1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 56 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 2 ，则导数 f (x)不存在的点的个数是( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。3.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f (0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=1 处不可导。B.f(x)在 x=1 处可导，
2、且 f (1)=a。C.f(x)在 x=1 处可导，且 f (1)=b。D.f(x)在 x=1 处可导，且 f (1)=ab。4.设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0 且 f (a)=0。B.f(a)=0 且 f (a)0。C.f(a)0 且 f (a)0。D.f(a)0 且 f (a)0。5.设函数 g(x)可微，h(x)=e 1g(x) ，h (1)=1，g (1)=2，则 g(1)等于( )（分数：2.00）A.ln31。B.一 ln31。C.一 ln21。D.ln21。6.已知函数 f(x)具有任
3、意阶导数，且 f (x)=f 2 (x)，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数是( )（分数：2.00）A.n！f(x) n1 。B.nf(x) n1 。C.f(x) 2n 。D.n！f(x) 2n 。7.周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.00）A.。B.0。C.一 1。D.一 2。8.设函数 f(x)连续，且 f (0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加。B.f(x)在(一 ，0)内单调减少。C.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)。D.对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)。9.设
4、y=f(x)是方程 y 一 2y +4y=0 的一个解，且 f(x 0 )0，f (x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 处( )（分数：2.00）A.取得极大值。B.取得极小值。C.某邻域内单调增加。D.某邻域内单调减少。10.设 f(x)有二阶连续导数，且 f (0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_
5、12.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 y=y(x)由方程 y=1 一 xe y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 y=y(x)由方程 x= 1 yx sin 2 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 f (e x )=xe x ，且 f(1)=0，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1，0)处有公共的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.曲线 y=(x 一 5)
6、x * 的拐点坐标为 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：18.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_21.设 y=f(t)，= 0 t e s2 ds，=g(x)，其中 f，g 均二阶可导且 g (x)0，求 （分数：2.00）_假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g (x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：（分数：4.00）(1).在开区间(a，b)内 g(x)0；（分数：2.00）_(2).在开区间(a，b)内至少存在一点 ， （分数：2.00
7、）_22.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f ()=g ()。（分数：2.00）_23.设函数 f(x)在(0，+)上二阶可导，且 f (x)0，记 n =f(n)，n=1，2，又 1 2 ，证明 （分数：2.00）_设 f(x)在a，b上可导，f (x)+f(x) 2 a x f(t)dt=0，且 a b f(t)dt=0。证明：（分数：4.00）(1). a x f(t)dt 在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负；（分数：2.00）_(2). a x f(t)
8、dt 在(a，b)内恒为零。（分数：2.00）_24.设 a1，f(t)=a t 一 at 在(一，+)内的驻点为 t(a)。问 a 为何值时，t(a)最小?并求出最小值。（分数：2.00）_25.设 eab，证明：a 2 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 56 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 2 ，则导数 f (x)不存在的点的个数是( )（分数：2.0
9、0）A.0。B.1。 C.2。D.3。解析：解析：考查带有绝对值的函数在 x 0 点处是否可导，可以借助如下结论： 设 f(x)为可导函数，则 (1)若 f(x 0 )0，且 f(x)在 x 0 处可导，则f(x)在 x 0 处可导； (2)若 f(x 0 )=0，且 f (x 0 )=0，则f(x)在 x 0 处可导； (3)若 f(x 0 )=0，且 f (x 0 )0，则f(x)在 x 0 处不可导。 设(x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 ，则 f(x)=(x)，f (x)不存在的点就是 f(x)不可导的点，根据上述结论可知，使 (x)=0 的点 x 1 =1，
10、x 2 =2，x 3 =3 可能为不可导点，故只需验证 (x i )，i=1，2，3 是否为零即可，而 (x)=(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 +2(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3) 3 +3(x 一 1)(x一 2) 2 (x 一 3) 3 ，显然， (1)0， (2)=0， (3)=0，所以只有一个不可导点 x=1。故选B。3.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f (0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=1 处不可导。B.f(x)在 x=1 处可导，且 f (1)=a。C.f(x)在 x=1
11、 处可导，且 f (1)=b。D.f(x)在 x=1 处可导，且 f (1)=ab。 解析：解析：根据题意，令 x=0，则 f(1)=af(0)。由导数的定义可知， f (1)= ， 且由 f (0)=b 可知， =b， 故 4.设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0 且 f (a)=0。B.f(a)=0 且 f (a)0。 C.f(a)0 且 f (a)0。D.f(a)0 且 f (a)0。解析：解析：若 f(a)0，由复合函数求导法则有 因此排除 C 和 D。 当 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)
12、0 时，f(x)在 x=a 点可导。 当 f(a)=0 时， 5.设函数 g(x)可微，h(x)=e 1g(x) ，h (1)=1，g (1)=2，则 g(1)等于( )（分数：2.00）A.ln31。B.一 ln31。C.一 ln21。 D.ln21。解析：解析：函数 h(x)=e 1g(x) 两边同时对 x 求导，可得 h (x)=e 1g(x) g (x)。 在上面的等式中令 x=1，结合已知条件 h (1)=1，g (1)=2，可得 1=h (1)=e 1g(1) g (1)=2e 1g(1) ， 因此得g(1)=一 ln21，故选 C。6.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f (
13、x)=f 2 (x)，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数是( )（分数：2.00）A.n！f(x) n1 。 B.nf(x) n1 。C.f(x) 2n 。D.n！f(x) 2n 。解析：解析：由 f (x)=f 2 (x)可得，f (x)=2f(x)f (x)=2！f(x) 3 。 假设 f (k) (x)=k！f(x) k1 ，则 f (k1) (x)=(k+1)k！f(x) k f (x)=(k+1)！f(x) k2 ，由数学归纳法可知，f (n) (x)=n！f(x) n1 对一切正整数成立。7.周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.0
14、0）A.。B.0。C.一 1。D.一 2。 解析：解析：因为 f(x)在(一，+)内可导，且 f(x)=f(x+4k)，其中 k 为整数，故有 f (x)=f (x+4k)。 取 x=1，k=1，可得 f (1)=f (5)。 又由 8.设函数 f(x)连续，且 f (0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加。B.f(x)在(一 ，0)内单调减少。C.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)。 D.对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)。解析：解析：由导数定义，知 f (0)= 0。根据极限的保号性，存在 0，使对任意 x 9.设 y=f(x)
15、是方程 y 一 2y +4y=0 的一个解，且 f(x 0 )0，f (x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 处( )（分数：2.00）A.取得极大值。 B.取得极小值。C.某邻域内单调增加。D.某邻域内单调减少。解析：解析：由 f (x 0 )=0 知，x=x 0 是函数 y=f(x)的驻点。将 x=x 0 代入方程，得 y (x 0 )一 2y (x 0 )+4y(x 0 )=0。 考虑到 y (x 0 )=f (x 0 )=0，y (x 0 )=f (x 0 )，y(x 0 )=f(x 0 )0，有 f (x 0 )=一 4f(x 0 )0，由极值的第二判定定理知，f(x)在点
16、x 0 处取得极大值，故选 A。10.设 f(x)有二阶连续导数，且 f (0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。解析：解析：根据极限的保号性，由 =1 可知，存在 x=0 的某邻域 ，使对任意 x 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时，12.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （
17、正确答案：正确答案：(1+3x)e 3x）解析：解析：先求出函数的表达式，即 f(x)= 13.设函数 y=y(x)由方程 y=1 一 xe y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 e）解析：解析：当 x=0 时，y=1。 在方程两端对 x 求导，得 y =一 e y 一 xe y y ，整理得 y (1+xe y )=一 e y ， 14.设 y=y(x)由方程 x= 1 yx sin 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：将 x=0 代入方程 x= 1 yx sin 2 dt 可得 y=1，即 y(0)=1。在方程
18、两边对 x 求导，得 1=(y 一 1)sin 2 ， 15.已知 f (e x )=xe x ，且 f(1)=0，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 e x =t，则 x=lnt，于是有 f (t)= 。 对上式两端同时积分得 f(x)= C。 由 f(1)=0 得 C=0，故 f(x)= 16.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x 一 1）解析：解析：由题干可知，所求切线的斜率为 1。 由 y =(lnx) = 17.设曲线 y=f(x)与 y
19、=x 2 一 x 在点(1，0)处有公共的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：本题主要考查导数的极限表示和曲线在某点的切线的几何意义。18.曲线 y=(x 一 5)x * 的拐点坐标为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1，一 6)）解析：解析：由题设，y= ，则有 19.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+25y=0 与 x+y=0）解析：解析：显然原点(0，0)不在曲线上，需首先求出切点坐标。 设切点为 ，则 y = ， 因此切线方程为 把(0，0)代入上式，得 x 0 =
20、一 3 或 x 0 =一 15。 则斜率分别为 三、解答题(总题数：8，分数：18.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：21.设 y=f(t)，= 0 t e s2 ds，=g(x)，其中 f，g 均二阶可导且 g (x)0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由积分上限函数求导法则可得 =e t2 ， 再由复合函数求导法则可得 =f (t)e t2 g (x)， f (t)e t2 g (x)= f (t)e t2 g (x)+f (t)e t2 g (x) = )解析：假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g (x)0，f(a)
21、=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：（分数：4.00）(1).在开区间(a，b)内 g(x)0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用反证法。假设存在 c(a，b)，使得 g(c)=0，则根据题意，对 g(x)在a，c和c，b上分别应用罗尔定理，可知存在 1 (a，c)和 2 (c，b)，使得 g ( 1 )=g ( 2 )=0 成立。 接着再对 g (x)在区间 1 ， 2 上应用罗尔定理，可知存在 3 ( 1 ， 2 )，使得 g ( 3 )=0 成立，这与题设条件 g (x)0 矛盾，因此在开区间(a，b)内 g(x)0。)解析：(2).在开区间(a，b)内至少存在一点 ，
22、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造函数 F(x)=f(x)g (x)一 g(x)f (x)，由题设条件得函数 F(x)在区间a，b上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足 F(a)=F(b)=0 根据罗尔定理可知，存在点 (a，b)，使得 F ()=0。即 f()g ()一 f ()g()=0， 因此可得 )解析：22.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f ()=g ()。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 F(x)=f(x)一 g(
23、x)，由题设有 F(a)=F(b)=0。又 f(x)，g(x)在(a，b) 内具有相等的最大值，不妨设存在 x 1 x 2 ，x 1 ，x 2 (a，b)使得 f(x 1 )=M= 。 若 x 1 =x 2 ，令 c=x 1 ，则 F(c)=0。 若 x 1 x 2 ，因 F(x 1 )=f(x 1 )一 g(x 1 )0，F(x 2 )=f(x 2 )一 g(x 2 )0，由介值定理知，存在 cx 1 ，x 2 (a，b)，使 F(c)=0。 在区间a，c，c，b上分别利用罗尔定理知，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 F ( 1 )=F ( 2 )=0。 再对 F (x)在区间
24、1 ， 2 上应用罗尔定理，知存在 ( 1 ， 2 ) )解析：23.设函数 f(x)在(0，+)上二阶可导，且 f (x)0，记 n =f(n)，n=1，2，又 1 2 ，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对函数 f(x)分别在区间k，k+1(k=1，2，n，)上使用拉格朗日中值定理 2 一 1 =f(2)一 f(1)=f ( 1 )0，1 1 2， n1 一 n2 =f(n 一 1)一 f(n 一2)=f ( n2 )，n 一 2 n2 n 一 1， n 一 n1 =f(n)一 f(n 一 1)=f ( n1 )，n 一1 n1 n。 因 f (x)0，故 f (x)严格单调
25、增加，即有 f ( n1 )f ( n2 )f ( 2 )f ( 1 )= 2 一 1 ， 则 n =( n 一 n1 )+( n1 n2 )+( 2 一 1 )+ 1 =f ( n1 )+f ( n2 )+f ( 1 )+ 1 f ( 1 )+f ( 1 )+f ( 1 )+ 1 =(n 一 1)( 2 一 1 )+ 1 ， 于是有 )解析：设 f(x)在a，b上可导，f (x)+f(x) 2 a x f(t)dt=0，且 a b f(t)dt=0。证明：（分数：4.00）(1). a x f(t)dt 在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
26、记 F(x)= a x f(t)dt，假设 F(x)在(a，b)内能取到正的极大值，且记该极大值点为 x 0 ，于是 F (x 0 )=0，F(x 0 )0，即 f(x 0 )=0， a x0 f(t)dt0。 在方程 f (x)+f(x) 2 一 a x f(t)dt=0 中令 x=x 0 ，得 F (x 0 )= a x0 f(t)dt0，故 F(x 0 )应是极小值，这与假设矛盾。所以 a x f(t)dt 在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负。)解析：(2). a x f(t)dt 在(a，b)内恒为零。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 F(x)在(a，b)内可取正
27、值，由于 F(a)=F(b)=0，故 F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知 F(x)在(a，b)内存在正的极大值，与(I)中的结论矛盾，故 F(x)在(a，b)内不可能取正值。同理可证 F(x)在(a，b)内也不可能取到负值，故 F(x)在(a，b)内恒为零。)解析：24.设 a1，f(t)=a t 一 at 在(一，+)内的驻点为 t(a)。问 a 为何值时，t(a)最小?并求出最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f (t)=a t lnaa=0，解得 f(t)的驻点为 t(a)=1 。 对 t(a)关于 a求导，可得 t (a)= ， 令 t (a)0，解得 a
28、e e 。则当 ae e 时，t(a)单调递增；当1ae e 时，t(a)单调递减。所以 当 a=e e 时，t(a)最小，且最小值为 t(e e )=1 一 )解析：25.设 eab，证明：a 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证明 b 2 ，只需要证明 alnablnb。 设函数 f(x)=xlnx。当 xe时，f (x)=lnx+10，故 f(x)单调递增。又因 eab，所以 f(b)f(a)，即 alnablnb。 要证明 。 设函数 g(x)= 。当 xe 时，g (x)= 0，故 g(x)单调递减。又因 eab，故g(a)g(b)，即 。 综上所述：当 eab 时，a 2 )解析：
