1、考研数学二（二次型）-试卷 5 及答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似3.下列二次型中是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.f 1 =(x 1 一 x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 一 x 1 ) 2 B.f 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 C.f 3 =(x
2、 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 一 x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 ) 2 D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 ) 2 4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对换得到 C，则 A 与 C( )（分数：2.00）A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价，合同且相似5.下列矩阵中，正定矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C.D.6.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分
3、数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P 使 P 一 1 AP=EC.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 一 1 CD.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同7.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.n 元实二次型正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.该二次型的秩=nB.该二次型的负惯性指数=nC.该二次型的正惯性指数=官的秩D.该二次型的正惯性指数=n9.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 为正定的是( )（分数：2.00）A.A 一 1 正定B.A 没有负的特征值C.A 的正惯性指数等于 nD.A 合同于单位阵
4、10.关于二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 ，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为 1D.其秩为 211.设 f=X T AX，g=X T BX 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.X T (A+B)XB.X T A 一 1 XC.X T B 一 1 XD.X T ABX12.设 A，B 为正定阵，则( )（分数：2.00）A.AB，A+B 都正定B.AB 正定，A+B 非正定C.AB 非正定，A+B
5、正定D.AB 不一定正定，A+B 正定13.实对称矩阵 A 的秩等于 r，它有 t 个正特征值，则它的符号差为( )（分数：2.00）A.rB.t 一 rC.2t 一 rD.r 一 t14.f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 一 2x 1 x 2 +4x 3 2 对应的矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)15.设 f=x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2ax 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x
6、 3 )=x T Ax=2x 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 +8x 2 x 3 4x 1 x 3 的规范形是 1（分数：2.00）填空项 1:_17.若二次曲面的方程为 x 2 +3y 2 +x 2 +2axy+2xz+2yx=4，经正交变换化为 y 1 2 +4z 1 2 =4，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 （分数：2.00）填空项 1:_19.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=x 3 2 +4x 4 2 +2x 1 x 2 +4x 3 x 4 的规范形是 1（分数：2.00）填空项 1:_20.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3
7、)=ax 1 2 +4x 2 2 +ax 3 2 +6x 1 x 2 +2x 2 x 3 是正定的，则 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A 一 6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=一 aE+A T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1.（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：42.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_f(x 1 ，x 2 ，x 3 )
8、=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的秩为 2（分数：4.00）(1).求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值；（分数：2.00）_(2).指出方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种二次曲面（分数：2.00）_24.n 阶对称矩阵的全体 V 对于矩阵的线性运算构成一个 （分数：2.00）_25.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_写出下列二次型的矩阵：（分数：4.00）(1).
9、（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_26.设二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 3y 1 2 +3y 2 2 +6y 3 2 ，求 a，b 的值及所用正交变换（分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a)x 1 2 +(1a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2（分数：6.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形；（分数：2.00）_(3)
10、.求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).计算 P T DP，其中 （分数：2.00）_(2).利用(1)的结果判断矩阵 BC T A 一 1 C 是否为正定矩阵，并证明结论（分数：2.00）_27.设矩阵 （分数：2.00）_28.求一个正交变换把二次曲面的方程 3x 2 +5y 2 +5z 2 +4xy 一 4xz10yz=1 化成标准方程（分数：2.00）_29.证明对称阵 A 为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵 U，使 A=U T U，即 A 与单位阵 E 合同（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3
11、)=ax 1 2 +ax 2 2 +(a 一 1)x 3 2 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 （分数：4.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（分数：2.00）_(2).若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a 的值（分数：2.00）_已知 （分数：4.00）(1).求实数 a 的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy，将 f 化为标准形（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ，设 （分数：
12、4.00）(1).证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T ；（分数：2.00）_(2).若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y 2 2 +y 2 2（分数：2.00）_考研数学二（二次型）-试卷 5 答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似 C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似解析：解析：由EA=0，得矩阵 A 的特征值为 0，3，3同理可知矩阵 B 的
13、特征值为 0，1，1，因此矩阵 A 与 B 不相似又 r(A)=r(B)=2，且矩阵 A、B 有相同的正惯性指数，因此矩阵 A 与 B 合同故选B3.下列二次型中是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.f 1 =(x 1 一 x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 一 x 1 ) 2 B.f 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 一 x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 ) 2 D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x
14、2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 ) 2 解析：解析：由定义 f=x T Ax 正定 4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对换得到 C，则 A 与 C( )（分数：2.00）A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价，合同且相似 解析：解析：对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等阵表示，由题设 AE ij =B，E ij B=C，故 C=E ij B=E ij AE ij 因 E ij =E ij T =E ij 一 1 ，故 C=E ij AE ij =E ij 一
15、1 AE ij =E ij T AE ij ，故即AC，CA 且 CA，故应选 D5.下列矩阵中，正定矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：二次型正定的必要条件是：a ij 0在选项 D 中，由于 a 33 =0，易知 f(0，0，1)=0，与X0，X T AX0 相矛盾因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，2 阶主子式 6.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P 使 P 一 1 AP=EC.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 一 1 CD.A 的伴随矩阵
16、 A * 与 E 合同 解析：解析：选项 A 是必要不充分条件这是因为 r(f)=p+qn，当 q=0 时，有 r(f)=pn此时有可能pn，故二次型 x T Ax 不一定是正定二次型因此矩阵 A 不一定是正定矩阵例如 f( 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 3 2 选项 B 是充分不必要条件 这是因为 P 一 1 AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是 1，此时 A 是正定的 但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的 选项 C中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=C T C 不能说 A 与 E 合同，也就没有 A 是正
17、定矩阵的结论例如 显然矩阵不正定关于选项 D，由于 A 正定 正定 A * 正定 7.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为8.n 元实二次型正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.该二次型的秩=nB.该二次型的负惯性指数=nC.该二次型的正惯性指数=官的秩D.该二次型的正惯性指数=n 解析：解析：二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数=n9.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 为正定的是( )（分数：2.00）A.A 一 1 正定B.A 没有负的特征值 C.A 的正惯性指数等于 nD.A 合同于单位阵解析：解析：A 一 1 正
18、定表明存在可逆矩阵 C，使 C T A 一 1 C=I n 两边求逆得到 C 一 1 A(C T ) 一 1 =C 一 1 A(C 一 1 ) T =I n 即 A 合同于 I n ，A 正定，因此不应选 AD 是 A 正定的定义，也不是正确的选择C表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵由排除法，故选 B事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数10.关于二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 ，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.是正定
19、的B.其矩阵可逆C.其秩为 1 D.其秩为 2解析：解析：二次型的矩阵11.设 f=X T AX，g=X T BX 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.X T (A+B)XB.X T A 一 1 XC.X T B 一 1 XD.X T ABX 解析：解析：因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的 n 个特征值 1 ， 2 ， n 都大于零，A0，设 AP j = j P j ，则 ，A 一 1 的 n 个特征值 12.设 A，B 为正定阵，则( )（分数：2.00）A.AB，A+B 都正定B.AB 正定，A+B 非正定C.AB 非正
20、定，A+B 正定D.AB 不一定正定，A+B 正定 解析：解析：由于 A、B 正定，所以对任何元素不全为零的向量 X 永远有 X T AX0，同时 X T BX0因此 A+B 正定，AB 不一定正定，AB 甚至可能不是对称阵13.实对称矩阵 A 的秩等于 r，它有 t 个正特征值，则它的符号差为( )（分数：2.00）A.rB.t 一 rC.2t 一 r D.r 一 t解析：解析：A 的正惯性指数为 t，负惯性指数为 rt，因此符号差等于 2t 一 r14.f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 一 2x 1 x 2 +4x 3 2 对应的矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C. D
21、.解析：解析：x 1 ，x 2 ，x 3 平方项系数对应主对角线元素：1，0，4，x 1 x 2 系数的一 2 对应 a 12 和 a 21 系数的和，且 a 12 =a 21 ，故 a 12 =一 1，a 21 =一 1因此选 C二、填空题(总题数：8，分数：16.00)15.设 f=x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2ax 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二次型的矩阵为 其各阶主子式为 因为 f 为正定二次型，所以必有 1a 2 0且一 a(5a+4
22、)0，因此 故当 16.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=2x 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 +8x 2 x 3 4x 1 x 3 的规范形是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z 1 2 +z 2 2 一 z 3 2）解析：解析：按照定义，二次型的矩阵 ，由特征多项式 17.若二次曲面的方程为 x 2 +3y 2 +x 2 +2axy+2xz+2yx=4，经正交变换化为 y 1 2 +4z 1 2 =4，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：本题等价于将二次型 f(x，y，z)=x 2 +
23、3y 2 +z 2 +2axy+2xz+2z 经正交变换后化为了 f=y 1 2 +4z 1 2 由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为 1，4，0由于矩阵的行列式值是对应特征值的乘积，且该二次型的矩阵为 18.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式19.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=x 3 2 +4x 4 2 +2x 1 x 2 +4x 3 x 4 的规范形是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 +y 2 2 一 y 3 2）解析：解析：二次型的矩阵 20
24、.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +4x 2 2 +ax 3 2 +6x 1 x 2 +2x 2 x 3 是正定的，则 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二次型 f 的矩阵为 因为 f 是正定的，因此矩阵 A 的顺序主子式全部大于零，于是有解以上不等式，并取交集得21.设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A 一 6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k2）解析：解析：根据题设条件，则有 A 3 一 2A 2 一 5
25、A+6E=O，设 A 有特征值 ，则 满足条件 3 一2 2 一 5+6=0，将其因式分解可得 3 一 2 2 一 5+6=( 一 1)(+2)( 一 3)=0，因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，一 2，3，故 kE+A 的特征值分别为 k+1，k 一 2，k+3，且当 k2 时，kE+A 的特征值均为正数故 k222.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=一 aE+A T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a0）解析：解析：B T =(一 aE+A T A) T =一 aE+A T A=B，故 B 是一个对称
26、矩阵B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0，都有 x T Bx=x T (一 aE+A T A)x=一 ax T x+x T A T Ax=一 ax T x+(Ax) T Ax0，其中(Ax) T (Ax)0，x T x0，因此 a 的取值范围是一 a0，即 a0三、解答题(总题数：14，分数：42.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的秩为 2（分数：4.00）(1).求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值；（分数：2.
27、00）_正确答案：(正确答案：二次型对应的矩阵为 由二次型的秩为 2，因此A=0，由此解得 c=3，容易验证，此时 A 的秩为 2 又因 )解析：(2).指出方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种二次曲面（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由特征值可知 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示椭球柱面)解析：24.n 阶对称矩阵的全体 V 对于矩阵的线性运算构成一个 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A，BV，那么有 A T =A，B T =B，则TA T =(P T AP) T =P T (P T A) T =P T AP=TA 因此 TAV.又因 T(
28、A+B)=P T (A+B)P=P T AP+P T BP=TA=+TA；T(kA)=P T (kA)P=kP T AP=kTA 由线性变换的定义可知，合同变换 T 是 V 中的线性变换)解析：25.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设 B T AB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的 n 维实列向量 x0，有 x T (B T AB)x0，即(Bx) T A(Bx)0于是，Bx0因此，Bx=0 只有零解，故有 r(B)=n.充分性：因
29、(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，故 B T AB 为实对称矩阵若 r(B)=n，则线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量 x0，有 Bx0又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx) T A(Bx)0于是当 x0，有 x T (B T AB)x=(Bx) T A(Bx)0，故 B T AB 为正定矩阵)解析：写出下列二次型的矩阵：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题干可知： )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题干可知： )解析：26.设二次型 x 1 2 +x
30、2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 3y 1 2 +3y 2 2 +6y 3 2 ，求 a，b 的值及所用正交变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型及其标准形的矩阵分别是 由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B不仅合同而且相似那么有 1+1+1=3+3+b 得 b=一 3对 =3，则有 由(3EA)x=0，得特征向量 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，一 1) T 对 =一 3，由(一 3EA)x=0，得特征向量 3 =(1，1，1) T 因为 =3 是二重特征值，对 1 ， 2 正交化有 )解析
31、：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a)x 1 2 +(1a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2（分数：6.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 二次型的秩为 2，则二次型矩阵 A 的秩也为 2，从而 )解析：(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)中结论 a=0，则 由特征多项式 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =2， 3 =0当 =2，由(2EA)x=0，系数矩阵 得特征向量 1 =(1，1，0)
32、T ， 2 =(0，0，1) T 当 =0，由(0EA)x=0，系数矩阵 得特征向量 3 =(1，一 1，0) T 容易看出 1 , 2 , 3 已两两正交，故只需将它们单位化： 那么令 )解析：(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +2x 3 2 =0，得 )解析：设 （分数：4.00）(1).计算 P T DP，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).利用(1)的结果判断
33、矩阵 BC T A 一 1 C 是否为正定矩阵，并证明结论（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)中结果知，矩阵 D 与矩阵 合同，又因 D 是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 B 一 C T A 一 1 C 是对称矩阵对 m 维向量 X=(0，0，0) T 和任意 n 维非零向量 y=(y 1 ，y 2 ，y n ) T 0，都有 )解析：27.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 是 A 的特征值，故3EA=8(3 一 y 一 1)=0，解得 y=2于是 由于 A T =A，要(AP) T (AP)=P T A 2 P=A，
34、而 是对称矩阵，即要 A 2 A，故可构造二次型 x T A 2 x，再化其为标准形，由配方法，有 )解析：28.求一个正交变换把二次曲面的方程 3x 2 +5y 2 +5z 2 +4xy 一 4xz10yz=1 化成标准方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记二次曲面为 f=1，则 f 为二次型，二次型的矩阵为 )解析：29.证明对称阵 A 为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵 U，使 A=U T U，即 A 与单位阵 E 合同（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：因为对称阵 A 为正定的，所以存在正交矩阵 P 使 P T AP=diag( 1 ， 2 ， n )=A，即
35、 A=PAP T ，其中 1 ， 2 ， n 为 A 的全部特征值，A 是正定矩阵， 1 ， 2 ， n 均为正数 令 )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +(a 一 1)x 3 2 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 （分数：4.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 则有 )解析：(2).若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，说明有两个特征值为正，一个为 0则由于 a 一2aa+1，所以 a2=0，即 a=2)解析：已知 （分数：4.00）(1).求实数 a 的值；（分数：2.00）_正确答
