1、考研数学二（二次型）模拟试卷 13 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是( )（分数：2.00）A.y 1 2 +4y 2 2 。B.y 1 2 一 6y 2 2 +2y 3 2 。C.y 1 2 一 y 2 2 。D.y 1 2 +4y 2 2 +y 3 2 。3.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x
2、 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 8x 2 x 3 的规范形为( )（分数：2.00）A.f=z 1 2 +z 2 2 +z 3 2 。B.f=z 1 2 一 z 2 2 。C.f=z 1 2 +z 2 2 一 z 3 2 。D.f=z 1 2 。4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则A 与 C( )（分数：2.00）A.等价但不相似。B.合同但不相似。C.相似但不合同。D.等价，合同且相似。5.下列矩阵中，正定矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C
3、.D.6.关于次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 ，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.是正定的。B.其矩阵可逆。C.其秩为 1。D.其秩为 2。7.已知实二二次型 f=(a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ) 2 +(a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ) 2 +(a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ) 2 正定，矩阵 A=(a ij ) 33 ，则( )（分数：2.00）A.A 是正定矩阵。B.A 是可逆矩阵。C
4、.A 是不可逆矩阵。D.以上结论都不对。8.设 A，B 均为 n 阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.A 1 +B 1 。B.AB。C.A * +B * 。D.2A+3B。二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 )(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 )的矩阵为 1。（分数：2.00）填空项 1:_10.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=2x 2 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 +8x 2 x 3 4x 1
5、x 3 的规范形是 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.实对阵矩阵 A 与矩阵 B= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f=x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2ax 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 =(1，0，1) T ，A= T ，若 B=(kE+A) * 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3
6、 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的秩为 2。求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值；（分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1a)x 1 2 +(1a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2。（分数：6.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形；（分数：2.00）_(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解。（分数：2.00）_16.已知三元二次型 f=
7、x T Ax 的秩为 2，且 （分数：2.00）_已知 A= （分数：4.00）(1).求实数 a 的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。（分数：2.00）_17.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_设 D= （分数：4.00）(1).计算 P T DP，其中 P= （分数：2.00）_(2).利用上问的结果判断矩阵 B 一 C T A 1 C 是否为正定矩阵，并证明结论。（分数：2.00）_18.用正交变换将二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 一 2x 2 2 一 2x 3 2 一
8、4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +8x 2 x 3 化为标准形，并给出所施行的正交变换。（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2ax 2 x 3 通过正交变换化为标准形 2y 1 2 +2y 2 2 +by 3 2 。（分数：4.00）(1).求常数 a，b 及所用的正交变换矩阵 Q；（分数：2.00）_(2).求 f 在 x T x=3 下的最大值。（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=3x 1 2 +3x 2 2 +5x 3 2 +4x 1 x 3
9、 4x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).写出二次型的矩阵表达式；（分数：2.00）_(2).求正交矩阵 P，作变换 x=Py 将二次型化为标准形。（分数：2.00）_考研数学二（二次型）模拟试卷 13 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是( )（分数：2.00）A.y 1 2 +4y 2 2 。 B.
10、y 1 2 一 6y 2 2 +2y 3 2 。C.y 1 2 一 y 2 2 。D.y 1 2 +4y 2 2 +y 3 2 。解析：解析：用配方法，有 f=x 1 2 一 4x 1 x 2 +4x 2 2 +x 2 2 +2x 2 x 3 +x 3 2 =(x 1 2x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 ， 可见二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0。所以选 A。3.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 8x 2 x 3 的规范形为( )（分数：2.00）A.f=z 1 2 +z 2
11、 2 +z 3 2 。B.f=z 1 2 一 z 2 2 。C.f=z 1 2 +z 2 2 一 z 3 2 。D.f=z 1 2 。 解析：解析：利用配方法将该二次型化为标准形 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 2x 2 +2x 3 ) 2 ， 则该二次型的规范形为 f=z 1 2 。故选 D。4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则A 与 C( )（分数：2.00）A.等价但不相似。B.合同但不相似。C.相似但不合同。D.等价，合同且相似。 解析：解析：对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初
12、等矩阵表示，由题设 AE ij =B，E ij B=C， 故可得 C=E ij B=E ij AE ij 。 因 E ij =E ij T =E ij 1 ，故 C=E ij AE ij =E ij 1 AE ij =E ij T AE ij ， 所以 A 与 C 等价，合同且相似。故应选 D。5.下列矩阵中，正定矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：二次型正定的必要条件是：a ij 0。 在选项 D 中，由于 a 33 =0，易知 f(0，0，1)=0，与x0，x T Ax0 相矛盾。 因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，二阶主子式 2
13、 = 6.关于次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 ，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.是正定的。B.其矩阵可逆。C.其秩为 1。 D.其秩为 2。解析：解析：二次型的矩阵7.已知实二二次型 f=(a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ) 2 +(a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ) 2 +(a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ) 2 正定，矩阵 A=(a ij ) 33 ，则( )（分数：2.00）A.A 是正定矩
14、阵。B.A 是可逆矩阵。 C.A 是不可逆矩阵。D.以上结论都不对。解析：解析：f=(a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ) 2 +(a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ) 2 +(a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ) 2 =x T A T Ax=(Ax) T (Ax)。 因为实二次型 f 正定，所以对任意 x0，f0 的充要条件是 Ax0，即齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，故 A 是可逆矩阵。 所以选 B。8.设 A，B 均为 n 阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.A 1 +B 1
15、。B.AB。 C.A * +B * 。D.2A+3B。解析：解析：A，B 为正定矩阵，则 A 1 ，B 1 仍是正定矩阵，故 A 1 +B 1 也是正定矩阵。类似地，选项 C、D 中的矩阵均为正定矩阵。故应选 B。 事实上，由于(AB) T =B T A T =BA，但 AB=BA 不一定成立，故 AB 不一定是正定矩阵。二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 )(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 )的矩阵为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）
16、解析：解析：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 )(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 所以原二次型矩阵为 10.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=2x 2 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 +8x 2 x 3 4x 1 x 3 的规范形是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z 1 2 +z 2 2 一 z 3 2）解析：解析：二次型的矩阵 A= ，特征多项式 EA= 11.实对阵矩阵 A 与矩阵 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1
17、 2 +y 2 2 一 y 3 2）解析：解析：矩阵 A 与 B 合同，说明二次型 x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数。矩阵 B 的特征多项式为 E 一 B= 12.设 f=x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2ax 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*a0）解析：解析：二次型的矩阵为 其各阶主子式为 a 11 =1， =一 a(5a+4)。 因为 f 为正定二次型，所以必有 1 一 a 2 0 且一 a(5a+4)0，因此 a0。故当 13.设 =(
18、1，0，1) T ，A= T ，若 B=(kE+A) * 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k0 或 k一 2）解析：解析：矩阵 A= T 的秩为 1，且 tr(A)= T =2，故矩阵 A 的特征值是 2，0，0，从而矩阵kE+A 的特征值是 k+2，k，k。矩阵 B=(kE+A) * =kE+A(kE+A) 1 的特征值是 k 2 ，k(k+2)，k(k+2)。矩阵 B 正定的充要条件是特征值均大于零，即 k 2 0 且 k(k+2)0，解得 k0 或 k一 2。三、解答题(总题数：10，分数：30.00)14.解答题解答应写出文
19、字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的秩为 2。求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型对应的矩阵为 由二次型的秩为 2，可得A=0，由此解得 c=3，容易验证，此时 A 的秩为 2。 又因 EA= )解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1a)x 1 2 +(1a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2。（分数：6.00）(1).求 a 的值；
20、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 A= 。二次型的秩为 2，则二次型矩阵 A 的秩也为 2， 从而 A= )解析：(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由上问中结论 a=0，则 A= ，由特征多项式 EA= =( 一 2)( 一 1) 2 1=( 一 2) 2 ， 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =2， 3 =0。 当 =2，由(2EA)x=0 得特征向量 1 =(1，1，0) T ， 1 =(0，0，1) T 。 当 =0，由(0EA)x=0 得特征向量 3 =(1，一 1，0) T 。
21、 容易看出 1 ， 2 ， 3 已两两正交，故只需将它们单位化： 1 = (1，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T ， 3 = (1，1，0) T 。 那么令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )= ，则在正交变换 x=Qy 下，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=y T )解析：(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +2x 3
22、2 =0，得 )解析：16.已知三元二次型 f=x T Ax 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 x T Ax 的秩为 2，即 r(A)=2，所以 =0 是 A 的特征值。 所以 3 是A 的特征值，(1，2，1) T 是与 3 对应的特征向量；一 1 也是 A 的特征值值，(1，一 1，1) T 是与一 1 对应的特征向量。 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设 =0 的特征向量是(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 由方程组 解出 =0 的特征向量是(1，0，一 1) T 。 因此 x T Ax= (x 1 2 +10x 2 2 +x 3 2
23、 +16x 1 x 2 +2x 1 x 3 +16x 2 x 3 )， 令 Q= ， 则经正交变换x=Qy，有 x T Ax=y T )解析：已知 A= （分数：4.00）(1).求实数 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A T A= ，由 r(A T A)=2 可得 A T A= )解析：(2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由上问中结果，令矩阵 B= ， EB= =( 一 2)( 一 6)=0， 解得矩阵 B 的特征值为 1 =0， 2 =2， 3 =6。 由( i EB)x=0，得对应特征值 1 =0， 2 =2，
24、3 =6 的特征向量分别为 1 =(一 1，一 1，1) T ， 2 =(一 1，1，0) T ， 3 =(1，1，2) T 。 将 1 ， 2 ， 3 单位化可得： 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：17.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 1 与 B 1 合同，所以存在可逆矩 C 1 ，使得 B 1 =C 1 T A 1 C 1 。同理，存在可逆矩 C 2 ，使得 B 2 =C 2 T A 2 C 2 。 )解析：设 D= （分数：4.00）(1).计算 P T DP，其中 P= （分数：2.0
25、0）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：(2).利用上问的结果判断矩阵 B 一 C T A 1 C 是否为正定矩阵，并证明结论。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由上问中结果知矩阵 D 与矩阵 M= 合同，又因 D 是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 B 一 C T A 1 C 是对称矩阵。对 m 维零向量 x=(0，0，0) T 和任意 n 维非零向量 y=(y 1 ，y 2 ，y n ) T ，都有 )解析：18.用正交变换将二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 一 2x 2 2 一 2x 3 2 一 4x 1 x 2 +4x
26、1 x 3 +8x 2 x 3 化为标准形，并给出所施行的正交变换。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 A= ，特征多项式为 E 一 A= =( 一 2) 2 (+7)， 矩阵 A 的特征值为 1 =一 7， 2 = 3 =2。 由( i E 一 A)x=0(i=1，2，3)解得特征值 i =一 7 和 2 = 3 =2 对应的特征向量分别为 1 =(1，2，一 2) T ， 2 =(一 2，1，0) T ， 3 =(2，0，1) T ， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将 2 ， 3 正交化，即 2 = 2 =(一 2，1，0) T ， 3 = 3
27、一 (2，4，5) T ， 再将 1 ， 2 ， 3 单位化，即 )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2ax 2 x 3 通过正交变换化为标准形 2y 1 2 +2y 2 2 +by 3 2 。（分数：4.00）(1).求常数 a，b 及所用的正交变换矩阵 Q；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为 由矩阵 B 可知矩阵 A 的特征值为2，2，b。由矩阵 A 的迹 tr(A)=3=2+2+b 可得 b=一 1。 由于 2 是 A 的二重特征值，而实对称矩阵
28、 A 必可相似对角化，所以矩阵 A 的对应于特征值 2 的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵 2E 一 A 的秩为 1，而 2EA= ， 所以 a=一 1。 由( i EA)x=0(i=1，2，3)解得特征值 1 = 2 =2 和 3 =一 1对应的特征向量分别为 1 =(1，0，一 1) T ， 2 =(0，1，一 1) T ， 3 =(1，1，1) T ， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将 1 ， 2 正交化，即 1 = 1 =(1，0，一1) T ， 2 = 2 一 (一 1，2，一 1) T ， 再将 1 ， 2 ， 3 单位化，即 )解析：(2).求 f 在 x
29、 T x=3 下的最大值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 2y 1 2 +2y 2 2 一 y 3 2 。条件 x T x=3 等价于 y T Q T Qy=y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 =3，此时 f=2y 1 2 +2y 2 2 一 y 3 2 =63y 3 2 的最大值为 6，所以 f 在 x T x=3 下的最大值是 6。)解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=3x 1 2 +3x 2 2 +5x 3 2 +4x 1 x 3 4x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).写出二次型的矩阵表达
30、式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 )解析：(2).求正交矩阵 P，作变换 x=Py 将二次型化为标准形。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 EA= =(1)( 一 3)( 一 7)， 矩阵A 的特征值为 1 =1， 2 =3， 3 =7。 由( i EA)x=0(i=1，2，3)解得特征值 1 =1， 2 =3， 3 =7 对应的特征向量分别为 1 =(一 1，1，1) T ， 2 =(1，1，0) T ， 3 =(1，一 1，2) T ， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将 1 ， 2 ， 3 单位化，即 )解析：
