1、考研数学二（二次型）-试卷 6 及答案解析(总分：98.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似3.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似4.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.AB=BAB.存在可逆阵 B，使 P 一 1 AP=BC.存在可逆阵 C，使 C T AC=BD.存在可逆阵 P 和 Q，使 PAQ=B二
2、、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 -6x 2 x 3 的秩为 2，则常数 c= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 1 x 2 +2x 2 x 3 ，则 f 的惯性指数为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.
3、已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a(x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 )+4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 经正交变换 x=Py 可化成标准形 f=6y 1 2 ，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +tx 2 x 3 正定，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：80.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x
4、 2 2 -3x 3 2 +4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2 x 3 （分数：4.00）(1).写出二次型 f 的矩阵表达式；（分数：2.00）_(2).用正交变换把二次型 f 化为标准形，并求出相应的正交矩阵（分数：2.00）_11.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (a0)，通过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求参数 a 及所用的正交变换的矩阵（分数：2.00）_12.设二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 2
5、x 3 +2x 1 x 3 经正交变换 x=Py 化成产 f=y 2 2 +2y 3 2 ，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 和 y=(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T 都是 3 维列向量，P 是 3 阶正交矩阵.试求常数 ，（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=ax 1 2 +2x 2 2 一 2x 3 2 +2bx 1 x 3 (b0)，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12（分数：4.00）(1).求 a，b 的值；（分数：2.00）_(2).利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的
6、正交矩阵（分数：2.00）_设矩阵 （分数：4.00）(1).已知 A 的一个特征值为 3试求 y；（分数：2.00）_(2).求矩阵 P，使(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：2.00）_已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的矩阵 A 满足 tr(A)=一 6AB=C，其中 （分数：6.00）(1).用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；（分数：2.00）_(2).指出方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种曲面；（分数：2.00）_(3).求出该二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )（分数：2.00）_已知二次型 f(x 1
7、，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Oy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第 3 列为 （分数：4.00）(1).求矩阵 A；（分数：2.00）_(2).证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：2.00）_13.设 3 元实二次型 f(x)=x T Ax 经正交变换 x=Cy 化成 f(x)=y 1 2 +y 2 2 （分数：2.00）_设实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=xA T x 的秩为 2，且 1 =(1，0，0) T 是(A 一 2E)x=0 的解， 2 =(0，一 1，1) T 是(A 一 6E)x=0 的解（
8、分数：6.00）(1).用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；（分数：2.00）_(2).写出该二次型；（分数：2.00）_(3).求方程组 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：2.00）_14.设矩阵 （分数：2.00）_设 A 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件 A 2 +2A=O已知 A 的秩 r(A)=2（分数：4.00）(1).求 A 的全部特征值；（分数：2.00）_(2).当 k 为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：2.00）_15.设有 n 元二次型 f(x 1 ,x 2 ,x n )=(x 1
9、+a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 ，其中 a i (i=1，2，n)为实数试问当 a 1 ，a 2 ，a n 满足何种条件时，二次型 f(x 1 ,x 2 ,x n )为正定二次型（分数：2.00）_设 A 为 n 阶实对称矩阵，r(A)=n，A ij 是 A=(a ij ) nm 中元素 a ij 的代数余子式(i,j=1，2，n)，二次型 （分数：4.00）(1).记 x=(x 1 ,x 2 ,x n ) T ，把 f(x 1 ,x 2 ,x n )写成矩阵形式，并证明二次型 f(x)的矩阵为 A 一 1 ；（分数：2.0
10、0）_(2).二次型 g(x)=x T Ax 与 f(x)的规范形是否相同?说明理由（分数：2.00）_16.设 A 为 mxn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，已知矩阵 B=E+A T A，试证当 0 时矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_17.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_18.设 A，B 分别为 m 阶，n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).计算 P T DP，其中 （分数：2.00）_(2).利
11、用(1)的结果判断矩阵 B 一 C T A 一 1 C 是否为正定矩阵，并证明你的结论（分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a)x 1 2 +(1 一 a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2（分数：6.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形；（分数：2.00）_(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：2.00）_已知齐次线性方程组 有非零解，且 （分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).
12、求 x T x=1，x T Ax 的最大值和最小值（分数：2.00）_设有 3 阶实对称矩阵 A 满足 A 3 -6A 2 +11A 一 6E=0，且A=6（分数：4.00）(1).写出用正交变换将二次型 f=x T (A+E)x 化成的标准形(不需求出所用的正交变换)；（分数：2.00）_(2).判断二次型 f=x T (A+E)x 的正定性（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) =2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ，记 （分数：4.00）(1).证明二次型 f 对应的矩阵
13、为 2 T + T ；（分数：2.00）_(2).若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 （分数：2.00）_设 3 元的实二次型 f=x T Ax 的秩为 1，且 A 的各行元素之和为 3（分数：6.00）(1).求一个正交变换 x=Py 将二次型 f=x T Ax 化成标准；（分数：2.00）_(2).写出该二次型；（分数：2.00）_(3).求 （分数：2.00）_考研数学二（二次型）-试卷 6 答案解析(总分：98.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
14、目要求。（分数：2.00）_解析：2.设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似 C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似解析：解析：本题考查实对称矩阵相似、合同的概念以及判断的方法 事实上，两个同阶实对称矩阵相似的充要条件是，它们有相同的特征值及对应的重数；而两个同阶实对称矩阵合同的充要条件是，它们有相同的秩和相同的正惯性指数 由此可知相似的实对称矩阵必合同 所以选项 C 肯定错为判别其他选项，求矩阵 A 的特征值即可 因为3.设 （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似解析：解析：本题考查实对称矩阵相似、合同的判定所用的知识点是
15、：任给实对称矩阵 A，总存在正交矩阵 Q，使得 Q 一 1 AQ=Q T AQ=A其中对角矩阵 A 主对角线上的元素是 A 的特征值；Q 是正交矩阵 4.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.AB=BAB.存在可逆阵 B，使 P 一 1 AP=BC.存在可逆阵 C，使 C T AC=BD.存在可逆阵 P 和 Q，使 PAQ=B 解析：解析：本题主要考查的知识点为矩阵相似、合同、等价、交换等概念用排除法解此题矩阵的乘法不满足交换律事实上，令二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x
16、3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：本题考查二次型的秩的概念及矩阵秩的求法 二次型 f(x)=x T Ax 的秩为 rA由于 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) =2x 1 2 +2x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 的矩阵为 对 A 施以初等变换得 6.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 -6x 2 x 3 的秩为 2，则常数 c= 1（分数：2.00）填空项
17、1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：本题考查二次型秩的概念及当矩阵的秩小于矩阵的阶数时其行列式为零由于二次型 f 的矩阵为7.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 1 x 2 +2x 2 x 3 ，则 f 的惯性指数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：用配方法把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形，或求出特征值，正特征值个数即为正惯性指数 利用配方法化二次型为标准形f=x 1 2 +2x 1 x 2 +2x 2 x 3 =x 1 2 +2x 1 x 2 +x 2 2 一(x 2 2 一2x 2 x 3 )
18、 =(x 1 +x 2 ) 2 一(x 2 一 x 3 ) 2 +x 3 2 =y 1 2 一 y 2 2 +y 3 2 ，其中 y 1 =x 1 +x 2 ，y 2 =x 2 一 x 3 ，y 3 =x 3 ，即 8.已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a(x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 )+4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 经正交变换 x=Py 可化成标准形 f=6y 1 2 ，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：本题考查二次型对应的对称矩阵 A 的特征值与二次型的标准形 f=6y 1 2 的系数
19、之间的关系 注意二次型经正交变换化成的标准形的系数是二次型对应的对称矩阵 A 的特征值，并且 A 的特征值的和等于 A 的迹 trA 由于二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a(x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 )+4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 的矩阵 9.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +tx 2 x 3 正定，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查正定二次型的判定方法注意正定二次型对应的对称矩阵 A 是正定矩
20、阵A 是正定矩阵 A 的各阶顺序主子式全为正由于二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +tx 2 x 3 的矩阵 三、解答题(总题数：23，分数：80.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 -3x 3 2 +4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2 x 3 （分数：4.00）(1).写出二次型 f 的矩阵表达式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f 的矩阵表达式为 )解析：(2).用正交变换把二次型 f 化为标准形
21、，并求出相应的正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 由此得矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =6， 3 =一 6于是，二次型 f 可通过正交变换 x=Oy 化为标准形 f=y 1 2 +6y 2 2 6y 3 2 对于特征值 1 =1，由于 故对应于特征值 1 =1 的特征向量可取为 1 =(2，0，一 1) T 类似地，对应于特征值 1 =6， 2 =-6 的特征向量可分别取为 2 =(1，5，2) T ， 3 =(1，一 1，2) T 因为 A是实对称矩阵，且 1 ， 2 ， 3 互异，故 x 1 ，x 2 ，x 3 构成正交向量组，将其单位化得
22、故对二次型 f 作正交变换 )解析：解析：本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，矩阵特征值、特征向量的求法先求出二次型 f 的矩阵 A 及 A 的特征值与特征向量，再将特征向量正交单位化，求出正交矩阵，即可把 f 化为标准形11.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (a0)，通过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求参数 a 及所用的正交变换的矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f 及标准形的矩阵分别为 由于 A 与 B 相似，有A=B，即a=2 因 a0
23、，故 a=2，于是 属于特征值 1 =1， 2 =2 3 =5 的特征向量分别为 这 3 个特征向量已互相正交，再单位化，得 故所用的正交变换的矩阵为 )解析：解析：本题主要考查如何用正交变换化二次型为标准形，矩阵特征值、特征向量的求法利用二次型在正交变换下的不变量求出 a 的值，然后用常规方法求出正交矩阵12.设二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 2 x 3 +2x 1 x 3 经正交变换 x=Py 化成产 f=y 2 2 +2y 3 2 ，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 和 y=(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T 都是 3 维
24、列向量，P 是 3 阶正交矩阵.试求常数 ，（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵为 因为 P 为正交矩阵，所以 即 A与 B 相似，故 A 与 B 有相同的特征值 1 =0， 2 =1， 3 =2，这些特征值满足E 一 A=0 当 1 =0，则 )解析：解析：本题主要考查二次型在正交变换下的不变量令二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵为 A，由标准形 f=y 2 2 +2y 3 2 ，知 A 的特征值为 0，1，2，代入 A 的特征方程，求得 ，设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=ax 1 2 +2x 2
25、 2 一 2x 3 2 +2bx 1 x 3 (b0)，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12（分数：4.00）(1).求 a，b 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f 的矩阵为 设 A 的特征值为 i (i=1，2，3)由题设，有 1 + 2 + 3 =+2+(一 2)=1， )解析：(2).利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由矩阵 A 的特征多项式 得 A 的特征值 1 = 2 =2， 3 =一 3对于 1 = 2 =2，解齐次线性方程组(2E 一 A)x=0，得其
26、基础解系 1 =(2，0，1) T ， 2 =(0，1，0) T 对于 3 =一 3，解齐次线性方程组(一 3E 一 A)x=0，得基础解系 3 =(1，0，一 2) T 由于 1 ， 2 ， 3 已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将 1 ， 2 ， 3 单位化，由此得 令矩阵 则 Q 为正交矩阵，在正交变换 x=Qy 下，有 )解析：解析：本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，特征值与特征向量的计算与性质首先写出二次型 f 的矩阵 A，利用特征值与行列式、迹之间的关系，求出 a，b 的值此时该题成为一道常规题了设矩阵 （分数：4.00）(1).已知 A 的一个特征值为 3试求
27、 y；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由拉普拉斯展开定理，得 )解析：(2).求矩阵 P，使(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意到(AP) T (AP)=P T A 2 P，其中 矩阵 A 2 的特征方程为EA 2 =(1 一 ) 3 (9 一 )=0，解得 A 3 的特征值为 1 = 2 = 3 =1， 4 =9 再分别求出对应于它们的特征向量： 这 4 个特征向量已经互相正交，再单位化，得 )解析：解析：本题主要考查特征值、特征向量的概念与求法，用正交变换把实对称矩阵化为对角矩阵的方法.行列式的计算将 =3 代入方程EA=0，求出 y 的
28、值，然后求出 A T A，利用常规方法求正交矩阵 P，使 P T (A T A)P 为对角矩阵已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的矩阵 A 满足 tr(A)=一 6AB=C，其中 （分数：6.00）(1).用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 AB=C，得 由此知 1 =0， 3 =一 12 是 A 的特征值， 1 =(1，2，1) T ， 2 =(1，一 1，1) T 分别是对应的特征向量设 A 的第 3 个特征值为 3 ，由 1 + 2 + 3 =tr(A)=一 6，得 3 =6，再设 A 的对应
29、于 3 =6 的特征向量为 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则由 1 ， 2 ， 3 互异，有 解得 3 =(一 1，0，1) T 将 1 , 2 , 3 单位化得 )解析：(2).指出方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种曲面；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)知 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 的标准方程为一 12y 2 2 +6y 2 2 =1，故 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示双曲柱面)解析：(3).求出该二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)可得 )解析：解析：本
30、题考查抽象二次型化标准形，由矩阵的运算关系和 A 的迹求出 A 的特征值与特征向量，写出二次型的标准形，由此确定二次曲面再由方阵对角化的逆问题求出矩阵 A，从而求出原二次型已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Oy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第 3 列为 （分数：4.00）(1).求矩阵 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 A 的特征值为 1，1，0 且 =(1，0，1) T 是属于 A 的特征值 0 对应的一个特征向量设 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为 A 的属于特征值 1 的特征向量，由于
31、A 的不同的特征值所对应的特征向量正交，所以有(x，)=0，即 x 1 +x 3 =0，解该方程组的基础解系 1 =(1，0，一 1) T ， 2 =(0，1，0) T ，将其单位化，并将其取为 A 的属于特征值 1 对应的正交单位的特征向量， )解析：(2).证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)知 A 的特征值为 1，1，0，于是 A+E 的特征值为 2,2，1，又 A+E 为实对称矩阵，故 A+E 为正定矩阵)解析：解析：本题考查抽象二次型化标准形的逆问题，由正交变换下的标准形与二次型对应的矩阵 A 的特征值的关系，求 A再由正定矩阵的定义判定 A+E 的正定性13.设 3 元实二次型 f(x)=x T Ax 经正交变换 x=Cy 化成 f(x)=y 1 2 +y 2 2 （分数：2.00）_
