1、考研数学二(一元函数积分学)-试卷 5 及答案解析(总分:106.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:14,分数:28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 ,其中 f(x)为连续函数,则 (分数:2.00)A.a 2 B.a 2 f(a)C.0D.不存在3.若连续函数 f(x)满足关系式 (分数:2.00)A.e x ln2B.e 2x ln2C.e x +ln2D.e 2x +In24.等于( ) (分数:2.00)A. 1 2 ln 2 xdxB.2 1 2 lnxdxC.2 1 2 ln(1+x)dxD. 1 2 l
2、n 2 (1+x)dx5.如图 31,曲线段的方程为 y=f(x),函数 f(x)在区间0,a上有连续的导数,则定积分 0 a xf“(x)dx 等于( ) (分数:2.00)A.曲边梯形 ABOD 面积B.梯形 ABOD 面积C.曲边三角形 ACD 面积D.三角形 ACD 面积6.设 m,n 均是正整数,则反常积分 (分数:2.00)A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m,n 的取值都有关D.与 m,n 的取值都无关7.设 f(x)连续,且 (分数:2.00)A.1+Cxe x2 B.2+CxsinxC.2+CxD.2+x8.若连续函数满足关系式 (分数:2.00)A.B
3、.C.D.9.设 (分数:2.00)A.I 1 I 2 1B.1I 1 I 2 C.I 2 I 1 1D.1I 2 I 110.积分 (分数:2.00)A.B.C.D.11.设 f(x)在a,b连续,则 f(x)在a,b非负且在a,b的任意子区间上不恒为零是 F(x)= a x (t)dt 在a,b单调增加的( )(分数:2.00)A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12.设 g(x)= 0 x f(u)du,其中 (分数:2.00)A.无界B.递减C.不连续D.连续13.方程 (分数:2.00)A.0B.1C.2D.314.由曲线 (分数:2.00)A.B
4、.C.D.二、填空题(总题数:14,分数:28.00)15.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_16.已知f“(x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数),则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_17.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_18.= 1? (分数:2.00)填空项 1:_19.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_20.设 a0,则 (分数:2.00)填空项 1:_21.广义积分 (分数:2.00)填空项 1:_22.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_23.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_24.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_
5、25.当 0 时,对数螺旋 r=e 的弧长为 1(分数:2.00)填空项 1:_26.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_27.设函数 (分数:2.00)填空项 1:_28.曲线 =1 相应于 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:23,分数:50.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 y=f(x)是区间0,1上的任一非负连续函数(分数:4.00)(1).试证存在 x 0 (0,1),使得在区间0,x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积,等于在区间x 0 ,1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积;(分数:2.00)_(2).又设 f(x)在区间(0,
6、1)内可导,且 (分数:2.00)_30.为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井 1:3(如图 35 所示)已知井深30m,抓斗自重 400N,缆绳每米重 50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为 3ms,在提升过程中,污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:1N1 m=1J,m,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) (分数:2.00)_31.求 (分数:2.00)_32.证明:(1)若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,则至少存在一点 a,b,使得f(x)dx
7、=f()(b一 a); (2)若函数 (x)具有二阶导数,且满足 (2)(1),(2) 2 2 (x)dx,则至少存在一点(1,3),使得 “()0(分数:2.00)_设 (分数:4.00)(1).证明 f(x)是以 为周期的周期函数;(分数:2.00)_(2).求 f(x)的值域(分数:2.00)_33.函数 与直线 x=0,x=t(t0)及 y=0 围成一曲边梯形该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体,其体积为 V(t),侧面积为 S(t),在 x=t 处的底面积为 F(t)(1)求 的值;(2)计算极限 (分数:2.00)_34.高为 l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为 2a,短轴为 2b
8、 的椭圆现将贮油罐平放,当油罐中油面被 时(如图 36),计算油的质量(长度单位为 m,质量单位为 kg,油的皴为常数 kgm 3 ) (分数:2.00)_35.椭球面 S 1 是椭圆 绕 x 轴旋转而成,圆锥面 S 2 是过点(4,0)且与椭圆 (分数:2.00)_一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面,该曲线由 x 2 +y 2 = 连接而成(如图 37) (分数:4.00)(1).求容器的容积;(分数:2.00)_(2).若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位为 m,重力加速度为 gms 2 ,水的密度为 10 3 kgm 3 )(分数:2.00
9、)_36.设 f(x)在区间a,b上可导,且满足 (分数:2.00)_37.计算 (分数:2.00)_38.过点(0,1)作曲线 L:y=1 似的切线,切点为 A,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 AB 围成求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积(分数:2.00)_39.(1)设 f(x)在(一,+)上连续,证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a(一,+)恒有 a a+l f(x)dx= 0 l f(x)dx (2)计算 (分数:2.00)_40.设 f(x)在一 ,上连续,且有 (分数:2.00)_41.设曲线 y=ax
10、 2 (x0,常数 a0)与曲线 y=1 一 x 2 交于点 A,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D,求 (1)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a); (2)a 的值,使 V(a)为最大(分数:2.00)_42.设 f(x)是区间0,+)上具有连续导数的单调增加函数,且 f(0)=1对任意的 t0,+),直线x=0,x=t,曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍,求函数 f(x)的表达式(分数:2.00)_43.求不定积分 (分数:2.00)_44.设有摆线 (分
11、数:2.00)_45.设 D 是由曲线 (分数:2.00)_46.设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy“一 y“+2=0,当曲线 y=y(x)过原点时,其与直线 x=1 及y=0 所围成的平面区域 D 的面积为 2,求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积(分数:2.00)_47.设 f(x)在0,a上有一阶连续导数,证明至少存在一点 0,a,使得 (分数:2.00)_48.设 f(x)= -1 x ttdt(x一 1),求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积(分数:2.00)_考研数学二(一元函数积分学)-试卷 5 答案解析(总分:106.00,做题时间:90 分钟)一
12、、选择题(总题数:14,分数:28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 ,其中 f(x)为连续函数,则 (分数:2.00)A.a 2 B.a 2 f(a) C.0D.不存在解析:解析:利用洛必达法则则3.若连续函数 f(x)满足关系式 (分数:2.00)A.e x ln2B.e 2x ln2 C.e x +ln2D.e 2x +In2解析:解析:在等式 ,两端对 x 求导得 f“(x)=2f(x),则 4.等于( ) (分数:2.00)A. 1 2 ln 2 xdxB.2 1 2 lnxdx C.2 1 2 ln(1+x)dxD
13、. 1 2 ln 2 (1+x)dx解析:解析:结合积分的定义,分割一求和一取极限可得5.如图 31,曲线段的方程为 y=f(x),函数 f(x)在区间0,a上有连续的导数,则定积分 0 a xf“(x)dx 等于( ) (分数:2.00)A.曲边梯形 ABOD 面积B.梯形 ABOD 面积C.曲边三角形 ACD 面积 D.三角形 ACD 面积解析:解析:首先 6.设 m,n 均是正整数,则反常积分 (分数:2.00)A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m,n 的取值都有关D.与 m,n 的取值都无关 解析:解析:显然 x=0,x=1 是该积分的两个瑕点,因此有7.设 f(
14、x)连续,且 (分数:2.00)A.1+Cxe x2 B.2+CxsinxC.2+Cx D.2+x解析:解析:令 xt=u,则 du=x.dt,8.若连续函数满足关系式 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:9.设 (分数:2.00)A.I 1 I 2 1B.1I 1 I 2 C.I 2 I 1 1D.1I 2 I 1解析:解析:10.积分 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:这是无界函数的反常积分,x=1 为瑕点,与求定积分一样,作变量替换 x=sint,其中 t故选 B11.设 f(x)在a,b连续,则 f(x)在a,b非负且在a,b的任意子区间上不恒为零是 F(x)
15、= a x (t)dt 在a,b单调增加的( )(分数:2.00)A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解析:解析:已知 g(x)在a,b连续,在(a,b)可导,则 g(x)在a,b单调增加 g“(x)0(x(a,b),在(a,b)的任意子区间内 g“(x)0因此,F(x)= 0 x f(t)dt(在a,b可导)在a,b单调增加 12.设 g(x)= 0 x f(u)du,其中 (分数:2.00)A.无界B.递减C.不连续D.连续 解析:解析:因为 f(x)在区间0,2上只有一个第一类间断点(x=1 为 f(x)的跳跃间断点),所以 f(x)在该区间上可积,
16、因而 g(x)= 0 x f(u)du 在该区间内必连续,故选 D13.方程 (分数:2.00)A.0B.1 C.2D.3解析:解析: 14.由曲线 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转所得旋转体的体积计算公式,得二、填空题(总题数:14,分数:28.00)15.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 4)解析:解析:16.已知f“(x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数),则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:17.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_
17、(正确答案:正确答案:*)解析:解析:18.= 1? (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 x 一 1=sint,则19.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 x=sint,则20.设 a0,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由题干可知,原式可化为 根据定积分的几何意义可得 (半径为 a 的半圆的面积)所以21.广义积分 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:本题主要考查的是凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式22.= 1. (分数:2.00
18、)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:ln2)解析:解析:23.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:24.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:25.当 0 时,对数螺旋 r=e 的弧长为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:利用极坐标的弧长公式:26.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:27.设函数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:已知 x0 时,函数 f(x)值恒为 0,因此可得28.
19、曲线 =1 相应于 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数:23,分数:50.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:设 y=f(x)是区间0,1上的任一非负连续函数(分数:4.00)(1).试证存在 x 0 (0,1),使得在区间0,x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积,等于在区间x 0 ,1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:本题可转化为证明 x 0 f(x 0 )= 0 1 f(x)dx令 (x)=一 x x 1 f(t)dt,则(x)在闭区间0,1上是连续的,在
20、开区间(0,1)上是可导的,又因为 (0)=(1)=0,根据罗尔定理可知,存在 x 0 (0,1),使得 “(x 0 )=0,即 “(x 0 )=x 0 f(x 0 )一 x0 1 f(t)dt=0 就是 x 0 f(x 0 )= x0 1 f(x)dx)解析:(2).又设 f(x)在区间(0,1)内可导,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 r(x)=xf(x)一 x 1 f(t)dt, )解析:30.为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井 1:3(如图 35 所示)已知井深30m,抓斗自重 400N,缆绳每米重 50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为
21、 3ms,在提升过程中,污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:1N1 m=1J,m,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:作 x 轴如图 313 所示,将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为 W,当抓斗运动到 x 处时,作用力 f(x)包括抓斗的自重 400N,缆绳的重力 50(30 一 x)N,污泥的重力 ,即 )解析:31.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:32.证明:(1)若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,则至少存
22、在一点 a,b,使得f(x)dx=f()(b一 a); (2)若函数 (x)具有二阶导数,且满足 (2)(1),(2) 2 2 (x)dx,则至少存在一点(1,3),使得 “()0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)设 M 与 m 是连续函数 f(x)在a,b上的最大值与最小值,即 )解析:设 (分数:4.00)(1).证明 f(x)是以 为周期的周期函数;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题设条件可得 设 t=u+,则有 )解析:(2).求 f(x)的值域(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为sinx周期为 ,故只需在0,上讨论值域因为 )解析:33.函数 与直
23、线 x=0,x=t(t0)及 y=0 围成一曲边梯形该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体,其体积为 V(t),侧面积为 S(t),在 x=t 处的底面积为 F(t)(1)求 的值;(2)计算极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:34.高为 l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为 2a,短轴为 2b 的椭圆现将贮油罐平放,当油罐中油面被 时(如图 36),计算油的质量(长度单位为 m,质量单位为 kg,油的皴为常数 kgm 3 ) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:如图 314,建立直角坐标系,则油罐底面椭圆方程为 图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形记 S 1 为下半椭
24、圆面积,则 记 S 2 是位于 x 轴上方阴影部分的面积,则 )解析:35.椭球面 S 1 是椭圆 绕 x 轴旋转而成,圆锥面 S 2 是过点(4,0)且与椭圆 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由题意得 S 1 的方程为 )解析:一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面,该曲线由 x 2 +y 2 = 连接而成(如图 37) (分数:4.00)(1).求容器的容积;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:曲线可表示为 )解析:(2).若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位为 m,重力加速度为 gms 2 ,水的密度为 10 3 kgm
25、3 )(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用微元法,所做功的计算分为两部分: )解析:36.设 f(x)在区间a,b上可导,且满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f(x)在区间a,b上可导,知 f(x)在区间a,b上连续,从而 F(x)=f(x)cosx 在 )解析:37.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:使用分部积分法和换元积分法 )解析:38.过点(0,1)作曲线 L:y=1 似的切线,切点为 A,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 AB 围成求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积(分数:2.00)_正确答案
26、:(正确答案:设切点坐标为 A(x 0 ,lnx 0 ),斜率为 ,因此该点处切线方程为 又因为该切线过 B(0,1),所以 x 0 =e 2 ,故切线方程为 切线与 x 轴交点为(1,0)因此直线 AB 的方程为 (1)区域的面积为 (2)旋转一周所围成的体积为 )解析:39.(1)设 f(x)在(一,+)上连续,证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a(一,+)恒有 a a+l f(x)dx= 0 l f(x)dx (2)计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)证明:必要性 (2)利用上述性质,将原区间变换成对称区间,从而利于使用函数的奇偶性,于是 )
27、解析:40.设 f(x)在一 ,上连续,且有 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:曲于 -x f(x)sindx 存在,且记为 A,于是可得, 对右边积分作积分变量变换:x= 一 t,当 x=0 时,t=;当 x= 时,t=0于是 )解析:41.设曲线 y=ax 2 (x0,常数 a0)与曲线 y=1 一 x 2 交于点 A,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D,求 (1)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a); (2)a 的值,使 V(a)为最大(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意知,y=ax 2 与 y=1x 2 的交点为 直
28、线 DA 的方程为 )解析:42.设 f(x)是区间0,+)上具有连续导数的单调增加函数,且 f(0)=1对任意的 t0,+),直线x=0,x=t,曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍,求函数 f(x)的表达式(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:旋转体的体积公式 )解析:43.求不定积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:44.设有摆线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:这是由参数方程给出的曲线,由于 x“()=1 一 cos,y“()=sin,则按旋转面面积计算公式,可得旋转面
29、的面积 )解析:45.设 D 是由曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由微元法可知 )解析:46.设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy“一 y“+2=0,当曲线 y=y(x)过原点时,其与直线 x=1 及y=0 所围成的平面区域 D 的面积为 2,求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:解微分方程 xy“一 y“+2=0,得其通解 y=C 1 +2x+C 2 x 2 ,其中 C 1 ,C 2 为任意常数又已知 y=y(x)通过原点时与直线 x=1 及 y=0 围成平面区域的面积为 2,可得 C 1 =0 因此 C 2 =3故所求
30、非负函数为 y=2x+3x 2 (x0)又由 y=2x+3x 2 可得,在第一象限曲线 y=y(x)表示为 直线 x=1 与曲线 y(x)交点为(1,5),过该点作 x 轴与 y 轴的垂线,构成的矩形绕 y 轴旋转所得圆柱体的体积为 5,于是 D 围绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 V=5V 1 ,其中 )解析:47.设 f(x)在0,a上有一阶连续导数,证明至少存在一点 0,a,使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由已知 )解析:48.设 f(x)= -1 x ttdt(x一 1),求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 tt为奇函数,可知其原函数 f(x)= -1 x ttdt= -1 0 ttdt+ 0 x ttdt 为偶函数,由 f(一 1)=0,得 f(1)=0,即 y=f(x)与 x 轴有交点(一 1,0),(1,0)又由 f“(x)=xx,可知 x0 时 f“(x)0,故 f(x)单调减少,因此 f(x)f(一 1)=0(一1x0)当 x0 时 f“(x)=xx0,故 f(x)单调增加,所以当 x0 时,y=f(x)与 x 轴有一交点(1,0)综上,y=f(x
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