1、考研数学二（二次型）-试卷 2 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知实二次型=(a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ) 2 +(a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ) 2 +(a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ) 2 正定，矩阵 A=(a ij ) 33 ，则( )（分数：2.00）A.A 是正定矩阵。B.A 是可逆矩阵。C.A 是不可逆矩阵。D.以上结论都不对。3.设 f=x T
2、 Ax，g=x T Bx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.x T (A+B)x。B.x T A 一 1 x。C.x T B 一 1 x。D.x T ABx。4.设 A，B 均为 n 阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.A 一 1 +B 一 1 。B.AB。C.A * +B * 。D.2A+3B。5.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是( )（分数：2.00）A.A 一 1 正定。B.A 没有负的特征值。C.A 的正惯性指数等于 n。D.A 合同于单位矩阵。二、解答题(总题数：15，分数：44.00)6
3、.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_7.已知三元二次型 f=x T Ax 的秩为 2，且 （分数：2.00）_8.设矩阵 （分数：2.00）_设二次 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=xAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y 1 +y 2 ，且 Q 的第三列为 （分数：4.00）(1).求 A；（分数：2.00）_(2).证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。（分数：2.00）_已知 （分数：4.00）(1).求实数 a 的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3
4、)=ax 1 2 +ax 2 2 +(a 一 1)x 3 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（分数：2.00）_(2).若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a 的值。（分数：2.00）_9.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_10.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n。（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).计算 P T DP，其中 （分
5、数：2.00）_(2).利用的结果判断矩阵 B 一 C T A 一 1 C 是否为正定矩阵，并证明结论。（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ，记 （分数：4.00）(1).证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T ；（分数：2.00）_(2).若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 。（分数：2.00）_11.用正交变换将二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 一 2x
6、 2 2 一 2x 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +8x 3 x 3 化为标准形，并给出所施行的正交变换。（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2ax 2 x 3 通过正交变换化为标准形 2y 1 2 +2y 2 2 +6y 3 2 。（分数：4.00）(1).求常数 a，b 及所用的正交变换矩阵 Q；（分数：2.00）_(2).求 f 在 x T x=3 下的最大值。（分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 一 3x 3 2
7、 +4x 1 x 2 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).写出二次型 f 的矩阵表达式；（分数：2.00）_(2).用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=3x 1 2 +3x 2 2 +5x 3 2 +4x 1 x 3 4x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).写出二次型的矩阵表达式；（分数：2.00）_(2).求正交矩阵 P，作变换 x=Py 将二次型化为标准形。（分数：2.00）_12.对 n 元实二次型 f=x T Ax，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T
8、。试证:f 在条件 x 1 2 +x 2 2 +x=1下的最大值恰好为矩阵 A 的最大特征值。（分数：2.00）_考研数学二（二次型）-试卷 2 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知实二次型=(a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ) 2 +(a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ) 2 +(a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ) 2 正定，矩阵 A=(a ij ) 33 ，则( )
9、（分数：2.00）A.A 是正定矩阵。B.A 是可逆矩阵。 C.A 是不可逆矩阵。D.以上结论都不对。解析：解析：f=(a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ) 2 +(a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ) 2 +(a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ) 2 =x T A T Ax=(Ax) T (Ax)。因为实二次型 f 正定，所以对任意 x0,f0 的充要条件是 Ax0，即齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，故 A 是可逆矩阵。所以选 B。3.设 f=x T Ax，g=x T Bx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定
10、二次型的是( )（分数：2.00）A.x T (A+B)x。B.x T A 一 1 x。C.x T B 一 1 x。D.x T ABx。 解析：解析：因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的 n 个特征值 1 ， 2 ， n 都大于零。设 AP j = j P j ，则 ，A 一 1 的 n 个特征值 4.设 A，B 均为 n 阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.A 一 1 +B 一 1 。B.AB。 C.A * +B * 。D.2A+3B。解析：解析：A，B 为正定矩阵，则 A 一 1 ，B 一 1 仍是正定矩阵，故 A 一 1 +B 一
11、 1 也是正定矩阵。类似地，选项 C、D 中的矩阵均为正定矩阵。故应选 B。事实上，由于(AB) T =B T A T =BA，但 AB=BA 不一定成立，故 AB 不一定是正定矩阵。5.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是( )（分数：2.00）A.A 一 1 正定。B.A 没有负的特征值。 C.A 的正惯性指数等于 n。D.A 合同于单位矩阵。解析：解析：A 一 1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 C T A 一 1 C=E，两边求逆得到 C 一 1 A(C T ) 一 1 =C 一 1 A(C 一 1 ) T =E，即 A 合同于 E，A 正定，因此不应选 A。 D 选项是 A
12、正定的定义，也不是正确的选择。 C 选项表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵。由排除法，故选 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。二、解答题(总题数：15，分数：44.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：7.已知三元二次型 f=x T Ax 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 x T Ax 的秩为 2，即 r(A)=2，所以 =0 是 A 的特征值。 所以 3 是A 的特征值，(1，2，1) T 是与 3 对应的特征向量；一 1 也是 A 的特征值，(1，一 1，1) T 是
13、与一 1 对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设 =0 的特征向量是(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 由方程组 解出 =0 的特征向量是(1，0，一 1) T 。 )解析：8.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 是 A 的特征值，故3EA=8(3 一 y 一 1)=0，解得 y=2。 于是 由于 A T =A，要(AP) T (AP)=P T A 2 P=A，而 是对称矩阵，即要 A 2 A，故可构造二次型 x T A 2 x，再化其为标准形。由配方法，有 x T A 2 x=x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +5x 4 2
14、+8x 4 x 4 =y 1 2 + 2 2 +5y 3 2 + y 4 2 ，其中 y 1 =x 1 ，y 2 =x 2 , ，y 4 =x 4 ，即 )解析：设二次 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=xAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y 1 +y 2 ，且 Q 的第三列为 （分数：4.00）(1).求 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知 Q T AQ=A，其中 ，则 A=QAQ T ，设 Q 的其他任一列向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 。因为 Q 为正交矩阵，所以 即 x 1 +x 3 =0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 1 =(一 1
15、，0，1) T ， 2 =(0，1，0) T .把 1 单位化得 ，所以 )解析：(2).证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明：因为(A+E) T =A T +E=A+E，所以 A+层为实对称矩阵。又因为 A 的特征值为1，1，0，所以 A+E 特征值为 2，2，1，都大于 0，因此 A+E 为正定矩阵。)解析：已知 （分数：4.00）(1).求实数 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 r(A T A)=2 可得 )解析：(2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
16、：由(I)中结果，令矩阵 解得矩阵 B 的特征值为 1 =0， 2 =2， 3 =6。由( i EB)x=0，得对应特征值 1 =0， 2 =2， 3 =6 的特征向量分别为 1 =(一 1，一1，1) T ， 2 =(一 1，1，0) T ， 3 =(1，1，2) T 。 将 1 ， 2 ， 3 单位化可得： )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +(a 一 1)x 3 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 ，则有 )解析：(2
17、).若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a 的值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，说明有两个特征值为正，一个为 0。则由于 a2aa+1，所以 a2=0，即 a=2。)解析：9.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 1 与 B 1 合同，所以存在可逆矩 C 1 ，使得 B 1 =C 1 T A 1 C 1 。同理，存在可逆矩 C 2 ，使得 B 2 =C 2 T A 2 C 2 。 )解析：10.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 m
18、n 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设 B T AB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的 n 维实列向量 x0，有 x T (B T AB)x0，即(Bx) T A(Bx)0。于是，Bx0.因此，Bx=0 只有零解，故有 r(B)=n。 充分性：因(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，故 B T AB 为实对称矩阵。若 r(B)=n，则线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量 X0，有 Bx0。又 A 为正定矩阵，所以对于 B
19、x0，有(Bx) T A(Bx)0。于是当 x0，有 x T (B T AB)x=(Bx) T A(Bx)0，故 B T AB 为正定矩阵。)解析：设 （分数：4.00）(1).计算 P T DP，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).利用的结果判断矩阵 B 一 C T A 一 1 C 是否为正定矩阵，并证明结论。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(I)中结果知矩阵 D 与矩阵 )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2
20、 ，记 （分数：4.00）(1).证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 )解析：(2).若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=2 T + T ，由于=1， T = T =0，则 A=(2 T + T ) =2 2 + T =2，所以 为矩阵对应特征值 1 =2 的特征向量；A=(
21、2 T + T )=2 T + 2 =，所以 为矩阵对应特征值 2 =1 的特征向量。而矩阵 A 的秩 r(A)=r(2 T + T )r(2 T )+r( T )=2，所以 3 =0 也是矩阵的一个特征值。故 f 在正交变换下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 。)解析：11.用正交变换将二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 一 2x 2 2 一 2x 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +8x 3 x 3 化为标准形，并给出所施行的正交变换。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 特征多项式为 矩阵 A 的特征值为 1 =一 7， 2
22、= 3 =2。由( i EA)x=0(i=1，2，3)解得特征值 1 =一 7 和 2 = 3 =2 对应的特征向量分别为 1 =(1，2，一 2) T ， 2 =(一 2，1，0) T ， 3 =(2，0，1) T ，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将 2 , 3 正交化，即 再将 1 ， 2 ， 4 单位化，即 )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2ax 2 x 3 通过正交变换化为标准形 2y 1 2 +2y 2 2 +6y 3 2 。（分数：4.00）(1).求常数
23、a，b 及所用的正交变换矩阵 Q；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为 由矩阵 B 可知矩阵 A 的特征值为2，2，6。由矩阵 A 的迹 tr(A)=3=2+2+b 可得 b=一 1。由于 2 是 A 的二重特征值，而实对称矩阵 A 必可相似对角化，所以矩阵 A 的对应于特征值 2 的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵 2EA 的秩为 1，而 所以 a=一 1。由( i E 一 A)x=0(i=1，2，3)解得特征值 1 = 2 =2 和 3 =一 1 对应的特征向量分别为 1 =(1，0，一 1) T ， 2 =(0，1，一 1) T ， 3 =(1
24、，1，1) T ，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将 1 ， 2 正交化，即 再将 1 ， 2 ， 3 单位化，即 则正交变换矩阵 Q=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：(2).求 f 在 x T x=3 下的最大值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 2y 2 +2y 2 一 y 2 。条件 x T x=3 等价于 y T Q T y=y 2 +y 2 +y 2 =3，此时 f=2y 1 2 +2y 2 2 一 y 3 2 =63y 2 的最大值为 6，所以f 在 x T x=3 下的最大值是 6。)
25、解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 一 3x 3 2 +4x 1 x 2 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).写出二次型 f 的矩阵表达式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 )解析：(2).用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =6， 3 =一6。 由( i EA)x=0(i=1，2，3)解得特征值 1 =1， 2 =6， 3 =一 6 对应的特征向量分别为 1 =(一 2，0，1)
26、T ， 2 =(1，5，2) T ， 3 =(1，一 1，2) T ，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将 1 , 2 , 3 单位化，即 )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=3x 1 2 +3x 2 2 +5x 3 2 +4x 1 x 3 4x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).写出二次型的矩阵表达式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 )解析：(2).求正交矩阵 P，作变换 x=Py 将二次型化为标准形。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =3， 3 =
27、7。 由( i E 一 A)x=0(i=l，2，3)解得特征值 1 =1， 2 =3， 3 =7 对应的特征向量分别为 1 =(一 1，1，1) T ， 2 =(1，1，0) T ， 3 =(1，一 1，2) T ， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将 1 , 2 , 3 单位化，即 则正交变换矩阵 )解析：12.对 n 元实二次型 f=x T Ax，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 。试证:f 在条件 x 1 2 +x 2 2 +x=1下的最大值恰好为矩阵 A 的最大特征值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：实二次型 f=x T Ax 所对应的矩阵 A 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 P 使 )解析：
