1、考研数学二（二次型）模拟试卷 14 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(2x 1 +3x 2 +x) 3 2 5(x 2 +x 3 ) 2 的规范形为( )（分数：2.00）A.y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 。B.y 2 2 一 y 3 2 。C.y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2 。D.y 1 2 y 2 2 +y 3 2 。3.下列矩阵中 A 与 B 合
2、同的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的秩。B.A 与 B 有相同的特征值。C.A 与 B 有相同的特征向量。D.A 与 B 有相同的行列式。5.下列二次型中是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.f 1 =(x 1 一 x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 一 x 1 ) 2 。B.f 2 =(x 1 x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 。C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 )
3、2 +(x 3 一 x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 ) 2 。D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 ) 2 。6.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负惯性指数为零。B.存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP=E。C.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 1 C。D.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同。7.设 f=x T Ax，g=x T Bx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.x T (A+B)x。B
4、.x T A 1 x。C.x T B 1 x。D.x T ABx。8.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是( )（分数：2.00）A.A 1 正定。B.A 没有负的特征值。C.A 的正惯性指数等于 n。D.A 合同于单位矩阵。二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 f(x 1 ，x 2 )= （分数：2.00）填空项 1:_10.已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=x T Ax 通过合同变换 x=Py 化为 f=y T By，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +2x 2 +a 3 x 3 )(x 1
5、 +5x 2 +b 3 x 3 )的合同规范形为 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A 一 6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=一 aE+A T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：24.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.设二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 4x 1 x 3 +2
6、ax 2 x 3 经正交变换化为 3y 1 2 +3y 2 2 +by 3 2 ，求 a，b 的值及所用正交变换。（分数：2.00）_16.设矩阵 A= （分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第三列为 （分数：4.00）(1).求 A；（分数：2.00）_(2).证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a 1 2 +ax 2 2 +(a 一 1)x 3 2 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 。（分数
7、：4.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（分数：2.00）_(2).若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a 的值。（分数：2.00）_17.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B T 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证： B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n。（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ，记 （分数：4.00）(1).证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T
8、 ；（分数：2.00）_(2).若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 。（分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 =4x 2 2 一 3x 3 2 +4x 1 x 2 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).写出二次型 f 的矩阵表达式；（分数：2.00）_(2).用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。（分数：2.00）_18.对 n 元实二次型 f=x T Ax，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 。试证 f 在条件 x 1 2 +x 2 2 +x n 2 =1
9、 下的最大值恰好为矩阵 A 的最大特征值。（分数：2.00）_考研数学二（二次型）模拟试卷 14 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(2x 1 +3x 2 +x) 3 2 5(x 2 +x 3 ) 2 的规范形为( )（分数：2.00）A.y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 。B.y 2 2 一 y 3 2 。 C.y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2 。D.y
10、 1 2 y 2 2 +y 3 2 。解析：解析：将二次型中的括号展开，并合并同类项可得 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 一 4x 3 2 +14x 1 x 2 +4x 1 x 3 4x 2 x 3 ， 则该二次型矩阵为 A= 。由 EA= 3.下列矩阵中 A 与 B 合同的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：合同的定义：C T AC=B，矩阵 C 可逆。合同的必要条件是：r(A)=r(B)且行列式A与B同号。 A，B 合同的充要条件是：A 与 B 的正、负惯性指数相同；A 与 B 的正、负特征值的个数相同。 A 选项的矩阵秩不相等。 B
11、 选项中行列式正、负号不同，故排除。 C 选项中矩阵 A 的特征值为1，2，0，而矩阵 B 的特征值为 1，3，0，所以二次型 x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数，因此 A和 B 合同。 而 D 选项中，A 的特征值为 1，2，B 的特征值为一 1，一 2，一 2，因此 x T Ax 与 x T Bx正、负惯性指数不同，故不合同。 所以选 C。4.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的秩。 B.A 与 B 有相同的特征值。C.A 与 B 有相同的特征向量。D.A 与 B 有相同的行列式。解析：解析：合同的
12、矩阵也等价，故必有相同的秩，所以选 A。5.下列二次型中是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.f 1 =(x 1 一 x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 一 x 1 ) 2 。B.f 2 =(x 1 x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 。C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 一 x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 ) 2 。D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 ) 2 。 解析：解析：f
13、=x T Ax 正定 6.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负惯性指数为零。B.存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP=E。C.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 1 C。D.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同。 解析：解析：选项 A 是必要不充分条件。这是因为 r(A)=p+qn，当 q=0 时，有 r(A)=pn。此时有可能Pn，故二次型 x T Ax 不一定是正定二次型。因此矩阵 A 不一定是正定矩阵。例如 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 3 2 。 选项 B 是充分不必要条件。这是因为 P 1 AP=E 表
14、示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是1，此时 A 是正定的。但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的。选项C 中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=C T C 不能说 A 与 E 合同，也就没有 A 是正定矩阵的结论。例如 显然矩阵不正定。 关于选项 D，由于 7.设 f=x T Ax，g=x T Bx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.x T (A+B)x。B.x T A 1 x。C.x T B 1 x。D.x T ABx。 解析：解析：因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的
15、n 个特征值 1 ， 2 ， n 都大于零。设 Ap j = j p j ，则 A 1 p j = p j ，A 1 的 n 个特征值 8.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是( )（分数：2.00）A.A 1 正定。B.A 没有负的特征值。 C.A 的正惯性指数等于 n。D.A 合同于单位矩阵。解析：解析：A 1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 C T A 1 C=E，两边求逆得到 C 1 A(C T ) 1 =C 1 A(C 1 ) T =E， 即 A 合同于 E，A 正定，因此不应选 A。 D 选项是 A 正定的定义，也不是正确的选择。 C 选项表明 A 的正惯性指数等于 n，故
16、 A 是正定阵。由排除法，故选 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 f(x 1 ，x 2 )= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式。10.已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=x T Ax 通过合同变换 x=Py 化为 f=y T By，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：合同矩阵对应的二次型具有相同的规范形，所以由二次型 f=x T Ax 的正、负惯性指数均为1
17、 可知，矩阵 B 的秩 r(B)=2，从而有 B=一(a 一 1) 2 (a+2)=0。 若 a=1，则 r(B)=1，不合题意，舍去。 若 a=一 2，则由 E 一 B= 11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +2x 2 +a 3 x 3 )(x 1 +5x 2 +b 3 x 3 )的合同规范形为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z 1 2 一 z 2 2）解析：解析：令 =3，所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型 f=y 1 y 2 是合同的，故有相同的合同规范形。 二次型 f=y 1 y 2 的矩阵为 12.设 A 是三
18、阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A 一 6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k2）解析：解析：根据题设条件，则有 A 3 一 2A 2 5A+6E=0。设 A 有特征值 ，则 满足条件 3 一2 2 一 5+6=0，将其因式分解可得 3 一 2 2 一 5+6=( 一 1)(+2)( 一 3)=0，因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，一 2，3，故 kE+A 的特征值分别为 k+1，k 一 2，k+3，且当 k2 时，kE+A 的特征值均为正数。故 k2。13.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵
19、，矩阵 B=一 aE+A T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a0）解析：解析：B T =(一 aE+A T A) T =一 aE+A T A=B，故 B 是一个对称矩阵。 B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0，都有 x T Bx=x T (一 aE+A T A)x =一 ax T x+x T A T Ax =一 ax T x+(Ax) T Ax0， 其中(Ax) T (AX)0，x T x0，因此 a 的取值范围是一 a0，即 a0。三、解答题(总题数：9，分数：24.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
20、。_解析：15.设二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 3y 1 2 +3y 2 2 +by 3 2 ，求 a，b 的值及所用正交变换。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型及其标准形的矩阵分别是 由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B不仅合同而且相似。由 1+1+l=3+3+b 得 b=一 3。 对 =3，则有 3EA= =一 2(a+2) 2 =0， 因此 a=一 2(二重根)。 由(3EA)x=0，得特征向量 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，一 1) T 。 由
21、(一 3EA)x=0，得特征向量 3 =(1，1，1) T 。 因为 =3 是二重特征值，对 1 ， 2 正交化有 1 = 1 =(1，一 1，0) T ， 2 = 2 一 1 =(1，0，一 1) T 一 (1，一 1，0)= (1，1，一 2) T 。 单位化，有 )解析：16.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 是 A 的特征值，故3EA=8(3 一 y1)=0，解得 y=2。于是 A= 。 由于 A T =A，要(AP) T (AP)=P T A 2 P= ，故可构造二次型 x T A 2 x，再化其为标准形。由配方法，有 x T A 2 x=x 1 2
22、+x 2 2 +5x 3 2 +5x 4 2 +8x 3 x 4 =y 1 2 +y 2 2 5y 3 2 y 4 2 ， 其中 y 1 =x 1 ，y 2 =x 2 ，y 3 =x 3 + x 4 ，y 4 =x 4 ，即 于是 (AP) T (AP)=P T A 2 P= )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第三列为 （分数：4.00）(1).求 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知 Q T AQ= ，设 Q 的其他任一列向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 。
23、因为Q 为正交矩阵，所以 (x 1 ，x 2 ，x 3 ) =0， 即 x 1 +x 3 =0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 1 =(一 1，0，1) T ， 2 =(0，1，0) T 。把 1 单位化得 1 = (1，0，1) T ，所以 )解析：(2).证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明：因为(A+E) T =A T +E=A+E，所以 A+E 为实对称矩阵。又因为 A 的特征值为1，1，0，所以 A+E 特征值为 2，2，1，都大于 0，因此 A+E 为正定矩阵。)解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )
24、=a 1 2 +ax 2 2 +(a 一 1)x 3 2 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 A= ，则有 EA= =( 一 a) )解析：(2).若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a 的值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，说明有两个特征值为正，一个为 0。则由于 a 一2aa+1，所以 a 一 2=0，即 a=2。)解析：17.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B T 为 mn 实矩阵，B T 为
25、 B 的转置矩阵，试证： B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设 B T AB 为正定矩阵，则 r(B T AB)=n，因为 r(B T AB)r(B)n，故有 r(B)=n。 充分性：因(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，故 B T AB 为实对称矩阵。 若 r(B)=n，则线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量 x0，有 Bx0。又 A 为正定矩阵，所以对于Bx0，有(Bx) T A(Bx)0。于是当 x0，有 x T (B T AB)x=(Bx) T A(Bx
26、)0，故 B T AB 为正定矩阵。)解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ，记 （分数：4.00）(1).证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 )解析：(2).若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y 1 2 +y
27、 2 2 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=2 T + T ，由于=1， T = T =0，则 A=(2 T + T ) =2 2 + T =2， 所以 为矩阵对应特征值 i =2 的特征向量； A=(2 T + T ) =2 T + 2 =， 所以 为矩阵对应特征值 2 =1 的特征向量。 而矩阵 A 的秩 r(A)=r(2 T + T )r(2 T )+r( T )=2， 所以 3 =0 也是矩阵的一个特征值。故 f 在正交变换下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 。)解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 =4x 2 2 一 3x 3 2 +4x 1 x
28、2 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).写出二次型 f 的矩阵表达式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 )解析：(2).用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 EA= =(1)( 一 6)(+6)， 矩阵 A的特征值为 1 =1， 2 =6， 3 =一 6。 由( i EA)x=0(i=1，2，3)解得特征值 1 =1， 2 =6， 3 =一 6 对应的特征向量分别为 1 =(一 2，0，1) T ， 2 =(1，5，2) T ， 3 =(1，一 1，2) T ， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将 1 ， 2 ， 3 单位化，即 )解析：18.对 n 元实二次型 f=x T Ax，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 。试证 f 在条件 x 1 2 +x 2 2 +x n 2 =1 下的最大值恰好为矩阵 A 的最大特征值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：实二次型 f=x T Ax 所对应的矩阵 A 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 P 使 P T AP= )解析：
