1、考研数学二（二次型）-试卷 1 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列矩阵中，正定矩阵是（分数：2.00）A.B.C.D.3.矩阵 A （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似5.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，B 有相同的正负惯性指
2、数二、填空题(总题数：3，分数：6.00)6.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )(a 1 1 a 2 2 a 3 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_7.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 2 2 2 1 3 的负惯性指数 q 1（分数：2.00）填空项 1:_8.若二次型 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2t 2 3 的秩为 2，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.求正交变换化二次型 1 2 2 2 3 2 4 1 2 4 2 3 4
3、1 3 为标准形（分数：2.00）_11.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )5 1 2 5 2 2 c 3 2 2 1 2 6 2 3 6 1 3 的秩为 2，求 c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换（分数：2.00）_12.设 A 是凡阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 T A0，证明 A0（分数：2.00）_13.若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A -1 ，A * 也是正定矩阵（分数：2.00）_14.设 A 是 mn 实矩阵，r(A)n，证明 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_15.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A2E2 n （分数：2.00）_16.已知 A
4、 是正定矩阵，证明 （分数：2.00）_17.用配方法化下列次型为标准型 (1)f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 (2)f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 1 3 2 3 （分数：2.00）_18.已知二次型 2 1 2 3 2 2 3 3 2 2a 2 3 (a0)可用正交变换化为 y 1 2 2y 2 2 5y 3 2 ，求 a 和所作正交变换（分数：2.00）_19.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AXa 1 2 2 2 2 2 3 2 2b 1 3 ，(b0)其中 A 的特征值之和为 1，特征值之积为12 (1)求 a
5、，b (2)用正交变换化 f( 1 ， 2 ， 3 )为标准型（分数：2.00）_20.已知二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )(1a) 1 2 (1a) 2 2 2 3 2 2(1a) 1 2 的秩为 2 (1)求 a (2)求作正交变换 XQY，把 f( 1 ， 2 ， 3 )化为标准形 (3)求方程f( 1 ， 2 ， 3 )0 的解（分数：2.00）_21.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX 在正交变换 XQY 下化为 10y 1 2 4y 2 2 4y 3 2 ，Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_22.A （分数：2.00）_23.已知 3 是矩阵 A （分数：2
6、.00）_24.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 a 2 2 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 的正惯性指数为 2，a 应满足什么条件?（分数：2.00）_25.设 A 是一个可逆实对称矩阵，记 A ij 是它的代数余子式二次型 f( 1 ， 2 ， n ) （分数：2.00）_26.判断 A 与 B 是否合同，其中 （分数：2.00）_考研数学二（二次型）-试卷 1 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列矩阵中，正定矩阵是
7、（分数：2.00）A.B.C. D.解析：3.矩阵 A （分数：2.00）A.B. C.D.解析：4.设 （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似解析：解析：由EA 3 3 2 ，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0 又因 A 是实对称矩阵，A必能相似对角化，所以 AB 因为 A，B 有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以 A 5.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，B 有相同的正负惯性指数 解析：二、填空题(总
8、题数：3，分数：6.00)6.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )(a 1 1 a 2 2 a 3 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f( 1 ， 2 ， 3 )a 1 2 1 2 a 2 2 2 2 a 3 2 3 2 2a 1 a 2 1 2 2a 1 a 3 1 3 2a 2 a 3 2 3 ， 二次型矩阵 A 7.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 2 2 2 1 3 的负惯性指数 q 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：令()： 8.若二次型 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2
9、2t 2 3 的秩为 2，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：18，分数：36.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.求正交变换化二次型 1 2 2 2 3 2 4 1 2 4 2 3 4 1 3 为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 A ，由特征多项式 EA (3)(3) 2 ， 得特征值为 1 2 3， 3 3 由(3EA)0 得基础解系 1 (1，1，0) T ， 2 (1，0，1) T ，即 3 的特征向量是 1 ， 2 由(3EA)0 得基础解系 3
10、(1，1，1) T 对 1 ， 2 经 Schmidt 正交化，有 1 1 ， 2 2 单位化，得 )解析：11.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )5 1 2 5 2 2 c 3 2 2 1 2 6 2 3 6 1 3 的秩为 2，求 c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 A ，由二次型的秩为 2，即矩阵 A 的秩 r(A)2，则有 A24(c3)0 得 c3 用配方法求规范形和所作变换 f( 1 ， 2 ， 3 )5 1 2 5 2 2 3 3 2 2 1 2 6 1 3 6 2 3 3( 3 1 2 ) 2 3( 1 2 ) 2 5
11、 1 2 5 2 2 2 1 2 3( 1 2 3 ) 2 2 1 2 2 2 2 4 1 2 3( 1 2 3 ) 2 2( 1 2 ) 2 令 则 f( 1 ， 2 ， 3 )y 1 2 y 2 2 ，为规范二次型 所作变换为 )解析：12.设 A 是凡阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 T A0，证明 A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： n 维向量 恒有 T A0，那么令 1 (1，0，0，0) T ，有 1 T A 1 (1，0，0，0) a 11 0 类似地，令 i (0，0，0，1，0，0) T (第 i 个分量为 1)，由 i T A i ii 0 (i1，
12、2，n) 令 12 (1，1，0，0) T ，则有 12 T A 12 (1，1，0，0) )解析：13.若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A -1 ，A * 也是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 正定，所以 A T A那么(A -1 ) T (A T ) -1 A -1 ，即 A -1 是实对称矩阵 设 A 的特征值是 1 ， 2 ， n ，那么 A -1 的特征值是 由 A 正定知 i 0(i1，2，n)因此 A -1 的特征值 0(i1，2，n)从而 A -1 正定 A * AA -1 ，A0，则 A * 也是实对称矩阵，并且特征值为 )解析：14.设 A 是 m
13、n 实矩阵，r(A)n，证明 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(A T A) T A T (A T ) T =A T A，知 A T A 是实对称矩阵 又 r(A)n， )解析：15.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A2E2 n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设矩阵 A 的特征值是 1 ， 2 ， n 因为 A 正定，故特征值 i 0(i1，2，n)又 A2E 的特征值是 1 2， 2 2， n 2 所以 A2E( 1 2)( 2 2)( n 2)2 n )解析：16.已知 A 是正定矩阵，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 C 1
14、 ，C 2 ，则 C 是可逆矩阵，且 C T ACC 2 T C 1 T AC 1 C 2 则 A )解析：17.用配方法化下列次型为标准型 (1)f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 (2)f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 1 3 2 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 1 2 2 1 2 2 1 3 ( 2 3 ) 2 ( 2 3 ) 2 2 2 2 2 2 3 ( 1 2 3 ) 2 2 2 4 2 3 3 2 ( 1 2 3 ) 2
15、2 2 4 2 3 4 3 2 5 3 2 ( 1 2 3 ) 2 ( 2 2 3 ) 2 5 3 2 令 原二次型化为 f( 1 ， 2 ， 3 )y 1 2 y 2 2 5y 3 2 从上面的公式反解得变换公式： 变换矩阵 C (2)这个二次型没有平方项，先作一次变换 f( 1 ， 2 ， 3 )y 1 2 y 2 2 2y 1 y 3 虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了： y 1 2 y 2 2 2y 1 y 3 (y 1 y 3 ) 2 y 2 2 y 3 2 则 f( 1 ， 2 ， 3 )z 1 2 z 2 2 z 3 2 变换公式为 变换矩阵 C )解析
16、：18.已知二次型 2 1 2 3 2 2 3 3 2 2a 2 3 (a0)可用正交变换化为 y 1 2 2y 2 2 5y 3 2 ，求 a 和所作正交变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原二次型的矩阵 A 和化出二次型的矩阵 B 相似 于是AB10而A2(9a 2 )，得 a 2 4，a2 A 和 B 的特征值相同，为 1，2，5对这 3 个特征值求单位特征向量 对于特征值 1： AE 得(AE)X0 的同解方程组 得属于 1 的一个特征向量 1 (0，1，1) T ，单位化得 1 对于特征值 2： A2E 得(A2E)X0 的同解方程组 得属于 2 的一个单位特征向量 2 (
17、1，0，0) T 对于特征值 5： A5E 得(A5E)X0 的同解方程组 得属于 5 的一个特征向量 3 (0，1，1) T 单位化得 3 )解析：19.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AXa 1 2 2 2 2 2 3 2 2b 1 3 ，(b0)其中 A 的特征值之和为 1，特征值之积为12 (1)求 a，b (2)用正交变换化 f( 1 ， 2 ， 3 )为标准型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 由条件知，A 的特征值之和为 1，即 a2(2)1，得 a1 特征值之积12，即A12，而 A 2(2b 2 ) 得 b2(b0)则 A (2)AEA (2)
18、2 (3)， 得 A 的特征值为 2(二重)和3(一重) 对特征值2 求两个单位正交的特征向量，即(A2E)X0 的非零解 A2E 得(A2E)X0 的同解方程组 1 2 3 0，求出基础解系 1 (0，1，0) T ， 3 (2，0，1) T 它们正交，单位化： 1 1 ， 2 求3 的一个单位特征向量： A3E (A3E)X0 的同解方程组 得一个 1 (1，0，2) T ，单位化得 3 作正交矩阵 Q( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQ )解析：20.已知二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )(1a) 1 2 (1a) 2 2 2 3 2 2(1a) 1 2 的秩为 2 (1)求
19、a (2)求作正交变换 XQY，把 f( 1 ， 2 ， 3 )化为标准形 (3)求方程f( 1 ， 2 ， 3 )0 的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)此二次型的矩阵为 A 则 r(A)2，A0求得A8a，得a0 A (2)EA (2) 2 ， 得 A 的特征值为 2，2，0 对特征值 2 求两个正交的单位特征向量： A2E 得(A2E)X0 的同解方程组 1 2 0，求出基础解系 1 (0，0，1) T ， 3 (1，1，0) T 它们正交，单位化： 1 1 ， 2 求 0的一个单位特征向量：A 得 AX0 的同解方程组 得一个解 1 (1，1，0) T ，单位化得 3
20、作正交矩阵 Q( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQ 作正交变换 XQY，则 f化为 Y 的二次型 f2y 1 2 2y 2 2 (3)f(X) 1 2 2 2 2 3 2 2 1 2 ( 1 2 ) 2 2 3 2 于是 f( 1 ， 2 ， 3 )0 求得通解为：c )解析：21.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX 在正交变换 XQY 下化为 10y 1 2 4y 2 2 4y 3 2 ，Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)Q 的第 1 列 1 是 A 的属于 10 的特征向量，其 倍 1 (1，2，3) T 也是属于 10 的特征向量于
21、是 A 的属于4 的特征向量和(1，2，3) T 正交，因此就是方程 1 2 2 3 3 0 的非零解求出此方程的一个正交基础解系 2 (2，1，0) T ， 3 (1，2， ) T 建立矩阵方程 A( 1 ， 2 ， 3 )(10 1 ，4 2 ，4 3 )，用初等变换法解得 A (2)将 2 ， 3 单位化得 2 (2，1，0) T ， 3 )解析：22.A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX 1 2 4 2 2 2 3 2 4 1 2 4 2 3 ( 1 2 2 ) 2 2 3 2 4 2 3 ( 1 2 2 ) 2 2( 2 3 ) 2
22、2 2 2 令 原二次型化为 f( 1 ， 2 ， 3 )y 1 2 2y 2 2 2y 3 2 从上面的公式反解得变换公式： 变换矩阵 P 则 P T AP )解析：23.已知 3 是矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 3 是 A 的特征值，所以A3E0求出A3E8(2)，于是2 (2)(AP) T APP T A 2 P因此，本题即要将 A 2 用合同变换化为对角矩阵 A 2 用配方法把对称矩阵 A 2 所对应的二次型标准化： f( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )X T A 2 X 1 2 2 2 5 3 2 5 4 2 8 3 4 1 2 2 2 5 作变量替
23、换 则 f( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )y 1 2 y 2 2 5y 3 2 y 4 2 即令 )解析：24.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 a 2 2 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 的正惯性指数为 2，a 应满足什么条件?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用其矩阵的特征值做f( 1 ， 2 ， 3 )的矩阵为 A 的特征值为 0 和 2 (a2)2a2的两个根于是 正惯性指数为 2 2 (a2)2a2的两个根都大于 0 )解析：25.设 A 是一个可逆实对称矩阵，记 A ij 是它的代数余子式二次型 f( 1 ， 2 ， n ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于 A 是实对称矩阵，它的代数余子式 A ij A ji )解析：26.判断 A 与 B 是否合同，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用惯性指数，看它们的正负惯性指数是否都一样B 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 1A 的惯性指数可通过对二次型 X T AX 进行配方法化标准形来计算 X T AX 1 2 4 2 2 2 3 2 4 1 2 4 2 3 ( 1 2 2 ) 2 2 3 2 4 2 3 ( 1 2 2 ) 2 2( 3 2 )2 2 2 ， 今 )解析：
