1、考研数学二（二次型）-试卷 4 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.二次型 T A 正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P -1 APEC.A 的特征值全大于零D.存在凡阶矩阵 C，使 AC T C3.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX，已知 r(A)2，并且 A 满足 A 2 2A0则下列各标准二次型中可用正交变换化为厂的是( ) (1)2y 1 2 2y 2 2 (2)2y 1 2 (3)2
2、y 1 2 2y 3 2 (4)2y 2 2 2y 3 2 （分数：2.00）A.(1)B.(3)，(4)C.(1)，(3)，(4)D.(2)4.设 （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似B.A 与 B 合同但不相似C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似5.设 （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似B.A 与 B 合同但不相似C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似6.A （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：3，分数：6.00)7.已知二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 c 3 2 2a 1 2 2
3、1 3 经正交变换化为标准形 y 1 2 2y 3 2 ，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设三元二次型 1 2 2 2 5 3 2 2t 1 2 2 1 3 4 2 3 是正定二次型，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_9.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )a 1 2 a 2 2 (a1) 3 2 2 1 3 2 2 3 求 f( 1 ， 2 ， 3 )的矩阵的特征值 如果 f( 1 ， 2 ， 3 )的规范形
4、为 y 1 2 y 2 2 ，求 a（分数：2.00）_12.a 为什么数时二次型 1 2 3 2 2 2 3 2 2a 2 3 可用可逆线性变量替换化为 2y 1 2 3y 2 2 5y 3 2 ?（分数：2.00）_13.已知 A 是正定矩阵，证明AE1（分数：2.00）_14.已知二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 4 2 2 4 3 2 2 1 2 2 1 3 4 2 3 当 满足什么条件时 f( 1 ， 2 ， 3 )正定?（分数：2.00）_15.已知二次型 f( 1 ， 2 ， n )( 1 a 1 2 )(a) 2 ( n a n 1 ) 2 a 1 ，a 2 ，a
5、n 满足什么条件时 f( 1 ， 2 ， n )正定?（分数：2.00）_16.设 A （分数：2.00）_17.设 A 和 B 都是 mn 实矩阵，满足 r(AB)n，证明 A T AB T B 正定（分数：2.00）_18.设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A 2 2A0，并且 r(A)2 (1)求 A 的特征值 (2)当实数 k 满足什么条件时 AkE 正定?（分数：2.00）_19.设 A，B 是两个 n 阶实对称矩阵，并且 A 正定证明： (1)存在可逆矩阵 P，使得 P T AP，P T BP 都是对角矩阵； (2)当充分小时，AB 仍是正定矩阵（分数：2.00）_20.设 C
6、，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵证明 C 正定 （分数：2.00）_21.设 D 是正定矩阵，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵记 P （分数：2.00）_22.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX 在正交变换 XQY 下化为 y 1 2 y 2 2 ，Q 的第 3 列为 （分数：2.00）_23.证明对于任何 mn 实矩阵 A，A T A 的负惯性指数为 0如果 A 秩为 n，则 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_24.如果 A 正定，则 A k ，A -1 ，A * 也都正定（分数：2.00）_25.设 A 是正定矩阵，B 是实对称矩阵，证明 AB 相似于对角矩
7、阵（分数：2.00）_26.设 A 是一个 n 阶实矩阵，使得 A T A 正定，证明 A 可逆（分数：2.00）_考研数学二（二次型）-试卷 4 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.二次型 T A 正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P -1 APEC.A 的特征值全大于零 D.存在凡阶矩阵 C，使 AC T C解析：3.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX，已知 r(A)2，并且 A 满足
8、 A 2 2A0则下列各标准二次型中可用正交变换化为厂的是( ) (1)2y 1 2 2y 2 2 (2)2y 1 2 (3)2y 1 2 2y 3 2 (4)2y 2 2 2y 3 2 （分数：2.00）A.(1)B.(3)，(4)C.(1)，(3)，(4) D.(2)解析：4.设 （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似 B.A 与 B 合同但不相似C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似解析：5.设 （分数：2.00）A.A 与 B 既合同又相似B.A 与 B 合同但不相似 C.A 与 B 不合同但相似D.A 与 B 既不合同又不相似解析：6.A （分数：2.0
9、0）A.B.C.D. 解析：二、填空题(总题数：3，分数：6.00)7.已知二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 c 3 2 2a 1 2 2 1 3 经正交变换化为标准形 y 1 2 2y 3 2 ，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：8.设三元二次型 1 2 2 2 5 3 2 2t 1 2 2 1 3 4 2 3 是正定二次型，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：( ）解析：9.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)10.
10、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )a 1 2 a 2 2 (a1) 3 2 2 1 3 2 2 3 求 f( 1 ， 2 ， 3 )的矩阵的特征值 如果 f( 1 ， 2 ， 3 )的规范形为 y 1 2 y 2 2 ，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f( 1 ， 2 ， 3 )的矩阵为 A 记 B )解析：12.a 为什么数时二次型 1 2 3 2 2 2 3 2 2a 2 3 可用可逆线性变量替换化为 2y 1 2 3y 2 2 5y 3 2 ?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：就是看
11、a 为什么数时它们的矩阵合同写出这两个二次型的矩阵 B 的特征值是 2 正 1 负又看出 1 是 A 的特征值，于是 A 的另两个特征值应该 1 正 1 负，即A0求得A6a 2 ，于是 a 满足的条件应该为： a 或 a )解析：13.已知 A 是正定矩阵，证明AE1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的特征值为 ，则 AE 的特征值为 1 1， 2 1， n 1 因为 A 正定，所以 0，11(i1，2，n)于是 AE( 1 1)( 2 1)( n 1)1)解析：14.已知二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 4 2 2 4 3 2 2 1 2 2 1 3 4 2 3
12、 当 满足什么条件时 f( 1 ， 2 ， 3 )正定?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用顺序主子式此二次型的矩阵 A )解析：15.已知二次型 f( 1 ， 2 ， n )( 1 a 1 2 )(a) 2 ( n a n 1 ) 2 a 1 ，a 2 ，a n 满足什么条件时 f( 1 ， 2 ， n )正定?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 y 1 1 a 1 2 ，y 2 2 a 2 3 ，y n n a n 1 ，则 )解析：16.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 是实对称矩阵，它可相似对角化，从而 B 也可相似对角化，并且以 B 的特征
13、值为对角线上元素的对角矩阵和 B 相似 求 B 的特征值： EA(2) 2 ，A 的特征值为0，2，2，于是 B 的特征值为 k 2 和(k2) 2 ，(k2) 2 令 D )解析：17.设 A 和 B 都是 mn 实矩阵，满足 r(AB)n，证明 A T AB T B 正定（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 A T A，B T B 都是 n 阶的实对称矩阵，从而 A T AB T B 也是 n 阶实对称矩阵 由于 r(AB)n，n 元齐次线性方程组(AB)X0 没有非零解于是，当 是一个非零 n 维实的列向量时，(AB)0，因此 A 与 B 不会全是零向量，从而 T (A T A
14、B T B) T A T A T B T BA 2 B 2 0根据定义，A T AB T B 正定)解析：18.设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A 2 2A0，并且 r(A)2 (1)求 A 的特征值 (2)当实数 k 满足什么条件时 AkE 正定?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 是实对称矩阵，所以 A 的特征值都是实数 假设 A 是 A 的一个特征值，则 2 2 是 A 2 2A 的特征值而 A 2 2A0，因此 2 20，故 0 或2又因为r(A0E)r(A)2，特征值 0 的重数为 3r(A0E)1，所以2 是 A 的二重特征值A 的特征值为0，2，2 (2
15、)AkE 的特征值为 k，k2，k2于是当 k2 时，实对称矩阵 AkE 的特征值全大于 0，从而 AkE 是正定矩阵当 k2 时，AkE 的特征值不全大于 0，此时 AkE 不正定)解析：19.设 A，B 是两个 n 阶实对称矩阵，并且 A 正定证明： (1)存在可逆矩阵 P，使得 P T AP，P T BP 都是对角矩阵； (2)当充分小时，AB 仍是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 正定，所以存在实可逆矩阵 P 1 ，使得 p 1 T AP 1 E作 B 1 P 1 T BP 1 ，则 B 1 仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵 Q，使得 Q T B 1 Q
16、 是对角矩阵令 PP 1 Q，则 P T APQ T P 1 T AP 1 QE，P T BPQ T P 1 T BP 1 QQ T B 1 Q因此 P 即所求 (2)设对(1)中求得的可逆矩阵 P，对角矩阵 P T BP 对角线上的元素依次为 1 ， 3 ， n ，记 Mmax 1 ， 2 ， n 则当1M 时，EP T BP 仍是实对角矩阵，且对角线上元素 1 i 0，i1，2，n于是 EP T BP 正定，P T (AB)PEP T BP，因此AB 也正定)解析：20.设 C ，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵证明 C 正定 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 C 是实对
17、称矩阵 A，B 都是实对称矩阵 E m+n C )解析：21.设 D 是正定矩阵，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵记 P （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)p T )DP )解析：22.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX 在正交变换 XQY 下化为 y 1 2 y 2 2 ，Q 的第 3 列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：条件说明 Q -1 AQQ T AQ 于是 A 的特征值为 1，1，0，并且 Q 的第 3列 (1，0，1) T 是 A 的特征值为。的特征向量记 1 (1，0，1) T ，它也是 A 的特征值为0 的特征向量 A 是实对称矩阵，
18、它的属于特征值 1 的特征向量都和 1 正交，即是方程式 1 3 0 的非零解 2 (1，0，1) T ， 3 (0，1，0) T 是此方程式的基础解系，它们是 A 的特征值为 1 的两个特征向量 建立矩阵方程 A( 1 ， 2 ， 3 )(0， 2 ， 3 )， 两边做转置，得 解此矩阵方程 )解析：23.证明对于任何 mn 实矩阵 A，A T A 的负惯性指数为 0如果 A 秩为 n，则 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是 A 的一个特征值， 是属于它的一个特征向量，即有 A T A，于是 T A T A T ，即(A，A)(，)则 (A，A)(，)0
19、如果 A秩为 n，则 AX0 没有非零解，从而 A0，(A，A)0，因此 (A，A)(，)0)解析：24.如果 A 正定，则 A k ，A -1 ，A * 也都正定（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：从特征值看 设 A 的特征值为 1 ， 2 ， n i 0，i1，2，n 则 A k 的特征值为 1 k ， 2 k ， n k i k 0，i1，2，n 设 A -1 的特征值为 1 -1 ， 2 -1 ， n -1 i -1 0，i1，2，n 设 A * 的特征值为A 1 ，A 2 ，A n A i 0，i1，2，n)解析：25.设 A 是正定矩阵，B 是实对称矩阵，证明 AB 相似于对
20、角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 是正定矩阵，存在可逆实矩阵 C，使得 ACC T ，则 ABCC T B于是 C -1 ABCC -1 CC T BCC T BC 即 AB 相似于 C T BC而 C T BC 是实对称矩阵，相似于对角矩阵由相似的传递性，AB 也相似于对角矩阵)解析：26.设 A 是一个 n 阶实矩阵，使得 A T A 正定，证明 A 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵可逆，有好几个充分必要条件，本题从哪个条件着手呢?行列式不好用，虽然A T A 正定可得A T A0，但是由此不能推出A0用秩也不好下手用“AX0 没有非零解”则切合条件 设 n 维实列向量 满足 A0，要证明 0 (A T A) T A T T A(A) T T A0 由 A T A 的正定性得到 0)解析：
