1、考研数学二（二次型）模拟试卷 18 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 -4x 3 2 -4x 1 x 2 -2x 2 x 3 的标准形为（分数：2.00）A.2y 1 2 -y 2 2 -3y 3 2B.-2y 1 2 -y 2 2 -3y 3 2C.-2y 1 2 +y 2 2D.2y 1 2 +y 2 2 +3y 3 2二、填空题(总题数：3，分数：6.00)3.设二次型 f(
2、x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 2 x 3 +2x 1 x 3 经正交变换 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_4.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_5.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题
3、(总题数：23，分数：46.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_7.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 ，写出 f 的矩阵A，求出 A 的特征值，并指出曲面 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 的名称（分数：2.00）_8.设矩阵 A= （分数：2.00）_9.设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C= （分数：2.00）_10.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 -2x 2 2 +bx 3 2 -4
4、x 1 x 2 +4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 (a0)经正交变换 （分数：2.00）_11.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_12.设有 n 元实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x n-1 +a n-1 x n ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 ，其中 a(i=1，2，n)为实数试问：当 a 1 ，a 2 ，a n 满足何种条件时，二次型 f 为正定二次型（分数：2.00）_13.设
5、 c 1 ，c 2 ，c n 均为非零实常数，A=(a ij ) nn 为正定矩阵，令 b ij =a ij c i c j (i，j=1，2，n)，矩阵 B=(b ij ) nn ，证明矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_14.设矩阵 A nn 正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B 2 （分数：2.00）_15.设 1 、 n 分别为 n 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值，X 1 、X n 分别为对应于 1 和 n 的特征向量，记 f(X)= （分数：2.00）_16.求二元函数 f(x，y)= （分数：2.00）_17.求三元函数 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=3x 1 2
6、 +2x 2 2 +3x 3 2 +2x 1 x 3 在 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 =1 条件下的最大及最小值，并求出最大值点及最小值点（分数：2.00）_18.设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a、b 为常数，证明：矩阵 A+B的特征值全大于 a+b（分数：2.00）_19.设 n 阶矩阵 A 正定，X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，证明：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_20.设实对称矩阵 A 满足 A 2 -3A+2E=O，证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_21.设 A 是 n 阶实
7、对称矩阵证明： (1)存在实数 c，使对一切 xR n ，有x T Axcx T x (2)若A 正定，则对任意正整数 k，A k 也是对称正定矩阵 (3)必可找到一个数 a，使 A+aE 为对称正定矩阵（分数：2.00）_22.设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(a ij ) nn 中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_23.设 A、B 为同阶正定矩阵且 AB=BA证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_24.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T A X=ax 1
8、2 +2x 2 2 -2x 3 2 +2bx 1 x 3 (b0)，其中二次型 f 的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12 (1)求 a、b 的值； (2)利用正交变换将二次型 f 化为标准形并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵（分数：2.00）_25.已知矩阵 B= （分数：2.00）_26.已知齐次线性方程组= 有非零解，且矩阵 A= （分数：2.00）_27.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn 矩阵 (1)计算 P T DP，其中 P= （分数：2.00）_28.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第 3 列为 （分数：2.00）_
