1、考研数学二（二次型）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x)325(x2+x3)2 的规范形为( )（A）y 12+y22+4y32。（B） y22 一 y32。（C） y12 一 y22 一 y32。（D）y 12y 22+y32。2 下列矩阵中 A 与 B 合同的是( )3 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（A）A 与 B 有相同的秩。（B） A 与 B 有相同的特征值。（C） A 与 B 有相同的特征向量。（D）A 与 B 有
2、相同的行列式。4 下列二次型中是正定二次型的是( )（A）f 1=(x1 一 x2)2+(x2 一 x3)2+(x3 一 x1)2。（B） f2=(x1x 2)2+(x2 一 x3)2+(x3+x1)2。（C） f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3 一 x4)2+(x4 一 x1)2。（D）f 4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4 一 x1)2。5 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）二次型 xTAx 的负惯性指数为零。（B）存在可逆矩阵 P 使 P1 AP=E。（C）存在 n 阶矩阵 C 使 A=C1 C。（D）A 的伴随矩阵 A*与
3、 E 合同。6 设 f=xTAx，g=x TBx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（A）x T(A+B)x。（B） xTA1 x。（C） xTB1 x。（D）x TABx。7 下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是( )（A）A 1 正定。（B） A 没有负的特征值。（C） A 的正惯性指数等于 n。（D）A 合同于单位矩阵。二、填空题8 设 f(x1，x 2)= ，则二次型的对应矩阵是 _。9 已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=xTAx 通过合同变换 x=Py 化为 f=yTBy，其中 B= ，则 a=_。10 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(
4、x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同规范形为_。11 设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A3=2A2+5A 一 6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是_。12 设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=一 aE+ATA 是正定阵，则 a 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设二次型 f=x12+x22+x32 一 4x1x2 一 4x1x3+2ax2x3 经正交变换化为 3y12+3y22+by32，求 a，b 的值及所用正交变换。14 设矩阵 A= 有一个特征值是 3，求 y，并求可逆矩阵 P，使(AP)T(AP
5、)为对角矩阵。14 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22，且 Q 的第三列为 。15 求 A；16 证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。16 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=a12+ax22+(a 一 1)x32+2x1x32x2x3。17 求二次型 f 的矩阵的所有特征值；18 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值。19 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B T 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵，试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n。19 设二次型 f(x1
6、，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记20 证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T；21 若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。21 已知二次型 f(x1，x 2，x 3=4x22 一 3x32+4x1x24x1x3+8x2x3。22 写出二次型 f 的矩阵表达式；23 用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。24 对 n 元实二次型 f=xTAx，其中 x=(x1，x 2，x n)T。试证 f 在条件x12+x22+xn2=1 下的最大值恰好为矩阵 A 的最大特征值。考研数学
7、二（二次型）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 将二次型中的括号展开，并合并同类项可得 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22一 4x32+14x1x2+4x1x34x2x3，则该二次型矩阵为 A= 。由EA= =(+6)(12)，可知，矩阵 A 的特征根为 12，一6，0。因此该二次型的正惯性指数 p=1，负惯性指数 q=1。所以选 B。【知识模块】 二次型2 【正确答案】 C【试题解析】 合同的定义：C TAC=B，矩阵 C 可逆。合同的必要条件是： r(A)=r(B)且行列式A 与 B同号。 A
8、，B 合同的充要条件是：A 与 B 的正、负惯性指数相同；A 与 B 的正、负特征值的个数相同。 A 选项的矩阵秩不相等。 B 选项中行列式正、负号不同，故排除。 C 选项中矩阵 A 的特征值为 1，2，0，而矩阵 B 的特征值为 1，3，0，所以二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的正、负惯性指数，因此 A 和 B 合同。 而 D 选项中，A 的特征值为 1，2，B 的特征值为一 1，一2，一 2，因此 xTAx 与 xTBx 正、负惯性指数不同，故不合同。 所以选 C。【知识模块】 二次型3 【正确答案】 A【试题解析】 合同的矩阵也等价，故必有相同的秩，所以选 A。【知识模块】 二次型
9、4 【正确答案】 D【试题解析】 f=x TAx 正定 对任意的 x0，均有 xTAx0；反之，若存在 x0，使得 f=xTAx0 则 f 或 A 不正定。A 选项因 f1(1，1，1)=0，故不正定。B 选项因f2(一 1，1，1)=0 ，故不正定。 C 选项因 f3(1，一 1，1，1)=0，故不正定。由排除法，故选 D。【知识模块】 二次型5 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是必要不充分条件。这是因为 r(A)=p+qn，当 q=0 时，有r(A)=pn。此时有可能 Pn，故二次型 xTAx 不一定是正定二次型。因此矩阵 A不一定是正定矩阵。例如 f(x1，x 2，x 3)=x1
10、2+5x32。选项 B 是充分不必要条件。这是因为 P1 AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是 1，此时 A 是正定的。但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的。选项 C中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=CTC 不能说 A 与 E 合同，也就没有 A是正定矩阵的结论。例如 显然矩阵不正定。关于选项 D，由于 ，所以 D 是充分必要条件。【知识模块】 二次型6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的 n 个特征值1， 2， n 都大于零。设 Apj=jpj，则 A1 pj= pj，
11、A 1 的 n 个特征值(j=1，2，n)必都大于零，这说明 A1 为正定阵， xTA1 x 为正定二定型。同理，x TB1 x 为正定二次型，对任意 n 维非零列向量 x 都有 xT(AB)x=xTAx+xTBx0，这说明 xT(A+B)x 为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以 xTABx 未必为正定二次型。【知识模块】 二次型7 【正确答案】 B【试题解析】 A 1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 CTA1C=E，两边求逆得到 C1 A(CT)1 =C1 A(C1 )T=E， 即 A 合同于 E，A 正定，因此不应选 A。 D 选项是A 正定的定义，也不是正确的选择。 C
12、 选项表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵。由排除法，故选 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。【知识模块】 二次型二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式。【知识模块】 二次型9 【正确答案】 一 2【试题解析】 合同矩阵对应的二次型具有相同的规范形，所以由二次型 f=xTAx 的正、负惯性指数均为 1 可知，矩阵 B 的秩 r(B)=2，从而有B=一(a 一 1)2(a+2)=0。若 a=1，则 r(B)=1，不合题意，舍去。若 a=一 2，则由E 一 B=( 一 3)(+3)，得 B
13、的特征值为 0，3，一 3，此时正、负惯性指数均为 1。【知识模块】 二次型10 【正确答案】 z 12 一 z22【试题解析】 令 =3，所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型 f=y1y2 是合同的，故有相同的合同规范形。二次型 f=y1y2 的矩阵为 ，0，所以原二次型的正、负惯性指数均为 1，故原二次型的合同标准形为 z12 一 z22。【知识模块】 二次型11 【正确答案】 k2【试题解析】 根据题设条件，则有 A3 一 2A25A+6E=0。设 A 有特征值 ，则 满足条件 3 一 22 一 5+6=0，将其因式分解可得 3 一 22 一 5+6=( 一 1)(+2
14、)(一 3)=0，因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，一 2，3，故 kE+A 的特征值分别为k+1，k 一 2， k+3，且当 k2 时，kE+A 的特征值均为正数。故 k2。【知识模块】 二次型12 【正确答案】 a 0【试题解析】 B T=(一 aE+ATA)T=一 aE+ATA=B，故 B 是一个对称矩阵。 B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0，都有 x TBx=xT(一 aE+ATA)x =一 axTx+xTATAx =一 axTx+(Ax)TAx0， 其中(Ax) T(AX)0，x Tx0，因此 a 的取值范围是一 a0，即 a0。【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字
15、说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 二次型及其标准形的矩阵分别是由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B不仅合同而且相似。由 1+1+l=3+3+b 得 b=一 3。对 =3，则有3EA =一 2(a+2)2=0，因此 a=一 2(二重根)。由(3EA)x=0，得特征向量1=(1，一 1， 0)T， 2=(1，0，一 1)T。由(一 3EA)x=0，得特征向量 3=(1，1，1)T。因为 =3 是二重特征值，对 1， 2 正交化有 1=1=(1，一 1，0) T， 2=2 一1=(1，0，一 1)T 一 (1，一 1，0)= (1，1，一 2)T。单位化，有经正交交换x=Cy，二次
16、型化为 3y12+3y22 一 3y32。【知识模块】 二次型14 【正确答案】 因为 3 是 A 的特征值，故3EA=8(3 一 y1)=0，解得y=2。于是 A= 。由于 AT=A，要(AP) T(AP)=PTA2P=，故可构造二次型 xTA2x，再化其为标准形。由配方法，有 xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4=y12+y225y 32 y42，其中 y1=x1，y 2=x2，y 3=x3+ x4，y 4=x4，即 于是(AP) T(AP)=PTA2P= 。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型15 【正确答案】 由题意知 QTAQ= ，设 Q 的其他任一列向量为
17、(x 1，x 2，x 3)T。因为 Q 为正交矩阵，所以 (x1，x 2，x 3)=0，即 x1+x3=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 1=(一1，0，1) T， 2=(0，1，0) T。把 1 单位化得 1= (1，0，1) T，所以【知识模块】 二次型16 【正确答案】 证明：因为(A+E) T=AT+E=A+E，所以 A+E 为实对称矩阵。又因为 A 的特征值为 1，1，0，所以 A+E 特征值为 2，2，1，都大于 0，因此 A+E 为正定矩阵。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型17 【正确答案】 二次型的矩阵为 A= ，则有EA=( 一 a) =( 一 a)(a)(
18、a+1)一 2=(a)(a+2)(a 一 1)，所有特征值是 1=a， 2=a 一2， 3=a+1。【知识模块】 二次型18 【正确答案】 若规范形为 y12+y22，说明有两个特征值为正，一个为 0。则由于a 一 2aa+1，所以 a 一 2=0，即 a=2。【知识模块】 二次型19 【正确答案】 必要性：设 BTAB 为正定矩阵，则 r(BTAB)=n，因为 r(BTAB)r(B)n，故有 r(B)=n。 充分性：因 (BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵。 若 r(B)=n，则线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量x0，有 Bx0。
19、又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx) TA(Bx)0。于是当x0，有 xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)0，故 BTAB 为正定矩阵。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型20 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2所以二次型 f 对应的矩阵为 2T+T。【知识模块】 二次型21 【正确答案】 设 A=2T+T，由于=1 ， T=T=0，则 A=(2 T+T) =2 2+T=2， 所以 为矩阵对应特征值 i=2 的特征向量； A=(2 T+T) =2T+ 2=， 所以 为矩阵对应特征值 2=1 的
20、特征向量。 而矩阵 A 的秩 r(A)=r(2T+T)r(2T)+r(T)=2， 所以 3=0 也是矩阵的一个特征值。故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型22 【正确答案】 二次型的矩阵为 则二次型的矩阵表达式为f=xTAx。【知识模块】 二次型23 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为EA = =(1)(一 6)(+6)，矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=6， 3=一 6。由( iEA)x=0(i=1，2，3)解得特征值 1=1， 2=6， 3=一 6 对应的特征向量分别为 1=(一 2，0，1)T， 2=(1，5，2) T， 3=(
21、1，一 1，2) T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将 1， 2， 3 单位化，即且二次型 xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 f=y12+6y22 一 6y32。【知识模块】 二次型24 【正确答案】 实二次型 f=xTAx 所对应的矩阵 A 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 P 使 PTAP= ，其中 i(i=1，2， ，n)是矩阵 A 的特征值。作线性变换 x=Py，其中 y=(y1，y 2，y n)T，则 x12+x22+xn2=xTx=yT(PTP)y=yTy=y12+y22+yn2，f=x TAx=yT(PTAP)y=1y12+2y22+ nyn2。求 f=xTAx 在条件xTx=1 下的最大值可转化为求 f=1y12+2y22+ nyn2 在条件 y12+y22+yn2=1 下的最大值。设 C=max1， 2， n，则 f=1y12+2y22+ nyn2c(y12+y22+yn2)=c，上式取 y=(1，0，0) T 时，等号成立，此时厂取到最大值 c。故在条件xTx=1 下，f 的最大值恰好为矩阵 A 的最大特征值。【知识模块】 二次型
