1、考研数学二（二次型）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 则 A 与 B( )（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似2 设 则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似3 设 A，B 为同阶可逆矩阵，则( )（A）AB=BA （B）存在可逆阵 B，使 P 一 1AP=B（C）存在可逆阵 C，使 CTAC=B（D）存在可逆阵 P 和 Q，使 PAQ=B二、填空题4 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2 一 x3)2+(x
2、3+x1)2 的秩为_5 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx322x1x2+6x1x3-6x2x3 的秩为 2，则常数c=_6 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x2x3，则 f 的惯性指数为_7 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py 可化成标准形 f=6y12，则 a=_8 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3 正定，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 已知
3、二次型 f(x1，x 2，x 3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x39 写出二次型 f 的矩阵表达式；10 用正交变换把二次型 f 化为标准形，并求出相应的正交矩阵11 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0)，通过正交变换化为标准形 f=y12+2y22+5y32，求参数 a 及所用的正交变换的矩阵12 设二次型 f=x12+x22+x32+2ax1x2+2x2x3+2x1x3 经正交变换 x=Py 化成产f=y22+2y32，其中 x=(x1， x2，x 3)T 和 y=(y1，y 2，y 3)T 都是 3 维列向量，
4、P 是 3 阶正交矩阵.试求常数 ， 12 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=ax12+2x22 一 2x32+2bx1x3(b0)，其中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 1213 求 a，b 的值；14 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵14 设矩阵15 已知 A 的一个特征值为 3试求 y；16 求矩阵 P，使 (AP)T(AP)为对角矩阵16 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的矩阵 A 满足 tr(A)=一 6AB=C，其中17 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；18 指出方程
5、 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种曲面；19 求出该二次型 f(x1，x 2，x 3)19 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Oy 下的标准形为 y12+y22，且 Q的第 3 列为20 求矩阵 A；21 证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵22 设 3 元实二次型 f(x)=xTAx 经正交变换 x=Cy 化成 f(x)=y12+y22 是 Ax=0 的解向量(1)求所用的正交变换 x=Cy；(2)求A；(3)写出该实二次型 f(x)的表达式22 设实二次型 f(x1，x 2，x 3)=xATx 的秩为 2，且 1=(1，0，0) T
6、 是(A 一 2E)x=0 的解，2=(0，一 1， 1)T 是(A 一 6E)x=0 的解23 用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；24 写出该二次型；25 求方程组 f(x1，x 2，x 3)=0 的解26 设矩阵 ，矩阵 B=(kE+A)2，其中 k 为实数，求对角矩阵 A，使 B 与A 相似并求 k 为何值时，B 为正定矩阵26 设 A 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件 A2+2A=O已知 A 的秩 r(A)=227 求 A 的全部特征值；28 当 k 为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵29 设有 n 元二次型 f(x1,
7、x2 ,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n) 为实数试问当 a1，a 2，a n 满足何种条件时，二次型 f(x1,x2 ,xn)为正定二次型29 设 A 为 n 阶实对称矩阵，r(A)=n，A ij 是 A=(aij)nm 中元素 aij 的代数余子式(i,j=1，2，n)，二次型30 记 x=(x1,x2 ,xn)T，把 f(x1,x2 ,xn)写成矩阵形式，并证明二次型 f(x)的矩阵为 A 一 1；31 二次型 g(x)=xTAx 与 f(x)的规范形是否相同?说明理由32 设 A 为 mxn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩
8、阵，已知矩阵 B=E+ATA，试证当 0时矩阵 B 为正定矩阵33 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵，试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n34 设 A，B 分别为 m 阶，n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 是否是正定矩阵34 设 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵35 计算 PTDP，其中36 利用(1)的结果判断矩阵 B 一 CTA 一 1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论36 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1 一 a)x12+(1 一 a)x22+2x32+2
9、(1+a)x1x2 的秩为 237 求 a 的值；38 求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形；39 求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解39 已知齐次线性方程组 有非零解，且 是正定矩阵40 求 a；41 求 xTx=1，x TAx 的最大值和最小值41 设有 3 阶实对称矩阵 A 满足 A3-6A2+11A 一 6E=0，且A =642 写出用正交变换将二次型 f=xT(A+E)x 化成的标准形 (不需求出所用的正交变换) ；43 判断二次型 f=xT(A+E)x 的正定性43 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b
10、1x1+b2x2+b3x3)2，记44 证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T；45 若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y2245 设 3 元的实二次型 f=xTAx 的秩为 1，且 A 的各行元素之和为 346 求一个正交变换 x=Py 将二次型 f=xTAx 化成标准；47 写出该二次型；48 求 考研数学二（二次型）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查实对称矩阵相似、合同的概念以及判断的方法事实上，两个同阶实对称矩阵相似的充要条件是，它们有相同的特征值及对应的
11、重数；而两个同阶实对称矩阵合同的充要条件是，它们有相同的秩和相同的正惯性指数由此可知相似的实对称矩阵必合同所以选项 C 肯定错为判别其他选项，求矩阵 A的特征值即可因为 即矩阵 A 的特征值为3，3，0，而矩阵 B 的特征值为 1，1，0，所以矩阵 A 与 B 不相似；但 A 与 B 的秩均为 2，正惯性指数也都是 2所以它们是合同的总之选项 B 正确【知识模块】 二次型2 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查实对称矩阵相似、合同的判定所用的知识点是：任给实对称矩阵 A，总存在正交矩阵 Q，使得 Q 一 1AQ=QTAQ=A其中对角矩阵 A 主对角线上的元素是 A 的特征值；Q 是正交矩阵
12、Q 一 1=QT显然 A 是实对称矩阵，且特征值为 4，0，0，0故存在正交矩阵 Q，使得 Q 一 1AQ=QTAQ=B因此选A【知识模块】 二次型3 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查的知识点为矩阵相似、合同、等价、交换等概念用排除法解此题矩阵的乘法不满足交换律事实上，令 易知A，B 均可逆，但 ABBA，排除选项 A注意到矩阵 A 与 B 的特征值不一定相同故 A 与 B 不一定相似，排除选项 B；若 A 是对称矩阵，B 为非对称矩阵，知A 与 B 不合同，排除选项 C故选项 D 正确【知识模块】 二次型二、填空题4 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查二次型的秩的概念及矩阵秩的
13、求法二次型 f(x)=xTAx 的秩为 rA由于 f(x1，x 2，x 3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x32x2x3 的矩阵为对 A 施以初等变换得 从而 r(A)=2即二次型的秩为2【知识模块】 二次型5 【正确答案】 3【试题解析】 本题考查二次型秩的概念及当矩阵的秩小于矩阵的阶数时其行列式为零由于二次型 f 的矩阵为 由 r(A)=2，知A=0 ，解得 c=3【知识模块】 二次型6 【正确答案】 2【试题解析】 用配方法把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形，或求出特征值，正特征值个数即为正惯性指数利用配方法化二次型为标准形f=x 12+2x1x2+2x2x3=
14、x12+2x1x2+x22一(x 22 一 2x2x3)=(x1+x2)2 一(x 2 一 x3)2+x32=y12 一 y22+y32，其中 y1=x1+x2，y 2=x2 一x3，y 3=x3，即 由于这个线性变换是可逆的，故由惯性定理知，二次型 f 的正惯性指数为 2【知识模块】 二次型7 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查二次型对应的对称矩阵 A 的特征值与二次型的标准形f=6y12 的系数之间的关系注意二次型经正交变换化成的标准形的系数是二次型对应的对称矩阵 A 的特征值，并且 A 的特征值的和等于 A 的迹 trA由于二次型f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32
15、)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 的矩阵 且矩阵 A 的特征值为 6，0，0于是 3a=6，所以 a=2，故填 2【知识模块】 二次型8 【正确答案】 【试题解析】 本题考查正定二次型的判定方法注意正定二次型对应的对称矩阵A 是正定矩阵A 是正定矩阵 A 的各阶顺序主子式全为正由于二次型f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3 的矩阵【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 二次型9 【正确答案】 二次型 f 的矩阵表达式为【知识模块】 二次型10 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为由此得矩阵 A 的特征值
16、为1=1， 2=6， 3=一 6于是，二次型 f 可通过正交变换 x=Oy 化为标准形f=y12+6y226y32对于特征值 1=1，由于 故对应于特征值 1=1 的特征向量可取为 1=(2，0，一 1)T类似地，对应于特征值1=6， 2=-6 的特征向量可分别取为 2=(1，5，2) T， 3=(1，一 1，2) T因为 A 是实对称矩阵，且 1， 2， 3 互异，故 x1，x 2，x 3 构成正交向量组，将其单位化得故对二次型 f 作正交变换 则可将 f 化为标准形 f=y12+6y22 一 6y32【试题解析】 本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，矩阵特征值、特征向量的求法先求
17、出二次型 f 的矩阵 A 及 A 的特征值与特征向量，再将特征向量正交单位化，求出正交矩阵，即可把 f 化为标准形【知识模块】 二次型11 【正确答案】 二次型 f 及标准形的矩阵分别为 由于 A与 B 相似，有A= B，即 a=2因 a0，故 a=2，于是 属于特征值 1=1， 2=2 3=5 的特征向量分别为 这 3 个特征向量已互相正交，再单位化，得 故所用的正交变换的矩阵为【试题解析】 本题主要考查如何用正交变换化二次型为标准形，矩阵特征值、特征向量的求法利用二次型在正交变换下的不变量求出 a 的值，然后用常规方法求出正交矩阵【知识模块】 二次型12 【正确答案】 二次型 f(x1，x
18、 2，x 3)的矩阵为 因为 P 为正交矩阵，所以 即 A 与 B 相似，故 A 与 B 有相同的特征值1=0， 2=1， 3=2，这些特征值满足E 一 A=0当 1=0，则由式(1)和(2)，可求得 =0【试题解析】 本题主要考查二次型在正交变换下的不变量令二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵为 A，由标准形 f=y22+2y32，知 A 的特征值为 0，1，2，代入 A 的特征方程，求得 ， 【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型13 【正确答案】 二次型 f 的矩阵为 设 A 的特征值为i(i=1，2，3)由题设，有 1+2+3=+2+(一 2)=1，解得 a=1，b=2【知识模块
19、】 二次型14 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式 得A 的特征值 1=2=2， 3=一 3对于 1=2=2，解齐次线性方程组(2E 一 A)x=0，得其基础解系 1=(2，0，1) T， 2=(0，1，0) T对于 3=一 3，解齐次线性方程组(一3E 一 A)x=0，得基础解系 3=(1，0，一 2)T由于 1， 2， 3 已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将 1， 2， 3 单位化，由此得令矩阵 则Q 为正交矩阵，在正交变换 x=Qy 下，有 且二次型的标准形为f=2y12+2y223y32【试题解析】 本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，特征值与特征向量的计算与性
20、质首先写出二次型 f 的矩阵 A，利用特征值与行列式、迹之间的关系，求出 a，b 的值此时该题成为一道常规题了【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型15 【正确答案】 由拉普拉斯展开定理，得把 =3 代入，解得 y=2【知识模块】 二次型16 【正确答案】 注意到(AP) T(AP)=PTA2P，其中 矩阵 A2 的特征方程为EA 2=(1 一 )3(9 一 )=0，解得 A3 的特征值为1=2=3=1， 4=9再分别求出对应于它们的特征向量：这 4 个特征向量已经互相正交，再单位化，得【试题解析】 本题主要考查特征值、特征向量的概念与求法，用正交变换把实对称矩阵化为对角矩阵的方法.行列式的
21、计算将 =3代入方程EA =0，求出y 的值，然后求出 ATA，利用常规方法求正交矩阵 P，使 PT(ATA)P 为对角矩阵【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型17 【正确答案】 由题设 AB=C，得 由此知1=0， 3=一 12 是 A 的特征值， 1=(1，2，1) T， 2=(1，一 1，1) T 分别是对应的特征向量设 A 的第 3 个特征值为 3，由 1+2+3=tr(A)=一 6，得 3=6，再设 A 的对应于 3=6 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，则由 1， 2， 3 互异，有解得 3=(一 1，0，1) T将 1,2,3 单位化得令 P=(p1，p 2，p
22、3)，则 x=Py 为所求的正交变换，将 f=一 12y22+6y32【知识模块】 二次型18 【正确答案】 由(1)知 f(x1，x 2，x 3)=1 的标准方程为一 12y22+6y22=1，故f(x1，x 2，x 3)=1 表示双曲柱面【知识模块】 二次型19 【正确答案】 由(1)可得故原二次型为f(x1，x 2，x 3)=xTAx=一 x12 一 4x22 一 x32+8x1x214x1x3+8x2x3【试题解析】 本题考查抽象二次型化标准形，由矩阵的运算关系和 A 的迹求出A 的特征值与特征向量，写出二次型的标准形，由此确定二次曲面再由方阵对角化的逆问题求出矩阵 A，从而求出原二次
23、型【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型20 【正确答案】 由题设知 A 的特征值为 1，1，0 且 =(1，0，1) T 是属于 A 的特征值 0 对应的一个特征向量设 x=(x1，x 2，x 3)T 为 A 的属于特征值 1 的特征向量，由于 A 的不同的特征值所对应的特征向量正交，所以有 (x，)=0 ，即 x1+x3=0，解该方程组的基础解系 1=(1，0，一 1)T， 2=(0，1，0) T，将其单位化，并将其取为A 的属于特征值 1 对应的正交单位的特征向量，【知识模块】 二次型21 【正确答案】 由(1)知 A 的特征值为 1，1，0，于是 A+E 的特征值为 2,2，1，又
24、A+E 为实对称矩阵，故 A+E 为正定矩阵【试题解析】 本题考查抽象二次型化标准形的逆问题，由正交变换下的标准形与二次型对应的矩阵 A 的特征值的关系，求 A再由正定矩阵的定义判定 A+E 的正定性【知识模块】 二次型22 【正确答案】 (1)由二次型 f(x)=xTAx 经正交变换 x=Cy 化成 f(x)=y12+y22 知1=2=1 和 3=0 是 A 的 3 个特征值，再由 是 Ax=0 的解向量知 是 A 的 0 特征值对应的特征向量若设特征值 1=2=1 所对应的特征向量为 x，则有 x=0，即x2 一 x3=0，解之得 其中 k1，k 2 是不同时为 0 的任意常数于是得1=2
25、=1 所对应的特征向量取【试题解析】 本题考查用正交变换化二次型为标准形的逆问题【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型23 【正确答案】 由 1=(1，0，0) T 是(A 一 2E)x=0 的解， 2=(0，一 1，1) T 是(A 一6E)x=0 的解，得 A1=21，A 2=62，于是得 A 的两个特征值为 1=2， 2=6，其对应的特征向量依次为 1=(1，0，0) T， 2=(0，一 1，1) T又由于实二次型f(x1，x 2，x 3)的秩为 2，所以 A 的另一个特征值为 3=0，设其对应的特征向量为=(x1， x2，x 3)T， 令则 P 为正交矩阵，故 x=Py 为正交变换，
26、该变换将二次型化成标准形为 f(x1，x 2，x 3)=2y12+6y22【知识模块】 二次型24 【正确答案】 由于 故所求的二次型为 f(x1，x 2，x 3)=2x12+3x22+3x32 一 6x2x3【知识模块】 二次型25 【正确答案】 由于 f(x1，x 2，x 3)=2x12+3(x2 一 x3)2=0，得 ,k为任意常数【试题解析】 本题考查由正交变换化二次型为标准形的逆问题，由二次型的秩和方程组的解确定二次型的矩阵 A 的特征值与特征向量从而求解【知识模块】 二次型26 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为 由此得 A的特征值 1=0， 2=3=2于是矩阵 kE+A 的特
27、征值为 k 和 k+2(二重)，而矩阵B=(kE+A)2 的特征值为 k2 和(k+2) 2(二重)令矩阵 由BA要使矩阵 B 为正定矩阵，只需其特征值全大于零因此当 k0 且 k一 2 时，B 为正定矩阵【试题解析】 本题主要考查实对称矩阵对角化的方法及正定矩阵的判定方法由矩阵 A 的特征值求出 B 的特征值，即可判断 B 的正定性另一方法是利用正交变换化 A 为对角矩阵，代入 B 可解此题【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型27 【正确答案】 设 为 A 的一个特征值，对应的特征向量为 ，则 A= (0)，A2=2，于是 (A2+2A)=(2+2)，由条件 A2+2A=O 推知 ( 2
28、+2)=0又由于0，故 2+2=0解得 =一 2=0因为实对称矩阵 A 必可对角化，且 r(A)=2，所以 因此，矩阵 A 的全部特征值为 1=2=一 2， 3=0【试题解析】 本题主要考查实对称矩阵特征值的求法及正定矩阵的判定方法利用 A2+2A=O 及 r(A)=2，求出 A 的特征值利用(1)的结果，求出 A+kE 的特征值，当其特征值均大于零时，A+kE 为正定矩阵【知识模块】 二次型28 【正确答案】 矩阵 A+kE 仍为实对称矩阵由(1)知，A+kE 的全部特征值为一2+k，一 2+k，k，于是，当 k2 时矩阵 A+kE 的特征值均大于零因此，当 k2时，矩阵 A+kE 为正定矩
29、阵若 A+kE 为正定矩阵，只需其顺序主子式大于 0，即k 需满足 k 一 20，(k 一 2)20，(k 一 2)2k0，因此，当 k2 时，矩阵 A+kE 为正定矩阵【知识模块】 二次型29 【正确答案】 由题设知，对任意的实数 x1,x2 ,xn，有 f(x1,x2 ,xn)0，其中等号成立当且仅当 所以当 1+(一 1)n+1a1，a 2an0 时，对任意 n 个不全为零的实数 x1,x2 ,xn，都有f(x1,x2 ,xn)0，即当 a1a2an(一 1)n 时，二次型 f(x1,x2 ,xn)为正定二次型【试题解析】 本题考查正定二次型的判定方法将二次型 f(x1,x2 ,xn)的
30、正定性问题转化为齐次线性方程组仅有零解的问题进行解决【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型30 【正确答案】 二次型 f(x1,x2 ,xn)的矩阵形式为因 r(A)=n，故 A 可逆，且由(A 一 1)T=(AT)一 1=A 一 1，知 A 一 1 也是实对称矩阵，因此二次型 f(x)的矩阵为 A 一 1【知识模块】 二次型31 【正确答案】 因为(A 一 1)TAA 一 1=(AT)一 1E=A 一 1，所以 A 与 A 一 1 合同，于是g(x)=xTAx 与 f(x)有相同的规范形【试题解析】 本题主要考查二次型的基本理论首先求出二次型 f(x)的矩阵，并证明该矩阵为 A 一 1，且
31、为对称矩阵然后证明矩阵 A 与 A 一 1 合同【知识模块】 二次型32 【正确答案】 因为 BT=(E+ATA)T=E+ATA=B，所以 B 为 n 阶实对称矩阵对于任意的实 n 维列向量 x，有 xTBx=xT(E+ATA)x=xT+xTATAx=xTx+(Ax)T(Ax)当 x0 时，x Tx0，(Ax) T(Ax)0因此，当 0 时，对任意实 n 维列向量x0，都有 xTBx=xTx+(Ax)T(Ax)0即 B 为正定矩阵【试题解析】 本题主要考查正定矩阵的判定方法只要证明 B 为对称矩阵，且对任意的实 n 维列向量 x，都有 xTBx0 即可【知识模块】 二次型33 【正确答案】 必
32、要性 若 BTAB 为正定矩阵，则对任意的实 n 维列向量 x0，有 xT(BTAB)x0， 即 (Bx) TA(Bx)0又 A 为正定矩阵，于是 Bx0因此齐次线性方程组 Bx=0 仅有零解，从而 r(B)=n 充分性 因(B TAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB 为对称矩阵 若 r(B)=n，则齐次线性方程组 Bx=0 仅有零解因此，对任意的 n 维实列向量 x0，必有 Bx0 由已知，A 为正定矩阵，故对 Bx0，有(Bx)TA(Bx)0， xT(BTAB)x0，故 BTAB 为正定矩阵【试题解析】 本题主要考查实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件，齐次线性方程组仅有零解的判别注意
33、运用齐次线性方程组 Bx=O 只有零解充分必要条件是，则有 Bx0，这是证题的关键【知识模块】 二次型34 【正确答案】 C 显然是对称矩阵令 是 m+n 维列向量，其中 x 与 y分别是 m 维，n 维列向量，于是 x，y 不同时为零向量不妨设 x0由矩阵 A 与B 的正定性，有 xTAx0 且 yTBy0，故 即 C 是正定矩阵【试题解析】 本题主要考查正定矩阵的判定与分块矩阵的运算证明由矩阵 C 决定的二次型为正定的即可【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型35 【正确答案】 【知识模块】 二次型36 【正确答案】 由(1)的结果知，矩阵 D 合同于矩阵 又 D 为正定矩阵，可知矩阵
34、M 为正定矩阵，从而 M 的各阶顺序主子式大于零，于是 B 一CTA 一 1c 的各阶顺序主子式也大于零因矩阵 M 为对称矩阵，故 B 一 CTA 一 1C 为对称矩阵，故 B 一 CTA 一 1C 为正定矩阵【试题解析】 本题主要考查正定矩阵的判定以及分块矩阵的运算首先求出 PT，然后利用分块矩阵的运算法则求出 PTDP，再证明 BC TA 一 1C 为正定矩阵【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型37 【正确答案】 二次型 f 的秩为 2所以 r(A)=2，于是得 a=0【知识模块】 二次型38 【正确答案】 当 a=0 时，可知 A 的特征值为1=2=2， 3=0对于 1=2=2，解齐
35、次线性方程组(2E 一 A)x=0，得 A 的属于1=2=2 的线性无关的特征向量为 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1) T对于 A，=0，解齐次线性方程组(-A)x=0，得 A 的属于 A=0 的线性无关的特征向量为 3=(一1，1，0) T易见 1， 2， 3 两两正交，只需单位化，得则 Q 为正交矩阵在正交变换 x=Qy 下，二次型的标准形为 f=2y12+2y22【知识模块】 二次型39 【正确答案】 在正交变换 x=Qy 下,f(x 1，x 2，x 3)=0 化成 2y12+2y22=0，解之得y1=y2=0，从而【试题解析】 本题考查二次型矩阵的相关性质，用正交变换化二次
36、型为标准形以及使该二次型为 0 的向量由 r(A)=2，则A=0 ，确定参数 s用正交变换化二次型为标准形的常规方法求正交变换；把 f 化为标准形后可求 f(x1，x 2，x 3)=0 的解【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型40 【正确答案】 由于方程组有非零解，所以由于 A 为正定矩阵，必有 a0，可排除 a=0 和 a=一 1，故 a=3【知识模块】 二次型41 【正确答案】 当 a=3 时，由得 A 的特征值为 1，4，10由于 a=3 时，A 为实对称矩阵，故存在正交矩阵 P，经正交变换 x=Py 化二次型 xTAx为标准形，从而 1=y12+y22+y32xTAx=y12+4y
37、22+10y3210(y12+y22+y32)=10，故 xTAx的最大值为 10，最小值为 1【试题解析】 本题考查二次型的综合题通过方程组有解和 A 正定确定参数 a，将二次型 f=xTAx 化成标准形再求x=1 下的极值【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型42 【正确答案】 设 是 A 的特征值，x 是 A 的关于 A 所对应的特征向量，由 A3一 6A2+11A 一 6E=O 得( 3 一 62+11 一 6)x=0，由于 x0，所以 3 一 62+11 一6=0，得 =1，2，3由于A=6 ，所以 1=1， 2=2， 3=3 为 A 的三个特征值由于 A+E 仍是对称矩阵，其特征
38、值为 2，3，4，故存在正交变换 x=Py，使y=xT(A+E)x=2y12+3y22+4y32【试题解析】 本题考查用正交变换化二次型为标准形和二次型正定性的判定【知识模块】 二次型43 【正确答案】 由于 f=xT(A+E)x 的标准形的系数全为正，所以 f=xT(A+E)x 正定【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型44 【正确答案】 记 x=(x1，x 2，x 3)T，由于 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2=2xT(T)x+xT(T)x=xT(2T+T)x，又( T+T)T=(2T)T+(T)T=2T+T，所以二次型
39、 f 对应的矩阵为 2T+T【试题解析】 本题考查抽象二次型化标准形的综合题【知识模块】 二次型45 【正确答案】 记 A=2T+T，因为 ， 正交且均为单位向量，所以A=(2T+T)=2，A=(2 T+T)=，于是 1=2， 2=1 是矩阵 A 的特征值，又 r(A)=r(2T+T)r(2T)+r(T)2所以 3=0 是 A 的另一特征值，故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型46 【正确答案】 由 A 的各行元素之和为 3 知， 1=3 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 1=k(1，1，1) T，k0 为任意常数由二次型 f=xTAx
40、 的秩为 1 知 r(A)=1，所以 A 有二重特征值 2=3=0，设其对应的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，则有(x， 1)=0，即 x1+x2+x3=0，解得 2=3=0 对应的特征向量为则 P 为正交矩阵，x=Py 为正交变换，将二次型 f=xTAx 化成标准形f=3y 12【知识模块】 二次型47 【正确答案】 由 P 一 1AP=A 得 A=PAP 一 1，即【知识模块】 二次型48 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查综合运用二次型理论化抽象二次型为标准形的题目，先根据二次型 f=xTAx 的秩为 1 和 A 的各行元素之和为 3 确走 A 的特征值，再根据实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，求 A 的特征向量，然后将二次型 f=xTAx 化成标准形【知识模块】 二次型
