考研数学二二次型

1、3)，(4)（C） (1)，(3)，(4) （D）(2)2 设 则（A）A 与 B 既合同又相似（B） A 与 B 合同但不相似（C） A 与 B 不合同但相似（D）A 与 B 既不合同又不相似3 设 A= ，则（A）A 与 B 既合同又相似（B） A 与 B 合同但不相似（C） A 与 B 不合同但相似（D）A 与 B 既不合同又不相似4 A= ，则( )中矩阵在实数域上与 A 合同二、填空题5 已知 A= ，作可逆矩阵 P=_，使得(AP) TAP 是对角矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6 用配方法化下列二次型为标准型 (1)f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3 (2)f(x1，x 2，x 3)=x1x2+x1x3+x2x37 已知二次型 2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0)可用正交变换化为 y12+2y22+5y32，求 a 和所作正交变换8 设二次型 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3，(b0) 其中 。

2、同的是( )3 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（A）A 与 B 有相同的秩。
（B） A 与 B 有相同的特征值。
（C） A 与 B 有相同的特征向量。
（D）A 与 B 有相同的行列式。
4 下列二次型中是正定二次型的是( )（A）f 1=(x1 一 x2)2+(x2 一 x3)2+(x3 一 x1)（B） f2=(x1x 2)2+(x2 一 x3)2+(x3+x1)（C） f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3 一 x4)2+(x4 一 x1)（D）f 4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4 一 x1)5 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）二次型 xTAx 的负惯性指数为零。
（B）存在可逆矩阵 P 使 P1 AP=E。
（C）存在 n 阶矩阵 C 使 A=C1 C。
（D）A 的伴随矩阵 A*与 E 合同。
6 设 f=xTAx，g=x TBx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（A）x T(A+B)x。
（B） xTA1 x。
（C） xTB1 x。

3、B）存在可逆阵 B，使 P 一 1AP=B（C）存在可逆阵 C，使 CTAC=B（D）存在可逆阵 P 和 Q，使 PAQ=B二、填空题4 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2 一 x3)2+(x3+x1)2 的秩为_5 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx322x1x2+6x1x3-6x2x3 的秩为 2，则常数c=_6 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x2x3，则 f 的惯性指数为_7 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py 可化成标准形 f=6y12，则 a=_8 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3 正定，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8。

4、要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A 的每个特征值都是单值（D）A *是正定矩阵3 下列说法正确的是( ) （A）任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的4 设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 XTAX 与 XTA-1X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同5 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵6 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（A）A，B 合同（B） A，B 相似（C）方程组 AX=0 与 BX=0 同解（D）r(A)=r(B)7 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)=r(B)（B） A= B（C） 。

5、设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩为 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换x=Qy 下的标准形为_ 4 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)的秩为_.5 求一个正交变换，化二次型 f=x 12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3 为标准形二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x32x2x36 求二次型 f 的矩阵的所有特征值；7 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值7 已知 ，二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 28 求实数 n 的值；9 求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形9 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=4x2-3x3+4x1x2-4x1x3+8x2x310 写出二次型 f 的矩阵表达式；11 用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵11 已知二次型 f(x1，x 2，x。

6、型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是( )（分数：2.00）A.y 1 2 +4y 2 2 。
B.y 1 2 一 6y 2 2 +2y 3 2 。
C.y 1 2 一 y 2 2 。
D.y 1 2 +4y 2 2 +y 3 2 。
3.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 8x 2 x 3 的规范形为( )（分数：2.00）A.f=z 1 2 +z 2 2 +z 3 2 。
B.f=z 1 2 一 z 2 2 。
C.f=z 1 2 +z 2 2 一 z 3 2 。
D.f=z 1 2 。
4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则A 与 C( )（分数：2.00）A.等价但不相似。
B.合同但不相似。
C.相似但不合同。
D.等价，合同且相似。
5.下列矩阵中，正定矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.关于次型。

7、矩阵中，正定矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.矩阵 A= 合同于 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似5.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，B 有相同的正负惯性指数6.二次型 x T Ax 正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=EC.A 的特征值全大于零D.存在厅阶矩阵 C，使 A=C T C二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_8.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 2 +2x 1 x 3 的负惯性指数 g= 1（分数：2.00）填空项 1:_。

8、型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(2x 1 +3x 2 +x) 3 2 5(x 2 +x 3 ) 2 的规范形为( )（分数：2.00）A.y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 。
B.y 2 2 一 y 3 2 。
C.y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2 。
D.y 1 2 y 2 2 +y 3 2 。
3.下列矩阵中 A 与 B 合同的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的秩。
B.A 与 B 有相同的特征值。
C.A 与 B 有相同的特征向量。
D.A 与 B 有相同的行列式。
5.下列二次型中是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.f 1 =(x 1 一 x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 一 x 1 ) 2 。
B.f 2 =(x 1 x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 。
C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3。

9、 XTAX正定的充要条件是（分数：4.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=EB.存在 n阶矩阵 D，使得 A=DTDC.存在正交阵 Q，使得D.对任何 X=x1，x 2，x nT，其中 xi0(i=1，2，n)均有 XTAX04.下列矩阵中正定矩阵是（分数：4.00）A.B.C.D.5.A、B 都是 n阶实对称阵，则使 A、B 合同的充要条件是（分数：4.00）A.A、B 有相同的秩B.A、B 都合同于对角阵C.A、B 的全部特征值相同D.A、B 有相同的正负惯性指数二、填空题(总题数：4，分数：16.00)6.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+b1x2+c1x3)(a2x1+b2x2+c2x3)，则二次型的对应矩阵是 1（分数：4.00）填空项 1:_7.设二次型 （分数：4.00）填空项 1:_8.矩阵 和 （分数：4.00）填空项 1:_9.设 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总。

10、 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 -1 AP 1 ，P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (AB)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB3.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A -1 是正定矩阵4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.一次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同6.。

11、次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，已知 r(A)=2，并且 A 满足 A 2 -2A=0则下列各标准二次型 (1)2y 1 2 +2y 2 2 . (2)2y 1 2 (3)2y 1 2 +2y 3 2 (4)2y 2 2 +2y 3 2 中可用正交变换化为 f 的是( )（分数：2.00）A.(1)B.(3)，(4)C.(1)，(3)，(4)D.(2)3.设 （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似B.A 与 B 合同但不相似C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似4.设 A= （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似B.A 与 B 合同但不相似C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似5.A= ，则( )中矩阵在实数域上与 A 合同 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：1，分数：2.00)6.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或。

12、分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似3.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似4.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.AB=BAB.存在可逆阵 B，使 P 一 1 AP=BC.存在可逆阵 C，使 C T AC=BD.存在可逆阵 P 和 Q，使 PAQ=B二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 -6x 2 x 3 的秩为 2，则常数 c= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 1 x 2 +2。

13、 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是( )（分数：2.00）A.y 1 2 +4y 2 2 。
B.y 1 2 一 6y 2 2 +2y 2 2 。
C.y 1 2 一 y 2 2 。
D.y 1 2 +4y 2 2 +y 3 2 。
3.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(2x 1 +3x 2 +x 3 ) 2 一 5(x 2 +x 3 ) 2 的规范形为( )（分数：2.00）A.y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 。
B.y 2 2 一 y 3 2 。
C.y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2 。
D.y 1 2 一 y 2 2 +y 3 2 。
4.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 8x 2 x 3 的规范形为( )（分数：2.00）A.f=z 1 2 +z 2 2 +z 3 2 。
B.f=z 1 2 一 z 2 2 。
C.f=z 1 2 +z 2。

14、 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 -4x 3 2 -4x 1 x 2 -2x 2 x 3 的标准形为（分数：2.00）A.2y 1 2 -y 2 2 -3y 3 2B.-2y 1 2 -y 2 2 -3y 3 2C.-2y 1 2 +y 2 2D.2y 1 2 +y 2 2 +3y 3 2二、填空题(总题数：3，分数：6.00)3.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 2 x 3 +2x 1 x 3 经正交变换 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_4.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_5.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3。

15、次型=(a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ) 2 +(a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ) 2 +(a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ) 2 正定，矩阵 A=(a ij ) 33 ，则( )（分数：2.00）A.A 是正定矩阵。
B.A 是可逆矩阵。
C.A 是不可逆矩阵。
D.以上结论都不对。
3.设 f=x T Ax，g=x T Bx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.x T (A+B)x。
B.x T A 一 1 x。
C.x T B 一 1 x。
D.x T ABx。
4.设 A，B 均为 n 阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.A 一 1 +B 一 1 。
B.AB。
C.A * +B * 。
D.2A+3B。
5.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是( )（分数：2.00）A.A 一 1 正定。
B.A 没有负的特征值。
C.A 的正惯性指数等于 n。
D.A 合同于单位矩阵。
二、解答题(总题数：15，分数：44.00)6.解答。

16、 T A 正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P -1 APEC.A 的特征值全大于零D.存在凡阶矩阵 C，使 AC T C3.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX，已知 r(A)2，并且 A 满足 A 2 2A0则下列各标准二次型中可用正交变换化为厂的是( ) (1)2y 1 2 2y 2 2 (2)2y 1 2 (3)2y 1 2 2y 3 2 (4)2y 2 2 2y 3 2 （分数：2.00）A.(1)B.(3)，(4)C.(1)，(3)，(4)D.(2)4.设 （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似B.A 与 B 合同但不相似C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似5.设 （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似B.A 与 B 合同但不相似C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似6.A （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：3，分数：6.00)7.已知二次型 f( 1 ， 2 。

17、 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似3.下列二次型中是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.f 1 =(x 1 一 x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 一 x 1 ) 2 B.f 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 一 x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 ) 2 D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 ) 2 4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对换得到 C，则 A 与 C( )（分数：2.00）A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价，合同且相似5.下列矩阵中，正定矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C.D.6.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )。

18、 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 -1 AP 1 ，P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (AB)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB3.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A -1 是正定矩阵4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同6.。

19、B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 C.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (A+B)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B3.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A * 是正定矩阵4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵。

20、中，正定矩阵是（分数：2.00）A.B.C.D.3.矩阵 A （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似5.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，B 有相同的正负惯性指数二、填空题(总题数：3，分数：6.00)6.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )(a 1 1 a 2 2 a 3 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_7.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 2 2 2 1 3 的负惯性指数 q 1（分数：2.00）填空项 1:_8.若二次型 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2t 2 3 的秩为 2，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题。