1、考研数学二（一元函数积分学）-试卷 5 及答案解析(总分：106.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 ，其中 f(x)为连续函数，则 （分数：2.00）A.a 2 B.a 2 f(a)C.0D.不存在3.若连续函数 f(x)满足关系式 （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2C.e x +ln2D.e 2x +In24.等于( ) （分数：2.00）A. 1 2 ln 2 xdxB.2 1 2 lnxdxC.2 1 2 ln(1+x)dxD. 1 2 l
2、n 2 (1+x)dx5.如图 31，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0,a上有连续的导数，则定积分 0 a xf“(x)dx 等于( ) （分数：2.00）A.曲边梯形 ABOD 面积B.梯形 ABOD 面积C.曲边三角形 ACD 面积D.三角形 ACD 面积6.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m，n 的取值都有关D.与 m，n 的取值都无关7.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.1+Cxe x2 B.2+CxsinxC.2+CxD.2+x8.若连续函数满足关系式 （分数：2.00）A.B
3、.C.D.9.设 （分数：2.00）A.I 1 I 2 1B.1I 1 I 2 C.I 2 I 1 1D.1I 2 I 110.积分 （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 f(x)在a，b连续，则 f(x)在a，b非负且在a，b的任意子区间上不恒为零是 F(x)= a x (t)dt 在a，b单调增加的( )（分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 （分数：2.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续13.方程 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.314.由曲线 （分数：2.00）A.B
4、.C.D.二、填空题(总题数：14，分数：28.00)15.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_16.已知f“(x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数)，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_18.= 1? （分数：2.00）填空项 1:_19.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_20.设 a0，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.广义积分 （分数：2.00）填空项 1:_22.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_23.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_24.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_
5、25.当 0 时，对数螺旋 r=e 的弧长为 1（分数：2.00）填空项 1:_26.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_27.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_28.曲线 =1 相应于 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：50.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数（分数：4.00）(1).试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积，等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积；（分数：2.00）_(2).又设 f(x)在区间(0，
6、1)内可导，且 （分数：2.00）_30.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井 1：3(如图 35 所示)已知井深30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：1N1 m=1J，m，N，s，J 分别表示米，牛，秒，焦抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) （分数：2.00）_31.求 （分数：2.00）_32.证明：(1)若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得f(x)dx
7、=f()(b一 a)； (2)若函数 (x)具有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2) 2 2 (x)dx，则至少存在一点(1,3)，使得 “()0（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).证明 f(x)是以 为周期的周期函数；（分数：2.00）_(2).求 f(x)的值域（分数：2.00）_33.函数 与直线 x=0，x=t(t0)及 y=0 围成一曲边梯形该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 x=t 处的底面积为 F(t)(1)求 的值；(2)计算极限 （分数：2.00）_34.高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b
8、 的椭圆现将贮油罐平放，当油罐中油面被 时(如图 36)，计算油的质量(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的皴为常数 kgm 3 ) （分数：2.00）_35.椭球面 S 1 是椭圆 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 2 是过点(4，0)且与椭圆 （分数：2.00）_一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x 2 +y 2 = 连接而成(如图 37) （分数：4.00）(1).求容器的容积；（分数：2.00）_(2).若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位为 m，重力加速度为 gms 2 ，水的密度为 10 3 kgm 3 )（分数：2.00
9、）_36.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 （分数：2.00）_37.计算 （分数：2.00）_38.过点(0，1)作曲线 L：y=1 似的切线，切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域 D 由 L 与直线 AB 围成求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_39.(1)设 f(x)在(一，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a(一，+)恒有 a a+l f(x)dx= 0 l f(x)dx (2)计算 （分数：2.00）_40.设 f(x)在一 ，上连续，且有 （分数：2.00）_41.设曲线 y=ax
10、 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D，求 (1)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a); (2)a 的值，使 V(a)为最大（分数：2.00）_42.设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1对任意的 t0，+)，直线x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式（分数：2.00）_43.求不定积分 （分数：2.00）_44.设有摆线 （分
11、数：2.00）_45.设 D 是由曲线 （分数：2.00）_46.设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy“一 y“+2=0，当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及y=0 所围成的平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积（分数：2.00）_47.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 （分数：2.00）_48.设 f(x)= -1 x ttdt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积（分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）-试卷 5 答案解析(总分：106.00，做题时间：90 分钟)一
12、、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 ，其中 f(x)为连续函数，则 （分数：2.00）A.a 2 B.a 2 f(a) C.0D.不存在解析：解析：利用洛必达法则则3.若连续函数 f(x)满足关系式 （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2 C.e x +ln2D.e 2x +In2解析：解析：在等式 ，两端对 x 求导得 f“(x)=2f(x)，则 4.等于( ) （分数：2.00）A. 1 2 ln 2 xdxB.2 1 2 lnxdx C.2 1 2 ln(1+x)dxD
13、. 1 2 ln 2 (1+x)dx解析：解析：结合积分的定义，分割一求和一取极限可得5.如图 31，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0,a上有连续的导数，则定积分 0 a xf“(x)dx 等于( ) （分数：2.00）A.曲边梯形 ABOD 面积B.梯形 ABOD 面积C.曲边三角形 ACD 面积 D.三角形 ACD 面积解析：解析：首先 6.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m，n 的取值都有关D.与 m，n 的取值都无关 解析：解析：显然 x=0，x=1 是该积分的两个瑕点，因此有7.设 f(
14、x)连续，且 （分数：2.00）A.1+Cxe x2 B.2+CxsinxC.2+Cx D.2+x解析：解析：令 xt=u，则 du=x.dt，8.若连续函数满足关系式 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：9.设 （分数：2.00）A.I 1 I 2 1B.1I 1 I 2 C.I 2 I 1 1D.1I 2 I 1解析：解析：10.积分 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：这是无界函数的反常积分，x=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，其中 t故选 B11.设 f(x)在a，b连续，则 f(x)在a，b非负且在a，b的任意子区间上不恒为零是 F(x)
15、= a x (t)dt 在a，b单调增加的( )（分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析：已知 g(x)在a，b连续，在(a，b)可导，则 g(x)在a，b单调增加 g“(x)0(x(a，b)，在(a，b)的任意子区间内 g“(x)0因此，F(x)= 0 x f(t)dt(在a，b可导)在a，b单调增加 12.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 （分数：2.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续 解析：解析：因为 f(x)在区间0，2上只有一个第一类间断点(x=1 为 f(x)的跳跃间断点)，所以 f(x)在该区间上可积，
16、因而 g(x)= 0 x f(u)du 在该区间内必连续，故选 D13.方程 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析： 14.由曲线 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转所得旋转体的体积计算公式，得二、填空题(总题数：14，分数：28.00)15.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：16.已知f“(x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数)，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_
17、（正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.= 1? （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x 一 1=sint，则19.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x=sint，则20.设 a0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知，原式可化为 根据定积分的几何意义可得 (半径为 a 的半圆的面积)所以21.广义积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题主要考查的是凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式22.= 1. （分数：2.00
18、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：23.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：24.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：25.当 0 时，对数螺旋 r=e 的弧长为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用极坐标的弧长公式：26.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：27.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 x0 时，函数 f(x)值恒为 0，因此可得28.
19、曲线 =1 相应于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：23，分数：50.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数（分数：4.00）(1).试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积，等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可转化为证明 x 0 f(x 0 )= 0 1 f(x)dx令 (x)=一 x x 1 f(t)dt，则(x)在闭区间0，1上是连续的，在
20、开区间(0，1)上是可导的，又因为 (0)=(1)=0，根据罗尔定理可知，存在 x 0 (0，1)，使得 “(x 0 )=0，即 “(x 0 )=x 0 f(x 0 )一 x0 1 f(t)dt=0 就是 x 0 f(x 0 )= x0 1 f(x)dx)解析：(2).又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 r(x)=xf(x)一 x 1 f(t)dt， )解析：30.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井 1：3(如图 35 所示)已知井深30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为
21、 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：1N1 m=1J，m，N，s，J 分别表示米，牛，秒，焦抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作 x 轴如图 313 所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为 W，当抓斗运动到 x 处时，作用力 f(x)包括抓斗的自重 400N，缆绳的重力 50(30 一 x)N，污泥的重力 ，即 )解析：31.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.证明：(1)若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存
22、在一点 a，b，使得f(x)dx=f()(b一 a)； (2)若函数 (x)具有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2) 2 2 (x)dx，则至少存在一点(1,3)，使得 “()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 M 与 m 是连续函数 f(x)在a，b上的最大值与最小值，即 )解析：设 （分数：4.00）(1).证明 f(x)是以 为周期的周期函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件可得 设 t=u+，则有 )解析：(2).求 f(x)的值域（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为sinx周期为 ，故只需在0，上讨论值域因为 )解析：33.函数 与直
23、线 x=0，x=t(t0)及 y=0 围成一曲边梯形该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 x=t 处的底面积为 F(t)(1)求 的值；(2)计算极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆现将贮油罐平放，当油罐中油面被 时(如图 36)，计算油的质量(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的皴为常数 kgm 3 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 314，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为 图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形记 S 1 为下半椭
24、圆面积，则 记 S 2 是位于 x 轴上方阴影部分的面积，则 )解析：35.椭球面 S 1 是椭圆 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 2 是过点(4，0)且与椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题意得 S 1 的方程为 )解析：一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x 2 +y 2 = 连接而成(如图 37) （分数：4.00）(1).求容器的容积；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线可表示为 )解析：(2).若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位为 m，重力加速度为 gms 2 ，水的密度为 10 3 kgm
25、3 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用微元法，所做功的计算分为两部分： )解析：36.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)在区间a，b上可导，知 f(x)在区间a，b上连续，从而 F(x)=f(x)cosx 在 )解析：37.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用分部积分法和换元积分法 )解析：38.过点(0，1)作曲线 L：y=1 似的切线，切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域 D 由 L 与直线 AB 围成求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案
26、：(正确答案：设切点坐标为 A(x 0 ，lnx 0 )，斜率为 ，因此该点处切线方程为 又因为该切线过 B(0，1)，所以 x 0 =e 2 ，故切线方程为 切线与 x 轴交点为(1，0)因此直线 AB 的方程为 (1)区域的面积为 (2)旋转一周所围成的体积为 )解析：39.(1)设 f(x)在(一，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a(一，+)恒有 a a+l f(x)dx= 0 l f(x)dx (2)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)证明：必要性 (2)利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是 )
27、解析：40.设 f(x)在一 ，上连续，且有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲于 -x f(x)sindx 存在，且记为 A，于是可得， 对右边积分作积分变量变换：x= 一 t，当 x=0 时，t=；当 x= 时，t=0于是 )解析：41.设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D，求 (1)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a); (2)a 的值，使 V(a)为最大（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知，y=ax 2 与 y=1x 2 的交点为 直
28、线 DA 的方程为 )解析：42.设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1对任意的 t0，+)，直线x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：旋转体的体积公式 )解析：43.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：44.设有摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是由参数方程给出的曲线，由于 x“()=1 一 cos，y“()=sin，则按旋转面面积计算公式，可得旋转面
29、的面积 )解析：45.设 D 是由曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微元法可知 )解析：46.设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy“一 y“+2=0，当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及y=0 所围成的平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解微分方程 xy“一 y“+2=0，得其通解 y=C 1 +2x+C 2 x 2 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数又已知 y=y(x)通过原点时与直线 x=1 及 y=0 围成平面区域的面积为 2，可得 C 1 =0 因此 C 2 =3故所求
30、非负函数为 y=2x+3x 2 (x0)又由 y=2x+3x 2 可得，在第一象限曲线 y=y(x)表示为 直线 x=1 与曲线 y(x)交点为(1，5)，过该点作 x 轴与 y 轴的垂线，构成的矩形绕 y 轴旋转所得圆柱体的体积为 5，于是 D 围绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 V=5V 1 ，其中 )解析：47.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 )解析：48.设 f(x)= -1 x ttdt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 tt为奇函数，可知其原函数 f(x)= -1 x ttdt= -1 0 ttdt+ 0 x ttdt 为偶函数，由 f(一 1)=0，得 f(1)=0，即 y=f(x)与 x 轴有交点(一 1，0)，(1，0)又由 f“(x)=xx，可知 x0 时 f“(x)0，故 f(x)单调减少，因此 f(x)f(一 1)=0(一1x0)当 x0 时 f“(x)=xx0，故 f(x)单调增加，所以当 x0 时，y=f(x)与 x 轴有一交点(1，0)综上，y=f(x
