1、考研数学二（二次型）模拟试卷 1 及答案与解析一、填空题1 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则 f 的正惯性指数为_.2 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12，x 22，x 32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y12，则 a=_3 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩为 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换x=Qy 下的标准形为_ 4 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2。的秩为_.5
2、求一个正交变换，化二次型 f=x 12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3 为标准形二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x32x2x36 求二次型 f 的矩阵的所有特征值；7 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值7 已知 ，二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 28 求实数 n 的值；9 求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形9 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=4x2-3x3+4x1x2-4x1x3+8x2x310 写出二次型 f 的
3、矩阵表达式；11 用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵11 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1-a)x22+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 212 求 n 的值；13 求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形；14 求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解14 设二次型 f(x 1，x 2，x 3)=xTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3 (6o)， 其中二次型的矩阵A 的特征值之和为 1，特征值之积为-1215 求 a，b 的值16 利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正
4、交矩阵考研数学二（二次型）模拟试卷 1 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 2【知识模块】 二次型2 【正确答案】 2【知识模块】 二次型3 【正确答案】 3y 12【知识模块】 二次型4 【正确答案】 2【知识模块】 二次型5 【正确答案】 f=9y 32【知识模块】 二次型二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 二次型6 【正确答案】 【知识模块】 二次型7 【正确答案】 若二次型的规范形为 y12+y22，说明正惯性指数 p=2，负惯性指数q=0那么二次型矩阵 A 的特钲值中应当 2 个特征值为正， 1 个特征值为 0，所以必有 a=2【知识模块】 二次型【知识
5、模块】 二次型8 【正确答案】 二次型 xT(ATA)X 的秩为 2，即 r(ATA)=2因为 r(ATA)=r(A)，故r(A)=2对 A 作初等变换有 所以 a=-1【知识模块】 二次型9 【正确答案】 xT(ATA)x=yTAy=2y22+6y32.【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型10 【正确答案】 f 的矩阵表示为 f(x1，x 2，x 3) =xTAx=(x1，x 2，x 3)【知识模块】 二次型11 【正确答案】 二次型化为标准行 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yTAy=y12+6y22-6y32【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型12 【正确答案】 【知识模块】 二次型13 【正确答案】 f(x1，x 2，x 3)=2y12+2y22【知识模块】 二次型14 【正确答案】 【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型15 【正确答案】 【知识模块】 二次型16 【正确答案】 二次型的标准行为 f=2y12+2y22-3y32.【知识模块】 二次型
