1、考研数学二（二次型）模拟试卷 17 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列矩阵中，正定矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.矩阵 A= 合同于 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似5.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，
2、B 有相同的正负惯性指数6.二次型 x T Ax 正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=EC.A 的特征值全大于零D.存在厅阶矩阵 C，使 A=C T C二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_8.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 2 +2x 1 x 3 的负惯性指数 g= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.若二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x
3、1 x 2 +2tx 2 x 3 的秩为 2，则 z= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +cx 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 经正交变换化为标准形y 1 2 +2y 3 2 ，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_11.设三元二次型 x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2tx 1 x 2 -2x 1 x 3 +4x 2 x 3 是正定二次型，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)1
4、3.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 在正交变换 X=QY 下化为 y 1 2 +y 2 2 ，Q 的第 3 列为 （分数：2.00）_15.证明对于任何 mn 实矩阵 A，A T A 的负惯性指数为 0如果 A 秩为 n，则 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_16.如果 A 正定，则 A k ，A -1 ，A * 也都正定（分数：2.00）_17.设 A 是正定矩阵，B 是实对称矩阵，证明 AB 相似于对角矩阵（分数：2.00）_18.设 A，B 都是 n 阶正定矩阵，则：AB 是正定矩阵
5、 （分数：2.00）_19.设 A 是一个 n 阶实矩阵，使得 A T +A 正定，证明 A 可逆（分数：2.00）_20.设 A 是一个 n 阶正定矩阵，B 是一个 n 阶实的反对称矩阵，证明 A+B 可逆（分数：2.00）_21.求正交变换化二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 -4x 2 x 3 -4x 1 x 3 为标准形（分数：2.00）_22.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 -2x 1 x 2 -6x 2 x 3 +6x 1 x 3 的秩为 2，求 c及此二次型的规范形，并写出相应的变换（分数：
6、2.00）_23.设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 T A=0，证明 A=0（分数：2.00）_24.若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A -1 A * 也是正定矩阵（分数：2.00）_25.设 A 是 m尼实矩阵，r(A)=n，证明 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_26.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A+2E2 n （分数：2.00）_27.已知 A= 是正定矩阵，证明= （分数：2.00）_考研数学二（二次型）模拟试卷 17 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中
7、，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列矩阵中，正定矩阵是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：正定的必要条件 a ij 0，可排除(A)、(D) (B)中 2 =0 与顺序主子式全大于 0 相矛盾，排除(B)故应选(C)3.矩阵 A= 合同于 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由矩阵 A 的特征多项式 E-A=4.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似解析：解析：由E-A= 3 -3 2 ，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0 又因 A 是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 AB 因为 A
8、，B 有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以 A 5.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，B 有相同的正负惯性指数 解析：解析：(A)是充分条件特征值一样 有相同的正、负惯性指数 合同但不是必要条件例如 A= ，特征值不同，但 A B (B)是必要条件由 C T AC=B，C 可逆 r(A)=r(B)，但不是充分条件例如 A= ，B= ，虽 r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同故 A 与 B 不合同 (C)既不必要也不充分例如 A= ，行列式不同但合同
9、，又如 A= ，B= 6.二次型 x T Ax 正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=EC.A 的特征值全大于零 D.存在厅阶矩阵 C，使 A=C T C解析：解析：(A)是正定的必要条件若 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 +5x 3 ，虽 q=0，但 f 不正定 (B)是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A= 不和单位矩阵层相似，但二次型 x T Ax 正定 (D)中没有矩阵 C 可逆的条件，也就推导不出 A 与 E 合同，例如 C= ，A=C T C= 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.二次型 f(x 1
10、，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a 1 2 x 1 2 +a 2 2 x 2 2 +a 3 2 x 3 2 +2a 1 a 2 x 1 x 2 +2a 1 a 3 x 1 x 3 +2a 2 a 3 x 2 x 3 ， 二次型矩阵 8.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 2 +2x 1 x 3 的负惯性指数 g= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：令() 9.若二次型 2
11、x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2tx 2 x 3 的秩为 2，则 z= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：r(f)=2，即 r(A)=2因A中有 2 阶子式 0，故 r(A)=2 A=0由 =1-2t 2 =0 10.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +cx 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 经正交变换化为标准形y 1 2 +2y 3 2 ，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：二次型及其标准形的矩阵分别是 A= 在正交
12、变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵 A 不仅合同，而且相似于是由11.设三元二次型 x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2tx 1 x 2 -2x 1 x 3 +4x 2 x 3 是正定二次型，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二次型矩阵 A= ，顺序主子式 1 =1， 2 = =1-t 2 0， 3 =A=-5t 2 -4t0， 所以 t 12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由矩阵 A 的特征值为 3，0，0，知矩阵 B 的特征值为 k+3，k，k又 B 正定三、解答题(总题数：15
13、，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 在正交变换 X=QY 下化为 y 1 2 +y 2 2 ，Q 的第 3 列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：条件说明 Q -1 AQ=Q T AQ= 于是 A 的特征值为 1，1，0，并且 Q 的第 3 列= (1，0，1) T 是 A 的特征值为 0 的特征向量记 1 =(1，0，1) T ，它也是 A 的特征值为 0 的特征向量 A 是实对称矩阵，它的属于特征值 1 的特征向量都和 1 正交，即是方程式 x 1 +x
14、3 =0 的非零解 2 =(1，0，-1) T ， 3 =(0，1，0) T 是此方程式的基础解系，它们是 A 的特征值为 l 的两个特征向量 建立矩阵方程 A( 1 ， 2 ， 3 )=(0， 2 ， 3 )， 两边做转置，得 解此矩阵方程 )解析：15.证明对于任何 mn 实矩阵 A，A T A 的负惯性指数为 0如果 A 秩为 n，则 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只用证明 A T A 的特征值都不为负数，并且在 A 秩为 n 时 A T A 的特征值都大于0 设 A 是 A 的一个特征值， 是属于它的一个特征向量，即有 A T A=，于是 T A T
15、A= T ，即 (A，A)=(，)则 =(A，A)(，)0 如果 A 秩为 n，则 AX=0 没有非零解，从而 A0，(A，A)0，因此 =(A，A)(，)0)解析：16.如果 A 正定，则 A k ，A -1 ，A * 也都正定（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：从特征值看 设 A 的特征值为 1 ， 2 ， n i 0，i=1，2，n 则 A k 的特征值为 1 k ， 2 k ， n k i k 0，i=1，2，n 设 A -1 的特征值为 1 -1 ， 2 -1 ， n -1 i -1 0，i=1，2，n 设 A * 的特征值为A 1 ，A 2 ，A n A i 0，i=1，2，
16、n)解析：17.设 A 是正定矩阵，B 是实对称矩阵，证明 AB 相似于对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 是正定矩阵，存在可逆实矩阵 C，使得 A=CC T ，则 AB=CC T B于是 C -1 ABC=C -1 CC T BC=C T BC 即 AB 相似于 C T BC而 C T BC 是实对称矩阵，相似于对角矩阵由相似的传递性，AB 也相似于对角矩阵.)解析：18.设 A，B 都是 n 阶正定矩阵，则：AB 是正定矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“ ”先证明 AB 对称(AB) T =B T A T =BA=AB 再证明 AB 的特征值全大于 0存在
17、可逆实矩阵 C，使得 A=CC T 则 AB=CC T B，相似于 C T BC，特征值一样，而 C T BC 是正定的，特征值全大于 0 “ )解析：19.设 A 是一个 n 阶实矩阵，使得 A T +A 正定，证明 A 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵可逆，有好几个充分必要条件，本题从哪个条件着手呢?行列式不好用，虽然A T +A 正定可得A T +A0，但是由此不能推出A0用秩也不好下手用“AX=0 没有非零解”则切合条件 设 n 维实列向量 满足 A=0，要证明 =0 T (A T +A)= T A T + T A=(A) T + T A=0 由 A T +A 的正定
18、性得到 =0)解析：20.设 A 是一个 n 阶正定矩阵，B 是一个 n 阶实的反对称矩阵，证明 A+B 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明(A+B)X=0 没有非零解 设 n 维实列向量 满足(A+B)=0，要证明 =0 注意 B 是反对称矩阵， T B=0(因为 T B=( T B) T =- T B) T A= T A+ T B= T (A+B)=0 由 A 的正定性得到 =0)解析：21.求正交变换化二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 -4x 2 x 3 -4x 1 x 3 为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 A
19、= ，由特征多项式 E-A= =(+3)(-3) 2 ， 得特征值为 1 = 2 =3， 3 =-3 由(3E-A)x=0 得基础解系 1 =(-1，1，0)T， 2 =(-1，0，1) T ，即 =3 的特征向量是 1 ， 2 由(-3E-A)x=0 得基础解系 3 =(1，1，1) T 对 1 ， 2 经 Schmidt 正交化，有 1 = 1 ， 2 = 2 - 单位化，得 )解析：22.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 -2x 1 x 2 -6x 2 x 3 +6x 1 x 3 的秩为 2，求 c及此二次型的规范形，并写出相应的变
20、换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 A= ，由二次型的秩为 2，即矩阵 A 的秩 r(A)=2，则有 A=24(c-3)=0 c=3 用配方法求规范形和所作变换 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +3x 3 2 -2x 1 x 2 +6x 1 x 3 -6x 2 x 3 =3(x 3 +x 1 -x 2 ) 2 -3(x 1 -x 2 ) 2 +5x 1 2 +5x 2 2 -2x 1 x 2 =3(x 1 -x 2 +x 3 ) 2 +2x 1 +2x 2 2 +4x 1 x 2 =3(x 1 -x 2 +x 3 ) 2 +2(x 1 +x
21、 2 ) 2 令 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=y 1 2 +y 2 2 ，为规范二次型 所作变换为 )解析：23.设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 T A=0，证明 A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 维向量 恒有 T A=0，那么令 1 =(1，0，0，0) T ，有 1 T A 1 =(1，0，0，0) =a 11 =0 类似地，令 i =(0，0，0，1，0，0) T (第 i个分量为 1)，由 i T A i =a ii =0 (i=1，2，n) 令 12 =(1，1，0，0) T ，则有 12 T A 12 =(1，1，0，0)
22、)解析：24.若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A -1 A * 也是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 正定，所以 A T =A那么(A -1 ) T =(A T ) -1 =A -1 ，即 A -1 是实对称矩阵 设 A 的特征值是 1 ， 2 ， n ，那么 A -1 的特征值是 ，由 A 正定知 i 0(i=1，2，n)因此 A -1 的特征值 0(i=1，2，n)从而 A -1 正定 A * =AA -1 ，A0，则 A * 也是实对称矩阵，并且特征值为 )解析：25.设 A 是 m尼实矩阵，r(A)=n，证明 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案
23、：(正确答案：由(A T A) T =A T (A T ) T =A T A，知 A T A 是实对称矩阵 又 r(A)=n， )解析：26.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A+2E2 n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设矩阵 A 的特征值是 1 ， 2 ， n 因为 A 正定，故特征值 i 0(t=1，2，n)又 A+2E 的特征值是 1 +2， 2 +2， N +2，所以 A+2E=( 1 +2)( 2 +2)( N +2)2 n )解析：27.已知 A= 是正定矩阵，证明= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 C 1 = ，C 2 = ，C=C 1 C 2 ，则 C 是可逆矩阵，且 C T AC=C 2 T C 1 T AC 1 C 2 =C 2 T )解析：
