1、考研数学二（二次型）模拟试卷 12 及答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 -1 AP 1 ，P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (AB)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB3.n 阶实对称矩阵
2、 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A -1 是正定矩阵4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.一次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都
3、相同6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 APB，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX0 与 BX0 同解D.r(A)r(B)8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)r(B)B.ABC.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同9.设 （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似10.设 A，B 为三阶矩阵，且特征
4、值均为2，1，1，以下命题： (1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)AB中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个11.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同12.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX0，则( )（分数：2.00）A.A0B.A0C.A0D.以上都不对二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )( 1 2 2 ) 2 4 2 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00
5、）填空项 1:_15.设二次型 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 a 2 3 的秩为 2，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 5 1 2 2 2 t 3 2 4 1 2 2 1 3 2 2 3 为正定二次型，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_17.f( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 2AO，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.用配方法化二次型 f( 1 ， 2 ， 3
6、 ) 1 2 2 3 为标准二次型（分数：2.00）_20.用配方法化二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 1 2 2 1 3 4 3 2 为标准形（分数：2.00）_21.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 ABBO，其中 B （分数：2.00）_22.用正交变换法化二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 为标准二次型（分数：2.00）_23.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )(a1) 1 2 (a1) 2 2 2 3 2 2 1 2 (a0)的秩为 2 (1)求 a
7、； (2)用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_24.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 A(A 称为幂等阵) 求：(1)二次型 X T AX 的标准形； (2)EAA 2 A n 的值（分数：2.00）_25.设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵 f( 1 ， 2 ， N ) （分数：2.00）_26.设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 2 2AO，r(A)2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，AkE 为正定矩阵?（分数：2.00）_27.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 4 2 2 2 3 2 2t 1 2 2 1 3 为正定二次型，
8、求 t 的范围（分数：2.00）_28.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：EA1（分数：2.00）_29.用配方法化下列二次型为标准形： f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 2 5 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 （分数：2.00）_30.用配方法化下 N-次型为标准形： f( 1 ， 2 ， 3 )2 1 2 2 1 3 6 2 3 （分数：2.00）_31.二次型 f(x1，z2，z3)一 z；+ax；+z；一 4x1 z28x1 z34x2273 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 by 2 2 4y 3 2 ，求： (1)常数 a，b； (2)正交变换的矩阵 Q
9、（分数：2.00）_32.设 C 为正定矩阵，令 P （分数：2.00）_33.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX，tr(A)1，又 B （分数：2.00）_34.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_35.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_36.设 P 为可逆矩阵，AP T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_37.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_38.三元二次型 fX T AX 经过正交变换化为标准形 fy
10、1 2 y 2 2 2y 3 2 ，且 A * 2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 （分数：2.00）_39.设二次型 f2 1 2 2 2 2 a 3 2 2 1 2 2b 1 3 2 2 3 经过正交变换XQY 化为标准形 fy 1 2 y 2 2 4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_40.设齐次线性方程组 有非零解，A 为正定矩阵，求 a，并求当X （分数：2.00）_41.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_42.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是
11、 r(B)n（分数：2.00）_考研数学二（二次型）模拟试卷 12 答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 -1 AP 1 ，P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (AB)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q
12、，使得 PAQB 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB，选 D3.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值 B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A -1 是正定矩阵解析：解析：A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，A 项不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，B 项不对；C 项既不是充分条件又不是必要条件；显然 D 项既是充分条件又是必要条件4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）
13、A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.一次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 解析：解析：A 项不对，如 f 1 2 ，令 ，则 fy 1 2 y 2 2 ； 若令 5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同 C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同解析：解析：因为 A 与 A -1 合同，所以 X T AX 与 X T A -1 X
14、 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选 B6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵 C.正定矩阵D.正交矩阵解析：解析：因为 A 与对角阵 A 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 P T APA，从而 A(P T ) -1 AP -1 (P -1 ) T AP -1 ，A T (P -1 ) T AP -1 T (P -1 ) T AP -1 A，选 B7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 APB，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX0 与 BX
15、0 同解D.r(A)r(B) 解析：解析：因为 P 可逆，所以 r(A)r(B)，选 D8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)r(B)B.ABC.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同 解析：解析：因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B 合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与9.设 （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似 D.不合同也不相似解析：解析：由EA 0 得 A 的特征值为 1，3，5，由EB0 得 B 的特征值为1，1，1，所以 A 与 B 合
16、同但不相似，选 C10.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为2，1，1，以下命题： (1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)AB中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析：因为 A，B 的特征值为2，1，1，所以AB2，又因为 r(A)r(B)3，所以A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选 B11.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析：解析：显然 A，B 都是实对称矩阵，由EA 0，得 A 的特征值为 1 1， 2 2， 3 9， 由EB0，得 B 的特征值为
17、 1 1， 2 3 3，因为 A，B 惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选 C12.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX0，则( )（分数：2.00）A.A0 B.A0C.A0D.以上都不对解析：解析：设二次型X T AX 1 y 1 2 2 y 2 2 3 y 3 2 ，其中 Q 为正交矩阵取Y 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )( 1 2 2 ) 2 4 2 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1
18、2 4 2 2 4 1 2 4 2 3 ， 所以 A 14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 正交规范化的向量组为 1 15.设二次型 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 a 2 3 的秩为 2，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该二次型的矩阵为 A ，因为该二次型的秩为 2，所以A0，解得 a16.设 5 1 2 2 2 t 3 2 4 1 2 2 1 3 2 2 3 为正定二次型，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t2）解析：解析：二次型的矩阵为
19、A ，因为二次型为正定二次型，所以有 50，17.f( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 2AO，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 y 2 2）解析：解析：A 2 2AO r(A)r(2EA)4 三、解答题(总题数：25，分数：50.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.用配方法化二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 3 为标准二次型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 即 XPY， 其中 则 f( 1 ， 2 ， 3 )X
20、T AX )解析：20.用配方法化二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 1 2 2 1 3 4 3 2 为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 1 2 2 1 3 4 3 2 ( 1 2 3 ) 2 ( 2 3 ) 2 4 3 2 ， 即 XPY，其中 P 则 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX )解析：21.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 ABBO，其中 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 ABBO 得(EA)BO，从而 r(EA)r(B)3， 因
21、为 r(B)2，所以r(EA)1，从而 1 为 A 的特征值且不低于 2 重， 显然 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 2 1， 3 5 由(EA)BO 得 B 的列组为(EA)X0 的解， 故 为 1 2 1 对应的线性无关解 令 3 为 3 5 对应的特征向量， 因为 A T A， 令 Q( 1 ， 2 ， 3 )，则 fX T AX y 1 2 y 2 2 5y 3 2 (2)由 Q T AQ )解析：22.用正交变换法化二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 为标准二次型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f
22、( 1 ， 2 ， 3 )X T AX，其中 X 由EA (3)(3) 2 0 得 1 3， 2 3 3 由(3EA)X0 得 1 3 对应的线性无关的特征向量为 1 ； 由(3EA)X0 得 2 3 3 对应的线性无关的特征向量为 将 1 ， 2 正交化得 则 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX )解析：23.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )(a1) 1 2 (a1) 2 2 2 3 2 2 1 2 (a0)的秩为 2 (1)求 a； (2)用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A ，因为二次型的秩为 2，所以 r(A)2，从而 a2 (2)
23、A ，由EA0 得 1 2 2， 3 0 当 2 时，由(2EA)X0 得 2 对应的线性无关的特征向量为 当 0 时，(0EA)X0 得 0 对应的线性无关的特征向量为 3 因为 1 ， 2 两两正交，单位化得 令 则 fX T AX )解析：24.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 A(A 称为幂等阵) 求：(1)二次型 X T AX 的标准形； (2)EAA 2 A n 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 2 A，所以AEA0，即 A 的特征值为 0 或者 1， 因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)r 得 A 的特征值为 1
24、(r 重)，0 (nr 重)，则二次型 X T AX 的标准形为 y 1 2 y 2 2 y r 2 (2)令 BEAA 2 A n ，则 B 的特征值为n1(r 重)，1(nr 重)，故 EAA 2 A n B(n1) r )解析：25.设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵 f( 1 ， 2 ， N ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f(X)( 1 ， 2 ， n ) 因为 r(A)n，所以A0，于是 )解析：26.设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 2 2AO，r(A)2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，AkE 为正定矩阵?（分数：2.00）_正确答案：(
25、正确答案：(1)由 A 2 2AO 得 r(A)r(A2E)3，从而 A 的特征值为 0 或2，因为 A 是实对称矩阵且 r(A)2，所以 1 0， 2 3 2 (2)AkE 的特征值为 k，k2，k2，当k2 时，AkE 为正定矩阵)解析：27.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 4 2 2 2 3 2 2t 1 2 2 1 3 为正定二次型，求 t 的范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 A ，因为该二次型为正定二次型， 所以有 解得)解析：28.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：EA1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正定矩阵，所以
26、存在正交阵 Q，使得 Q T AQ 其中 1 0， 2 0， n 0， 因此 Q T (AE)Q )解析：29.用配方法化下列二次型为标准形： f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 2 5 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ， 则 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX， f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 2 5 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 ( 1 2 3 ) 2 ( 2 2 3 ) 2 10 3 2 ， 显然 P 可逆， 且 f( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：30.用配方法化下 N-次型为标准形
27、： f( 1 ， 2 ， 3 )2 1 2 2 1 3 6 2 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，或 XP 1 Y， 其中 且 P 1 可逆， 则 f( 1 ， 2 ， 3 ) 2y 1 2 2y 2 2 8y 1 y 3 4y 2 y 3 2(y 1 2y 3 ) 2 2(y 2 y 3 )6y 3 2 ， 令PP 1 P 2 ，P 可逆，且 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX )解析：31.二次型 f(x1，z2，z3)一 z；+ax；+z；一 4x1 z28x1 z34x2273 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 by 2 2 4y 3 2 ，求： (1)常数
28、 a，b； (2)正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 ，则 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX 矩阵 A 的特征值为 1 5， 2 6， 3 4， 从而 A ，特征值为 1 2 5， 3 4 (2)将 1 2 5 代入(EA)X0，即(5EA)X0， 由 5EA 得 1 2 5 对应的线性无关的特征向量为 将 3 4 代入(EA)X0，即(4EA)X0。 由 4EA 得 3 4 对应的线性无关的特征向量为 所求的正交变换矩阵为 Q )解析：32.设 C 为正定矩阵，令 P （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 C 为正定矩阵所以 A T
29、A，D T D， (2)因为 C 与 合同，且 C 为正定矩阵，所以 )解析：33.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX，tr(A)1，又 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 ABO 得 0， 即 为 0 的两个线性无关的特征向量，从而 0 为至少二重特征值， 又由 tr(A)1 得 3 1， 即 1 2 0， 3 1 令 3 1 对应的特征向量为 3 因为 A T A，所以 解得 3 1 对应的线性无关的特征向量为 所求的正交矩阵为 Q 且 X T AX y 3 2 (2)由 )解析：34.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)n证明：A T A 的特征值
30、全大于零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T A 为实对称矩阵，r(A T A)n，对任意的 X0， X T (A T A)X(AX) T (AX)，令 AX，因为 r(A)n，所以 0，所以(AX) T (AX) T 2 0，即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型，A T A 为正定矩阵，所以 A T A 的特征值全大于零)解析：35.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T A，因为(P T AP) T P T A T (P T ) T P T AP，所以 P T AP
31、为对称矩阵，对任意的 X0，X T (P T AP)X(PX) T A(PX)，令 PX，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 T A0，即 X T (P T AP)X0，故 X T (P T AP)X 为正定二次型，于是 P T AP 为正定矩阵)解析：36.设 P 为可逆矩阵，AP T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 A T A，对任意的 X0，X T AX(PX) T (PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以PX0，于是 X T AX(PX) T (PX)PX 2 0，即 X T AX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵)解析：37.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 正定，所以 A T A，B T B，从而(AB) T AB，即 AB 为对称矩阵对任意的 X0，X T (AB)XX T AXX
