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【考研类试卷】考研数学二(二次型)模拟试卷12及答案解析.doc

1、考研数学二(二次型)模拟试卷 12 及答案解析(总分:84.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:12,分数:24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则( )(分数:2.00)A.存在可逆矩阵 P 1 ,P 2 ,使得 P 1 -1 AP 1 ,P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ,Q 2 ,使得 Q 1 T AQ 1 ,Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P,使得 P -1 (AB)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQB3.n 阶实对称矩阵

2、 A 正定的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A -1 是正定矩阵4.下列说法正确的是( )(分数:2.00)A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同,则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数,则该二次型为正定二次型D.一次型的标准形不唯一,但规范形是唯一的5.设 A 为可逆的实对称矩阵,则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )(分数:2.00)A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都

3、相同6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同,则 A 是( )(分数:2.00)A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵7.设 A,B 都是 n 阶矩阵,且存在可逆矩阵 P,使得 APB,则( )(分数:2.00)A.A,B 合同B.A,B 相似C.方程组 AX0 与 BX0 同解D.r(A)r(B)8.设 A,B 为 n 阶实对称矩阵,则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.r(A)r(B)B.ABC.ABD.A,B 与同一个实对称矩阵合同9.设 (分数:2.00)A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似10.设 A,B 为三阶矩阵,且特征

4、值均为2,1,1,以下命题: (1)AB;(2)A,B 合同;(3)A,B 等价;(4)AB中正确的命题个数为( )(分数:2.00)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个11.设 (分数:2.00)A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同12.设 A 是三阶实对称矩阵,若对任意的三维列向量 X,有 X T AX0,则( )(分数:2.00)A.A0B.A0C.A0D.以上都不对二、填空题(总题数:5,分数:10.00)13.二次型 f( 1 , 2 , 3 )( 1 2 2 ) 2 4 2 3 的矩阵为 1(分数:2.00)填空项 1:_14.设 (分数:2.00

5、)填空项 1:_15.设二次型 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 a 2 3 的秩为 2,则 a 1(分数:2.00)填空项 1:_16.设 5 1 2 2 2 t 3 2 4 1 2 2 1 3 2 2 3 为正定二次型,则 t 的取值范围是 1(分数:2.00)填空项 1:_17.f( 1 , 2 , 3 , 4 )X T AX 的正惯性指数是 2,且 A 2 2AO,该二次型的规范形为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:25,分数:50.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_19.用配方法化二次型 f( 1 , 2 , 3

6、 ) 1 2 2 3 为标准二次型(分数:2.00)_20.用配方法化二次型 f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 2 1 2 2 1 3 4 3 2 为标准形(分数:2.00)_21.设二次型 f( 1 , 2 , 3 )X T AX,A 的主对角线上元素之和为 3,又 ABBO,其中 B (分数:2.00)_22.用正交变换法化二次型 f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 2 2 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 为标准二次型(分数:2.00)_23.设二次型 f( 1 , 2 , 3 )(a1) 1 2 (a1) 2 2 2 3 2 2 1 2 (a0)的秩为 2 (1)求 a

7、; (2)用正交变换法化二次型为标准形(分数:2.00)_24.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r,且满足 A 2 A(A 称为幂等阵) 求:(1)二次型 X T AX 的标准形; (2)EAA 2 A n 的值(分数:2.00)_25.设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵 f( 1 , 2 , N ) (分数:2.00)_26.设 A 是三阶实对称矩阵,且 A 2 2AO,r(A)2 (1)求 A 的全部特征值; (2)当 k 为何值时,AkE 为正定矩阵?(分数:2.00)_27.设二次型 f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 4 2 2 2 3 2 2t 1 2 2 1 3 为正定二次型,

8、求 t 的范围(分数:2.00)_28.设 A 是 n 阶正定矩阵,证明:EA1(分数:2.00)_29.用配方法化下列二次型为标准形: f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 2 2 2 5 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 (分数:2.00)_30.用配方法化下 N-次型为标准形: f( 1 , 2 , 3 )2 1 2 2 1 3 6 2 3 (分数:2.00)_31.二次型 f(x1,z2,z3)一 z;+ax;+z;一 4x1 z28x1 z34x2273 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 by 2 2 4y 3 2 ,求: (1)常数 a,b; (2)正交变换的矩阵 Q

9、(分数:2.00)_32.设 C 为正定矩阵,令 P (分数:2.00)_33.设二次型 f( 1 , 2 , 3 )X T AX,tr(A)1,又 B (分数:2.00)_34.设 A 为 mn 阶实矩阵,且 r(A)n证明:A T A 的特征值全大于零(分数:2.00)_35.设 A 为 n 阶正定矩阵证明:对任意的可逆矩阵 P,P T AP 为正定矩阵(分数:2.00)_36.设 P 为可逆矩阵,AP T P证明:A 是正定矩阵(分数:2.00)_37.设 A,B 为 n 阶正定矩阵证明:AB 为正定矩阵(分数:2.00)_38.三元二次型 fX T AX 经过正交变换化为标准形 fy

10、1 2 y 2 2 2y 3 2 ,且 A * 2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 (分数:2.00)_39.设二次型 f2 1 2 2 2 2 a 3 2 2 1 2 2b 1 3 2 2 3 经过正交变换XQY 化为标准形 fy 1 2 y 2 2 4y 3 2 ,求参数 a,b 及正交矩阵 Q(分数:2.00)_40.设齐次线性方程组 有非零解,A 为正定矩阵,求 a,并求当X (分数:2.00)_41.设 A 为实对称矩阵,且 A 的特征值都大于零证明:A 为正定矩阵(分数:2.00)_42.设 A 为 m 阶正定矩阵,B 为 mn 阶实矩阵证明:B T AB 正定的充分必要条件是

11、 r(B)n(分数:2.00)_考研数学二(二次型)模拟试卷 12 答案解析(总分:84.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:12,分数:24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则( )(分数:2.00)A.存在可逆矩阵 P 1 ,P 2 ,使得 P 1 -1 AP 1 ,P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ,Q 2 ,使得 Q 1 T AQ 1 ,Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P,使得 P -1 (AB)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P,Q

12、,使得 PAQB 解析:解析:因为 A,B 都是可逆矩阵,所以 A,B 等价,即存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQB,选 D3.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.A 无负特征值 B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A -1 是正定矩阵解析:解析:A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数,A 项不对;若 A 为正定矩阵,则 A 一定是满秩矩阵,但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数,不能保证都是正数,B 项不对;C 项既不是充分条件又不是必要条件;显然 D 项既是充分条件又是必要条件4.下列说法正确的是( )(分数:2.00)

13、A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同,则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数,则该二次型为正定二次型D.一次型的标准形不唯一,但规范形是唯一的 解析:解析:A 项不对,如 f 1 2 ,令 ,则 fy 1 2 y 2 2 ; 若令 5.设 A 为可逆的实对称矩阵,则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )(分数:2.00)A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同 C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同解析:解析:因为 A 与 A -1 合同,所以 X T AX 与 X T A -1 X

14、 规范形相同,但标准形不一定相同,即使是同一个二次型也有多种标准形,选 B6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同,则 A 是( )(分数:2.00)A.可逆矩阵B.实对称矩阵 C.正定矩阵D.正交矩阵解析:解析:因为 A 与对角阵 A 合同,所以存在可逆矩阵 P,使得 P T APA,从而 A(P T ) -1 AP -1 (P -1 ) T AP -1 ,A T (P -1 ) T AP -1 T (P -1 ) T AP -1 A,选 B7.设 A,B 都是 n 阶矩阵,且存在可逆矩阵 P,使得 APB,则( )(分数:2.00)A.A,B 合同B.A,B 相似C.方程组 AX0 与 BX

15、0 同解D.r(A)r(B) 解析:解析:因为 P 可逆,所以 r(A)r(B),选 D8.设 A,B 为 n 阶实对称矩阵,则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.r(A)r(B)B.ABC.ABD.A,B 与同一个实对称矩阵合同 解析:解析:因为 A,B 与同一个实对称矩阵合同,则 A,B 合同,反之若 A,B 合同,则 A,B 的正负惯性指数相同,从而 A,B 与9.设 (分数:2.00)A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似 D.不合同也不相似解析:解析:由EA 0 得 A 的特征值为 1,3,5,由EB0 得 B 的特征值为1,1,1,所以 A 与 B 合

16、同但不相似,选 C10.设 A,B 为三阶矩阵,且特征值均为2,1,1,以下命题: (1)AB;(2)A,B 合同;(3)A,B 等价;(4)AB中正确的命题个数为( )(分数:2.00)A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析:解析:因为 A,B 的特征值为2,1,1,所以AB2,又因为 r(A)r(B)3,所以A,B 等价,但 A,B 不一定相似或合同,选 B11.设 (分数:2.00)A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析:解析:显然 A,B 都是实对称矩阵,由EA 0,得 A 的特征值为 1 1, 2 2, 3 9, 由EB0,得 B 的特征值为

17、 1 1, 2 3 3,因为 A,B 惯性指数相等,但特征值不相同,所以 A,B 合同但不相似,选 C12.设 A 是三阶实对称矩阵,若对任意的三维列向量 X,有 X T AX0,则( )(分数:2.00)A.A0 B.A0C.A0D.以上都不对解析:解析:设二次型X T AX 1 y 1 2 2 y 2 2 3 y 3 2 ,其中 Q 为正交矩阵取Y 二、填空题(总题数:5,分数:10.00)13.二次型 f( 1 , 2 , 3 )( 1 2 2 ) 2 4 2 3 的矩阵为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为 f( 1 , 2 , 3 ) 1

18、2 4 2 2 4 1 2 4 2 3 , 所以 A 14.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 正交规范化的向量组为 1 15.设二次型 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 a 2 3 的秩为 2,则 a 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:该二次型的矩阵为 A ,因为该二次型的秩为 2,所以A0,解得 a16.设 5 1 2 2 2 t 3 2 4 1 2 2 1 3 2 2 3 为正定二次型,则 t 的取值范围是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:t2)解析:解析:二次型的矩阵为

19、A ,因为二次型为正定二次型,所以有 50,17.f( 1 , 2 , 3 , 4 )X T AX 的正惯性指数是 2,且 A 2 2AO,该二次型的规范形为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y 1 2 y 2 2)解析:解析:A 2 2AO r(A)r(2EA)4 三、解答题(总题数:25,分数:50.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:19.用配方法化二次型 f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 2 3 为标准二次型(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 即 XPY, 其中 则 f( 1 , 2 , 3 )X

20、T AX )解析:20.用配方法化二次型 f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 2 1 2 2 1 3 4 3 2 为标准形(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 2 1 2 2 1 3 4 3 2 ( 1 2 3 ) 2 ( 2 3 ) 2 4 3 2 , 即 XPY,其中 P 则 f( 1 , 2 , 3 )X T AX )解析:21.设二次型 f( 1 , 2 , 3 )X T AX,A 的主对角线上元素之和为 3,又 ABBO,其中 B (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由 ABBO 得(EA)BO,从而 r(EA)r(B)3, 因

21、为 r(B)2,所以r(EA)1,从而 1 为 A 的特征值且不低于 2 重, 显然 1 不可能为三重特征值,则 A 的特征值为 1 2 1, 3 5 由(EA)BO 得 B 的列组为(EA)X0 的解, 故 为 1 2 1 对应的线性无关解 令 3 为 3 5 对应的特征向量, 因为 A T A, 令 Q( 1 , 2 , 3 ),则 fX T AX y 1 2 y 2 2 5y 3 2 (2)由 Q T AQ )解析:22.用正交变换法化二次型 f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 2 2 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 为标准二次型(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f

22、( 1 , 2 , 3 )X T AX,其中 X 由EA (3)(3) 2 0 得 1 3, 2 3 3 由(3EA)X0 得 1 3 对应的线性无关的特征向量为 1 ; 由(3EA)X0 得 2 3 3 对应的线性无关的特征向量为 将 1 , 2 正交化得 则 f( 1 , 2 , 3 )X T AX )解析:23.设二次型 f( 1 , 2 , 3 )(a1) 1 2 (a1) 2 2 2 3 2 2 1 2 (a0)的秩为 2 (1)求 a; (2)用正交变换法化二次型为标准形(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)A ,因为二次型的秩为 2,所以 r(A)2,从而 a2 (2)

23、A ,由EA0 得 1 2 2, 3 0 当 2 时,由(2EA)X0 得 2 对应的线性无关的特征向量为 当 0 时,(0EA)X0 得 0 对应的线性无关的特征向量为 3 因为 1 , 2 两两正交,单位化得 令 则 fX T AX )解析:24.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r,且满足 A 2 A(A 称为幂等阵) 求:(1)二次型 X T AX 的标准形; (2)EAA 2 A n 的值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)因为 A 2 A,所以AEA0,即 A 的特征值为 0 或者 1, 因为 A 为实对称矩阵,所以 A 可对角化,由 r(A)r 得 A 的特征值为 1

24、(r 重),0 (nr 重),则二次型 X T AX 的标准形为 y 1 2 y 2 2 y r 2 (2)令 BEAA 2 A n ,则 B 的特征值为n1(r 重),1(nr 重),故 EAA 2 A n B(n1) r )解析:25.设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵 f( 1 , 2 , N ) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)f(X)( 1 , 2 , n ) 因为 r(A)n,所以A0,于是 )解析:26.设 A 是三阶实对称矩阵,且 A 2 2AO,r(A)2 (1)求 A 的全部特征值; (2)当 k 为何值时,AkE 为正定矩阵?(分数:2.00)_正确答案:(

25、正确答案:(1)由 A 2 2AO 得 r(A)r(A2E)3,从而 A 的特征值为 0 或2,因为 A 是实对称矩阵且 r(A)2,所以 1 0, 2 3 2 (2)AkE 的特征值为 k,k2,k2,当k2 时,AkE 为正定矩阵)解析:27.设二次型 f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 4 2 2 2 3 2 2t 1 2 2 1 3 为正定二次型,求 t 的范围(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二次型的矩阵为 A ,因为该二次型为正定二次型, 所以有 解得)解析:28.设 A 是 n 阶正定矩阵,证明:EA1(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 是正定矩阵,所以

26、存在正交阵 Q,使得 Q T AQ 其中 1 0, 2 0, n 0, 因此 Q T (AE)Q )解析:29.用配方法化下列二次型为标准形: f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 2 2 2 5 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 , 则 f( 1 , 2 , 3 )X T AX, f( 1 , 2 , 3 ) 1 2 2 2 2 5 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 ( 1 2 3 ) 2 ( 2 2 3 ) 2 10 3 2 , 显然 P 可逆, 且 f( 1 , 2 , 3 ) )解析:30.用配方法化下 N-次型为标准形

27、: f( 1 , 2 , 3 )2 1 2 2 1 3 6 2 3 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 ,或 XP 1 Y, 其中 且 P 1 可逆, 则 f( 1 , 2 , 3 ) 2y 1 2 2y 2 2 8y 1 y 3 4y 2 y 3 2(y 1 2y 3 ) 2 2(y 2 y 3 )6y 3 2 , 令PP 1 P 2 ,P 可逆,且 f( 1 , 2 , 3 )X T AX )解析:31.二次型 f(x1,z2,z3)一 z;+ax;+z;一 4x1 z28x1 z34x2273 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 by 2 2 4y 3 2 ,求: (1)常数

28、 a,b; (2)正交变换的矩阵 Q(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)令 ,则 f( 1 , 2 , 3 )X T AX 矩阵 A 的特征值为 1 5, 2 6, 3 4, 从而 A ,特征值为 1 2 5, 3 4 (2)将 1 2 5 代入(EA)X0,即(5EA)X0, 由 5EA 得 1 2 5 对应的线性无关的特征向量为 将 3 4 代入(EA)X0,即(4EA)X0。 由 4EA 得 3 4 对应的线性无关的特征向量为 所求的正交变换矩阵为 Q )解析:32.设 C 为正定矩阵,令 P (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)因为 C 为正定矩阵所以 A T

29、A,D T D, (2)因为 C 与 合同,且 C 为正定矩阵,所以 )解析:33.设二次型 f( 1 , 2 , 3 )X T AX,tr(A)1,又 B (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由 ABO 得 0, 即 为 0 的两个线性无关的特征向量,从而 0 为至少二重特征值, 又由 tr(A)1 得 3 1, 即 1 2 0, 3 1 令 3 1 对应的特征向量为 3 因为 A T A,所以 解得 3 1 对应的线性无关的特征向量为 所求的正交矩阵为 Q 且 X T AX y 3 2 (2)由 )解析:34.设 A 为 mn 阶实矩阵,且 r(A)n证明:A T A 的特征值

30、全大于零(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先 A T A 为实对称矩阵,r(A T A)n,对任意的 X0, X T (A T A)X(AX) T (AX),令 AX,因为 r(A)n,所以 0,所以(AX) T (AX) T 2 0,即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型,A T A 为正定矩阵,所以 A T A 的特征值全大于零)解析:35.设 A 为 n 阶正定矩阵证明:对任意的可逆矩阵 P,P T AP 为正定矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先 A T A,因为(P T AP) T P T A T (P T ) T P T AP,所以 P T AP

31、为对称矩阵,对任意的 X0,X T (P T AP)X(PX) T A(PX),令 PX,因为 P 可逆且 X0,所以 0,又因为 A 为正定矩阵,所以 T A0,即 X T (P T AP)X0,故 X T (P T AP)X 为正定二次型,于是 P T AP 为正定矩阵)解析:36.设 P 为可逆矩阵,AP T P证明:A 是正定矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:显然 A T A,对任意的 X0,X T AX(PX) T (PX),因为 X0 且 P 可逆,所以PX0,于是 X T AX(PX) T (PX)PX 2 0,即 X T AX 为正定二次型,故 A 为正定矩阵)解析:37.设 A,B 为 n 阶正定矩阵证明:AB 为正定矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A,B 正定,所以 A T A,B T B,从而(AB) T AB,即 AB 为对称矩阵对任意的 X0,X T (AB)XX T AXX

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