1、考研数学二（二次型）模拟试卷 16 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，已知 r(A)=2，并且 A 满足 A 2 -2A=0则下列各标准二次型 (1)2y 1 2 +2y 2 2 . (2)2y 1 2 (3)2y 1 2 +2y 3 2 (4)2y 2 2 +2y 3 2 中可用正交变换化为 f 的是( )（分数：2.00）A.(1)B.(3)，(4)C.(1)，(3)，(4)D.(2)3
2、.设 （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似B.A 与 B 合同但不相似C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似4.设 A= （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似B.A 与 B 合同但不相似C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似5.A= ，则( )中矩阵在实数域上与 A 合同 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：1，分数：2.00)6.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.用配方法化下列二次型为
3、标准型 (1)f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 3 +2x 2 x 3 (2)f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 2 x 3 （分数：2.00）_9.已知二次型 2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (a0)可用正交变换化为 y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求a 和所作正交变换（分数：2.00）_10.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX=ax 1 2 +2x 2 2 -2x 3 2 +2bx 1 x 3 ，(b0) 其中
4、A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12 (1)求 a，b (2)用正交变换化 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )为标准型（分数：2.00）_11.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1-a)x 1 2 +(1-a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2 (1)求a (2)求作正交变换 X=QY，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形 (3)求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：2.00）_12.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 在正交变换 X=QY 下化为 10y 1 2 -4y 2 2 -
5、4y 3 2 ，Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_13.A= （分数：2.00）_14.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 的正惯性指数为2，a 应满足？（分数：2.00）_15.设 A 是一个可逆实对称矩阵，记 A ij 是它的代数余子式二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_16.判断 A 与 B 是否合同，其中 （分数：2.00）_17.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +(a-1)x 3 2 +2x 1 x
6、 3 -2x 2 x 3 求 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵的特征值 如果 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a（分数：2.00）_18.a 为什么数时二次型 x 1 2 +3x 2 2 +2x 3 2 +2ax 2 x 3 可用可逆线性变量替换化为 2y 1 2 -3y 2 2 +5y 3 2 ?（分数：2.00）_19.已知 A 是正定矩阵，证明A+E1（分数：2.00）_20.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 3 +4x 2 x 3 当 A
7、满足什么条件时 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )正定?（分数：2.00）_21.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 a 1 ， 2 ，a n 满足什么条件时 f(x 1 ，x 2 ，x n )正定?（分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_23.设 A 和 B 都是 mn 实矩阵，满足 r(A+B)=n，证明 A T A+B T B 正定（分数：2.00）_24.设 A 是 m 阶正定矩阵，B 是 mn 实矩阵证明：B T AB 正定 （分数：2.00）_
8、25.设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A 2 +2A=0，并且 r(A)=2 (1)求 A 的特征值 (2)当实数后满足什么条件时 A+kE 正定?（分数：2.00）_26.设 A，B 是两个 n 阶实对称矩阵，并且 A 正定证明： (1)存在可逆矩阵 P，使得 P T AP，P T BP 都是对角矩阵； (2)当充分小时，A+B 仍是正定矩阵（分数：2.00）_27.设 C= ，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵证明 C 正定 （分数：2.00）_28.设 D= 是正定矩阵，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵记 P= （分数：2.00）_考研数学二（二次型）模拟试卷 16 答案解析(
9、总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，已知 r(A)=2，并且 A 满足 A 2 -2A=0则下列各标准二次型 (1)2y 1 2 +2y 2 2 . (2)2y 1 2 (3)2y 1 2 +2y 3 2 (4)2y 2 2 +2y 3 2 中可用正交变换化为 f 的是( )（分数：2.00）A.(1)B.(3)，(4)C.(1)，(3)，(4) D.(2)解析：解析：两个二次型可以用正交变换互相转
10、化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样从条件可知，A 的特征值 0，2，2(1)，(3)，(4)这 3 个标准二次型的矩阵的特征值都是 0，2，2(2)中标准二次型的矩阵的特征值是 0，0，23.设 （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似 B.A 与 B 合同但不相似C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似解析：解析：A 与 B 都是实对称矩阵，判断是否合同和相似只要看它们的特征值：特征值完全一样时相似，特征值正负性一样时合同此题中 A 的特征值和 B 的特征值都是 4，0，0，0，从而 A 与 B 既合同又相似4.设 A= （分数：2.00）A.A 与 B
11、 既合同又相似B.A 与 B 合同但不相似 C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似解析：5.A= ，则( )中矩阵在实数域上与 A 合同 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：用特征值看：两个实对称矩阵合同甘它们的特征值正负性相同 A=-3，对于 2 阶实对称矩阵，行列式小于 0 即两个特征值一正一负，于是只要看哪个矩阵行列式是负数就和 A 合同计算得到只有(D)中的矩阵的行列式是负数二、填空题(总题数：1，分数：2.00)6.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答题解答
12、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.用配方法化下列二次型为标准型 (1)f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 3 +2x 2 x 3 (2)f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 3 +2x 2 x 3 =x 1 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 3 +(x 2 -x 3 ) 2 -(x 2 -x 3 )
13、 2 +2x 2 2 +2x 2 x 3 =(x 1 +x 2 -x 3 ) 2 +x 2 2 +4x 2 x 3 -x 3 2 =(x 1 +x 2 -x 3 ) 2 +x 2 2 +4x 2 x 3 +4x 3 2 -5x 3 2 =(x 1 +x 2 -x 3 ) 2 +(x 2 +2x 3 ) 2 -5x 3 2 . 令 原二次型化为 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=y 1 2 +y 2 2 -5y 3 2 从上面的公式反解得变换公式： 变换矩阵 (2)这个二次型没有平方项，先作一次变换 f(x 1 ，x 2 ，y 3 )=y 1 2 -y 2 2 +2y 1 y 3 虽然所得新二
14、次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了： y 1 2 -y 2 2 +2y 1 y 3 =(y 1 +y 3 ) 2 -y 2 2 -y 3 2 令 即 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=z 1 2 -z 2 2 -z 3 2 变换公式为 变换矩阵 )解析：9.已知二次型 2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (a0)可用正交变换化为 y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求a 和所作正交变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原二次型的矩阵 A 和化出二次型的矩阵 B 相似 于是A=B=10而A=2(9-a 2 )，得 a 2 =4
15、，a=2 A 和 B 的特征值相同，为 1，2，5对这 3 个特征值求单位特征向量 对于特征值 1： 得(A-E)X=0 的同解方程组 得属于 1 的一个特征向量 1 =(0，1，-1) T ，单位化得 1 = 对于特征值 2： 得(A-2E)X=0 的同解方程组 得属于 2 的一个单位特征向量 2 =(1，0，O) T 对于特征值 5： 得(A-5E)X=0 的同解方程组 得属于 5 的一个特征向量 3 =(0，1，1) T ，单位化得 3 = )解析：10.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX=ax 1 2 +2x 2 2 -2x 3 2 +2bx 1 x 3 ，(b
16、0) 其中 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12 (1)求 a，b (2)用正交变换化 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )为标准型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A= 由条件知，A 的特征值之和为 1，即 a+2+(-2)=1，得 a=1 特征值之积=-12，即A=-12，而 A= =2(-2-b 2 ) 得 b=2(b0)则 (2)E-A= =(-2) 2 (+3)， 得 A 的特征值为 2(二重)和-3(一重) 对特征值 2 求两个单位正交的特征向量，即(A-2E)X=0 的非零解 得(A-2E)X=0 的同解方程组 x 1 -2x 3 =0，求出基础解系 1 =(0
17、，1，0) T ， 2 =(2，0，1) T 它们正交，单位化： 1 = 1 ， 2 = 方程 x 1 -2x 3 =0的系数向量(1，0，-2) T 和 1 ， 2 都正交，是属于一 3 的一个特征向量，单位化得 3 = 作正交矩阵 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQ= )解析：11.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1-a)x 1 2 +(1-a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2 (1)求a (2)求作正交变换 X=QY，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形 (3)求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0
18、的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)此二次型的矩阵为 则 r(A)=2，A=0求得A=-8a，得 a=0 (2)E-A= =(-2) 2 ， 得 A 的特征值为 2，2，0 对特征值 2 求两个正交的单位特征向量： 得(A-2E)X=0 的同解方程组 x 1 -x 2 =0，求出基础解系 1 =(0，0，1)v， 2 =(1，1，0) T 它们正交， 单位化： 1 = 1 ， 2 = 方程 x 1 -x 2 =0 的系数向量(1，-1，0) T 和 1 ， 2 都正交，是属于特征值 0 的一个特征向量，单位 化得 3 = 作正交矩阵Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q T A
19、Q= 作正交变换 X=QY，则 f 化为 Y 的二次型 f=2y 1 2 +2y 2 2 (3)f(X)=x 1 2 +x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +2x 3 2 于是 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 求得通解为： )解析：12.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 在正交变换 X=QY 下化为 10y 1 2 -4y 2 2 -4y 3 2 ，Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：标准二次型 10y 1 2 -4y 2 2 -4y 3 2 的矩阵为 则 Q -1 AQ=Q T AQ=B，A
20、和B 相似于是 A 的特征值是 10，-4，-4 (1)Q 的第 1 列 1 = 是 A 的属于 10 的特征向量，其 倍 1 =(1，2，3) T 也是属于 10 的特征向量于是 A 的属于-4 的特征向量和(1，2，3) T 正交，因此就是方程 x 1 +2x 2 +3x 3 =0 的非零解求出此方程的一个正交基础解系 2 =(2，-1，0) T ， 3 = 建立矩阵方程 A( 1 ， 2 ， 3 )=(10 1 ，-4 2 ，-4 3 )，用初等变换法解得 (2)将 2 ， 3 单位化得 2 = (2，-1，0) T ， 3 = )解析：13.A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答
21、案：对这样的题，可能会想到构造正交矩阵 Q，使得 Q -1 AQ 是对角矩阵，则 Q T AQ=Q -1 AQ 是对角矩阵这样做首先会遇到特征值计算的困难，如本题中的矩阵用本课程的知识是不能求出特征值的即使可以求出，这个方法的计算量也比较大一个比较简单的方法是利用与 A 对应的二次型用配方法标准化，则变换矩阵就是所求 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX=x 1 2 +4x 2 2 -2x 3 2 -4x 1 x 2 +4x 2 x 3 =(x 1 -2x 2 ) 2 -2x 3 +4x 2 x 3 =(x 1 -x 2 ) 2 -2(x 2 -x 3 ) 2 +2x 2 2 令
22、原二次型化为 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=y 1 2 -2y 2 2 +2y 3 2 从上面的公式反解得变换公式： 变换矩阵 则 P T AP= )解析：14.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 的正惯性指数为2，a 应满足？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用配方法 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 +x 3 ) 2 +(a-1)x 2 2 ， 令 )解析：15.设 A 是一个可逆实对称矩阵，记 A ij 是它的代数余子式二次型 f(x 1 ，x
23、 2 ，x n )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于 A 是实对称矩阵，它的代数余子式 A ij =A ij ， )解析：16.判断 A 与 B 是否合同，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用惯性指数，看它们的正负惯性指数是否都一样B 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 1A 的惯性指数可通过对二次型 X T AX 进行配方法化标准形来计算 X T AX=x 1 2 +4x 2 2 -2x 3 2 -4x 1 x 2 -4x 2 x 3 =(x 1 -2x 2 ) 2 -2x 3 2 -4x 2 x 3 =(x 1 -2x 2 ) 2 -2(x 3 +x 2
24、) 2 +2x 2 2 ， 令 )解析：17.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +(a-1)x 3 2 +2x 1 x 3 -2x 2 x 3 求 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵的特征值 如果 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵为 记 B= )解析：18.a 为什么数时二次型 x 1 2 +3x 2 2 +2x 3 2 +2ax 2 x 3 可用可逆线性变量替换化为 2y 1 2 -3y 2 2 +5y 3 2 ?（分
25、数：2.00）_正确答案：(正确答案：就是看 a 为什么数时它们的矩阵合同写出这两个二次型的矩阵 B 的特征值是 2 正 1 负又看出 1 是 A 的特征值，于是 A 的另两个特征值应该 1 正 1 负，即A0求得A=6-a 2 ，于是 a 满足的条件应该为： )解析：19.已知 A 是正定矩阵，证明A+E1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此题用特征值较简单 设 A 的特征值为 1 ， 2 ， n ，则 A+E 的特征值为 1 +1， 2 +1， n +1 因为 A 正定，所以 i 0， i +11(i=1，2，n)于是 A+E=( 1 +1)( 2 +1)( n +1)1)解析：2
26、0.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 3 +4x 2 x 3 当 A 满足什么条件时 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )正定?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用顺序主子式此二次型的矩阵 )解析：21.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 a 1 ， 2 ，a n 满足什么条件时 f(x 1 ，x 2 ，x n )正定?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 y 1
27、=x 1 +a 1 x 2 ，y 2 =x 2 +a 2 x 3 ，y n =x n +a n x 1 ，则 )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 是实对称矩阵，它可相似对角化，从而 B 也可相似对角化，并且以 B 的特征值为对角线上元素的对角矩阵和 B 相似 求 B 的特征值： E-A=(-2) 2 ，A 的特征值为0，2，2，于是 B 的特征值为 k 2 和(k+2) 2 ，(k+2) 2 令 D= )解析：23.设 A 和 B 都是 mn 实矩阵，满足 r(A+B)=n，证明 A T A+B T B 正定（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用正
28、定的定义证明 显然 A T A，B T B 都是 n 阶的实对称矩阵，从而 A T A+B T B 也是 n 阶实对称矩阵 由于 r(A+B)=n，n 元齐次线性方程组(A+B)X=0 没有非零解.于是，当 是一个非零 n 维实的列向量时，(A+n)a0，因此 A 与 B 不会全是零向量，从而 T (A T A+B T B)= T A T A+ T B T B=A 2 +B 2 00根据定义，A T A+B T B 正定)解析：24.设 A 是 m 阶正定矩阵，B 是 mn 实矩阵证明：B T AB 正定 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“ ”B T AB 是 n 阶正定矩阵，则 r
29、(B T AB)=n，从而 r(B)=n “ )解析：25.设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A 2 +2A=0，并且 r(A)=2 (1)求 A 的特征值 (2)当实数后满足什么条件时 A+kE 正定?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 是实对称矩阵，所以 A 的特征值都是实数 假设 A 是 A 的一个特征值，则 2 +2 是 A 2 +2A 的特征值而 A 2 +2A=0，因此 2 +2=0，故 =0 或-2又因为 r(A-0E)=r(A)=2，特征值 0 的重数为 3-r(A-0E)=1，所以-2 是 A 的二重特征值A 的特征值为 0，-2，-2 (2)A+kE
30、 的特征值为后，k-2，k-2于是当 k2 时，实对称矩阵 A+kE 的特征值全大于 0，从而 A+kE 是正定矩阵当 k2 时，A+kE 的特征值不全大于 0，此时 A+kE 不正定)解析：26.设 A，B 是两个 n 阶实对称矩阵，并且 A 正定证明： (1)存在可逆矩阵 P，使得 P T AP，P T BP 都是对角矩阵； (2)当充分小时，A+B 仍是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 正定，所以存在实可逆矩阵 P，使得 P 1 T AP 1 =E作 B 1 =P 1 T BP 1 ，则 B 1 仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵 Q，使得 Q T BQ 是
31、对角矩阵令 P=P 1 Q，则 P T AP=Q T P 1 T AP 1 Q=E，P T BP=Q T P 1 T BP 1 Q=Q T B 1 Q因此 P 即所求 (2)设对(1)中求得的可逆矩阵 P，对角矩阵 P T BP 对角线上的元素依次为 1 ， 2 ， n ，记 M=max 1 ， 2 ， n 则当1M 时，E+P T BP 仍是实对角矩阵，且对角线上元素 1+ i 0，i=1，2，n于是 E+P T BP 正定，P T (A+B)P=E+P T BP，因此 A+B 也正定)解析：27.设 C= ，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵证明 C 正定 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 C 是实对称矩阵 A，B 都是实对称矩阵 E m+n -C= )解析：28.设 D= 是正定矩阵，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵记 P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) P T DP= )解析：
