1、考研数学二（二次型）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 为对角矩阵（B）存在正交矩阵 Q1，Q 2，使得 为对角矩阵（C）存在可逆矩阵 P，使得 P-1(A+B)P 为对角矩阵（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B2 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A 的每个特征值都是单值（D）A *是正定矩阵3 下列说法正确的是( ) （A）任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则
2、两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的4 设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 XTAX 与 XTA-1X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同5 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵6 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（A）A，B 合同（B） A，B 相似（C）方程组 AX=0 与 B
3、X=0 同解（D）r(A)=r(B)7 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)=r(B)（B） A= B（C） AB（D）A，B 与同一个实对称矩阵合同8 设 A= ，则 A 与 B( )（A）相似且合同（B）相似不合同（C）合同不相似（D）不合同也不相似9 设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题：(1)AB ；(2)A ，B 合同；(3)A ，B 等价；(4)A = B中正确的命题个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个10 设 A= ，则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）相似但不合同（C）
4、合同但不相似（D）既不相似又不合同11 设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 XTAX=0，则( )（A）A=0（B） A0（C） A0（D）以上都不对二、填空题12 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1-2x2)2+4x2x3 的矩阵为_13 设 1= ，则 1， 2， 3 经过施密特正交规范化后的向量组为_14 设二次型 的秩为 2，则 a=_15 设 为正定二次型，则 t 的取值范围是_16 f(x1，x 2， x3，x 4)=XTAX 的正惯性指数是 2，且 A2-2A=O，该二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 用配方法化二
5、次型 f(x1，x 2，x 3= +x2x3 为标准二次型18 用配方法化二次型 f(x1，x 2，x 3)= 为标准形18 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 B=19 求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；20 求矩阵 A21 用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)= -4x1x2-4x1x3-4x2x3 为标准二次型21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)= 的秩为222 求 a；23 用正交变换法化二次型为标准形23 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A(A 称为幂等阵)求：24 二次
6、型 XTAX 的标准形； 25 E+A+A 2+An的值25 设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1，x 2，x n)=26 记 X=(x1，x 2，x n)T，把二次型 f(x1，x 2，x 3)写成矩阵形式；27 二次型 g(X)=XTAX 是否与 f(x1，x 2，x n)合同?27 设 A 是三阶实对称矩阵，且 A2+2A=O，r(A)=228 求 A 的全部特征值；29 当 k 为何值时，A+kE 为正定矩阵?30 设二次型 f(x1，x 2，x 3)= 为正定二次型，求t 的范围31 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：E+A132 用配方法化下列二次型为标准形：f(x 1，x
7、 2，x 3)= +2x1x2-2x1x3+2x2x333 用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1，x 2，x 3)=2x1x2+2x1x3+6x2x333 二次型 f(x1，x 2，x 3)= -4x1x2-8x1x3-4x2x3 经过正交变换化为标准形，求：34 常数 a，b ；35 正交变换的矩阵 Q35 设 C=36 求 PTCP；37 证明：D-BA -1BT 为正定矩阵38 设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A TA 的特征值全大于零39 设 A 为，2 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，PTAP 为正定矩阵40 设 P 为可逆矩阵， A=PTP证明：A 是
8、正定矩阵41 设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵42 三元二次型 f=XTAX 经过正交变换化为标准形 ，且 A*+2E 的非零特征值对应的特征向量为 1= ，求此二次型43 设二次型 经过正交变换 X=QY 化为标准形 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q44 设齐次线性方程组 为正定矩阵，求a，并求当 时 XTAX 的最大值45 设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵46 设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明： BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)=n考研数学二（二次型）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选
9、项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 二次型2 【正确答案】 D【试题解析】 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件【知识模块】 二次型3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 f=x1x2，令(B)不对，两个二次型标准形相同只能说
10、明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同； (C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为 0，不能保证其正惯性指数为 n； 选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一【知识模块】 二次型4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 A-1 合同，所以 XTAX 与 XTA-1X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)【知识模块】 二次型5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与对角阵 A 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 PTAP=A， 从而 A=(PT)-1AP-1=(P-1)TA
11、P-1，A T=(P-1)TAP-1T=(P-1)TAP-1=A，选(B)【知识模块】 二次型6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)【知识模块】 二次型7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与 合同，选(D)【知识模块】 二次型8 【正确答案】 C【试题解析】 由E-A=0 得 A 的特征值为 1，3，-5，由E-B=0 得 B 的特征值为 1，1，-1，所以 A 与 B 合同但不相似，选 (C)【知识模块】 二次型9 【正确答案】
12、 B【试题解析】 因为 A，B 的特征值为-2，1，1，所以 A=B=-2，又因为r(A)=r(B)=3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选 (B)【知识模块】 二次型10 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A，B 都是实对称矩阵，由E-A=0，得 A 的特征值为1=1， 2=2， 3=9， 由E-B=0，得 B 的特征值为 1=1， 2=3=3，因为 A，B惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选 (C)【知识模块】 二次型11 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型 f=XTAX，则 f=XTAX=1=0，同理可得 2=3=0，由于 A 是实对称矩阵
13、，所以 r(A)=0，从而 A=O，选(A) 【知识模块】 二次型二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x1，x 2，x 3)=【知识模块】 二次型13 【正确答案】 【试题解析】 令 1=正交规范化的向量组为【知识模块】 二次型14 【正确答案】 【试题解析】 该二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型的秩为 2，所以A=0，解得 a=【知识模块】 二次型15 【正确答案】 t2【试题解析】 二次型的矩阵为 A= ，因为二次型为正定二次型，所以有 50， =10，A0，解得 t2【知识模块】 二次型16 【正确答案】 【试题解析】 A 2-2A=O r(A)+r(2E-A)=4
14、A 可以对角化， 1=2， 2=0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1=2， 2=0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 令【知识模块】 二次型18 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型19 【正确答案】 由 AB+B=O 得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+r(B)3，因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =-1 为 A 的特征值且不低于 2 重，显然 =-1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1=2=-1， 3=5由(E+A)B=O
15、 得 B 的列组为(E+A)X=O 的解，故 1= 为 1=2=-1 对应的线性无关解令 3= 为 3=5对应的特征向量，因为 AT=A，所以【知识模块】 二次型20 【正确答案】 由 QTAQ=【知识模块】 二次型21 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX，其中 X=由E-A= =(+3)(-3)2=0 得1=-3， 2=3=3由(-3E-A)X=0 得 1=-3 对应的线性无关的特征向量为 1= 由(3E-A)X=0 得 2=3=3 对应的线性无关的特征向量为 2= 将2， 3 正交化得 2=【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型22 【正确答案】 A= ，因为二次型的秩
16、为 2，所以 r(A)=2，从而a=2【知识模块】 二次型23 【正确答案】 A ，由E-A=0 得 1=2=2， 3=0当 =2 时，由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 1= 当 =0 时，由(0E-A)X=0 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 3= 因为 1， 2 两两正交，单位化得 1=【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型24 【正确答案】 因为 A2=A，所以AE-A =0，即 A 的特征值为 0 或者 1，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(n-r 重)，则二次型 XTAX 的标准形为
17、【知识模块】 二次型25 【正确答案】 令 B=E+A+A2+An，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n-r 重)，故 E+A+A 2+An=B=(n+1) r【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型26 【正确答案】 f(x)=(x 1，x 2，x n)因为 r(A)=n，所以A0，于是 ，显然 A*，A -1 都是实对称矩阵【知识模块】 二次型27 【正确答案】 因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A-1 合同，故二次型 f(x1，x 2，x n)与 g(x)=XTAX 规范合同【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型28 【正确答案】 由 A2+2
18、A=O 得 r(A)+r(A+2E)=3，从而 A 的特征值为 0 或-2 ，因为 A 是实对称矩阵且 r(A)=2，所以 1=0， 2=3=-2【知识模块】 二次型29 【正确答案】 A+kE 的特征值为 k，k-2 ，k-2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵【知识模块】 二次型30 【正确答案】 二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型为正定二次型，所以有【知识模块】 二次型31 【正确答案】 方法一 因为 A 是正定矩阵，所以存在正交阵 Q，使得 QTAQ=其中 10， 20， n0，因此 QT(A+E)Q=于是Q T(A+E)Q=A+E =( 1+1)(2+1)( n+1)1方法二 因为
19、 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值 10， 20， n0，因此 A+E 的特征值为 1+11， 2+11， n+11，故A+E=( 1+1)(2+1)( N+1)1【知识模块】 二次型32 【正确答案】 令 A= ，则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，【知识模块】 二次型33 【正确答案】 令【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型34 【正确答案】 令 A= ，则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，矩阵 A 的特征值为 1=5， 2=b， 3=-4，【知识模块】 二次型35 【正确答案】 将 1=2=5 代入(E-A)X=0 ，即(5E-A)X=0，由 5E-A=得 1=2=5
20、对应的线性无关的特征向量为 1=将 3=-4 代入(E-A)X=0，即(4E+A)X=0，由 4E+A=得 3=-4 对应的线性无关的特征向量为 3=令 1=1=【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型36 【正确答案】 因为 C= 为正定矩阵，所以 AT=A，D T=D，P TCP=【知识模块】 二次型37 【正确答案】 因为 C 与为正定矩阵，故 A 与 D-BA-1BT 都是正定矩阵【知识模块】 二次型38 【正确答案】 首先 ATA 为实对称矩阵，r(A TA)=n，对任意的 X0，X T(ATA)X=(AX)T(Ax)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以(AX) T(AX
21、)=T= 2=0，即二次型 XT(ATA)X 是正定二次型，A TA 为正定矩阵，所以ATA 的特征值全大于零【知识模块】 二次型39 【正确答案】 首先 AT=A，因为(P TAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以 PTAP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 TA0，即 XT(PTAP)X0，故 XT(PTAP)X为正定二次型，于是 PTAP 为正定矩阵【知识模块】 二次型40 【正确答案】 显然 AT=A，对任意的 X0，X TAX=(PA)T(PX)，因为 X0 且 P
22、 可逆，所以 PX0，于是 XTAX=(PX)T(PX)=PX 20，即 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 二次型41 【正确答案】 因为 A，B 正定，所以 AT=A，B T=B，从而(A+B) T=A+B，即A+B 为对称矩阵对任意的 X0，X T(A+B)X=XTAX+XTBX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 XTAX0，X TBX0，因此 XT(A+B)X 0，于是 A+B 为正定矩阵【知识模块】 二次型42 【正确答案】 因为 f=XTAX 经过正交变换后的标准形为 ，所以矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=-2由A= 123=2 得 A*的特征值为1=2=
23、2， 3=1，从而 A*+2E 的特征值为 0，0，3，即 为 A*+2E 的属于特征值 3的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3=-2 的特征向量令 A 的属于特征值1=2=1 的特征向量为 = ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 =0，即 x1+x2=0故矩阵 A 的属于 1=2=1 的特征向量为 令 P=(2， 3， 1)=【知识模块】 二次型43 【正确答案】 二次型 的矩阵形式为 f=X TAX 其中 A= ，所以AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为1，1，4而E-A = 3-(a+4)+(4a-b2+2)+(-3a-2b+2b2+2)，所以有 3-(a+
24、4)2+(4a-b2+2)+(-3a-2b+2b2+2)=(-1)2(-4)，解得 a=2，b=1 当 1=2=1 时，由(E-A)X=0 得 1= 由 3=4 时，由(4E-A)X=0 得 3= 显然 1， 2， 3两两正交，单位化为【知识模块】 二次型44 【正确答案】 因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a-3)=0，即a=-1 或 a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵，所以 aii0(i=1，2，3)，所以 a=3当a=3 时，由E-A= =(-1)(-4)(-10)=0 得 A 的特征值为1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得 所以当X= 时，X TA
25、X 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y1=y2=0，y 3= )【知识模块】 二次型45 【正确答案】 A 所对应的二次型为 f=XTAX，因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 ，其中I0(i=1，2，n) ，对任意的 X0，因为 X=QY，所以 Y=QTX0，于是，即对任意的 X0 有 XTAX0，所以 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 二次型46 【正确答案】 因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，所以 BTAB 为对称矩阵，设BTAB 是正定矩阵，则对任意的 X0，X TBTABX=(BX)TA(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 反之，设r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0，所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 二次型
