt 可得 y=1,即 y(0)=1。在方程

18、两边对 x 求导,得 1=(y 一 1)sin 2 , 15.已知 f (e x )=xe x ,且 f(1)=0,则 f(x)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:令 e x =t,则 x=lnt,于是有 f (t)= 。 对上式两端同时积分得 f(x)= C。 由 f(1)=0 得 C=0,故 f(x)= 16.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=x 一 1)解析:解析:由题干可知,所求切线的斜率为 1。 由 y =(lnx) = 17.设曲线 y=f(x)与 y

19、=x 2 一 x 在点(1,0)处有公共的切线,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 2)解析:解析:本题主要考查导数的极限表示和曲线在某点的切线的几何意义。18.曲线 y=(x 一 5)x * 的拐点坐标为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(一 1,一 6))解析:解析:由题设,y= ,则有 19.曲线 y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:x+25y=0 与 x+y=0)解析:解析:显然原点(0,0)不在曲线上,需首先求出切点坐标。 设切点为 ,则 y = , 因此切线方程为 把(0,0)代入上式,得 x 0 =

20、一 3 或 x 0 =一 15。 则斜率分别为 三、解答题(总题数:8,分数:18.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:21.设 y=f(t),= 0 t e s2 ds,=g(x),其中 f,g 均二阶可导且 g (x)0,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由积分上限函数求导法则可得 =e t2 , 再由复合函数求导法则可得 =f (t)e t2 g (x), f (t)e t2 g (x)= f (t)e t2 g (x)+f (t)e t2 g (x) = )解析:假设函数 f(x)和 g(x)在a,b上存在二阶导数,并且 g (x)0,f(a)

21、=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:(分数:4.00)(1).在开区间(a,b)内 g(x)0;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用反证法。假设存在 c(a,b),使得 g(c)=0,则根据题意,对 g(x)在a,c和c,b上分别应用罗尔定理,可知存在 1 (a,c)和 2 (c,b),使得 g ( 1 )=g ( 2 )=0 成立。 接着再对 g (x)在区间 1 , 2 上应用罗尔定理,可知存在 3 ( 1 , 2 ),使得 g ( 3 )=0 成立,这与题设条件 g (x)0 矛盾,因此在开区间(a,b)内 g(x)0。)解析:(2).在开区间(a,b)内至少存在一点 ,

22、 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:构造函数 F(x)=f(x)g (x)一 g(x)f (x),由题设条件得函数 F(x)在区间a,b上是连续的,在区间(a,b)上是可导的,且满足 F(a)=F(b)=0 根据罗尔定理可知,存在点 (a,b),使得 F ()=0。即 f()g ()一 f ()g()=0, 因此可得 )解析:22.设函数 f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明存在 (a,b),使得 f ()=g ()。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:构造辅助函数 F(x)=f(x)一 g(

23、x),由题设有 F(a)=F(b)=0。又 f(x),g(x)在(a,b) 内具有相等的最大值,不妨设存在 x 1 x 2 ,x 1 ,x 2 (a,b)使得 f(x 1 )=M= 。 若 x 1 =x 2 ,令 c=x 1 ,则 F(c)=0。 若 x 1 x 2 ,因 F(x 1 )=f(x 1 )一 g(x 1 )0,F(x 2 )=f(x 2 )一 g(x 2 )0,由介值定理知,存在 cx 1 ,x 2 (a,b),使 F(c)=0。 在区间a,c,c,b上分别利用罗尔定理知,存在 1 (a,c), 2 (c,b),使得 F ( 1 )=F ( 2 )=0。 再对 F (x)在区间

24、1 , 2 上应用罗尔定理,知存在 ( 1 , 2 ) )解析:23.设函数 f(x)在(0,+)上二阶可导,且 f (x)0,记 n =f(n),n=1,2,又 1 2 ,证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对函数 f(x)分别在区间k,k+1(k=1,2,n,)上使用拉格朗日中值定理 2 一 1 =f(2)一 f(1)=f ( 1 )0,1 1 2, n1 一 n2 =f(n 一 1)一 f(n 一2)=f ( n2 ),n 一 2 n2 n 一 1, n 一 n1 =f(n)一 f(n 一 1)=f ( n1 ),n 一1 n1 n。 因 f (x)0,故 f (x)严格单调

25、增加,即有 f ( n1 )f ( n2 )f ( 2 )f ( 1 )= 2 一 1 , 则 n =( n 一 n1 )+( n1 n2 )+( 2 一 1 )+ 1 =f ( n1 )+f ( n2 )+f ( 1 )+ 1 f ( 1 )+f ( 1 )+f ( 1 )+ 1 =(n 一 1)( 2 一 1 )+ 1 , 于是有 )解析:设 f(x)在a,b上可导,f (x)+f(x) 2 a x f(t)dt=0,且 a b f(t)dt=0。证明:(分数:4.00)(1). a x f(t)dt 在(a,b)的极大值不能为正,极小值不能为负;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:

26、记 F(x)= a x f(t)dt,假设 F(x)在(a,b)内能取到正的极大值,且记该极大值点为 x 0 ,于是 F (x 0 )=0,F(x 0 )0,即 f(x 0 )=0, a x0 f(t)dt0。 在方程 f (x)+f(x) 2 一 a x f(t)dt=0 中令 x=x 0 ,得 F (x 0 )= a x0 f(t)dt0,故 F(x 0 )应是极小值,这与假设矛盾。所以 a x f(t)dt 在(a,b)的极大值不能为正,极小值不能为负。)解析:(2). a x f(t)dt 在(a,b)内恒为零。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:若 F(x)在(a,b)内可取正

27、值,由于 F(a)=F(b)=0,故 F(x)在(a,b)内存在最大值且为正,从而知 F(x)在(a,b)内存在正的极大值,与(I)中的结论矛盾,故 F(x)在(a,b)内不可能取正值。同理可证 F(x)在(a,b)内也不可能取到负值,故 F(x)在(a,b)内恒为零。)解析:24.设 a1,f(t)=a t 一 at 在(一,+)内的驻点为 t(a)。问 a 为何值时,t(a)最小?并求出最小值。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f (t)=a t lnaa=0,解得 f(t)的驻点为 t(a)=1 。 对 t(a)关于 a求导,可得 t (a)= , 令 t (a)0,解得 a

28、e e 。则当 ae e 时,t(a)单调递增;当1ae e 时,t(a)单调递减。所以 当 a=e e 时,t(a)最小,且最小值为 t(e e )=1 一 )解析:25.设 eab,证明:a 2 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:要证明 b 2 ,只需要证明 alnablnb。 设函数 f(x)=xlnx。当 xe时,f (x)=lnx+10,故 f(x)单调递增。又因 eab,所以 f(b)f(a),即 alnablnb。 要证明 。 设函数 g(x)= 。当 xe 时,g (x)= 0,故 g(x)单调递减。又因 eab,故g(a)g(b),即 。 综上所述:当 eab 时,a 2 )解析:

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