1、考研数学二（二次型）-试卷 7 及答案解析(总分：94.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 C.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (A+B)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B3.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D
2、.A * 是正定矩阵4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D
3、.正交矩阵7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B)8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=BC.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同9.设 A= （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似10.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题： (1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)A=B中正
4、确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个11.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同12.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则( )（分数：2.00）A.A=0B.A0C.A0D.以上都不对二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 1 = （分数：2.00）填空项 1:_15.设二次型 （分数：2.00）填空项
5、 1:_16.设 （分数：2.00）填空项 1:_17.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 -2A=O，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：60.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_19.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 = （分数：2.00）_20.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 B= （分
6、数：4.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_21.用正交变换法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵)求：（分数：4.00）(1).二次型 X T AX 的标准形；（分数：2.00）_(2).E+A+A 2 +A n 的值（分数：2.00）_设 A 为 n 阶
7、实对称可逆矩阵，f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：4.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )写成矩阵形式；（分数：2.00）_(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：2.00）_设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=O，r(A)=2（分数：4.00）(1).求 A 的全部特征值；（分数：2.00）_(2).当 k 为何值时，A+kE 为正定矩阵?（分数：2.00）_22.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_23.设 A
8、是 n 阶正定矩阵，证明：E+A1（分数：2.00）_24.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_25.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3（分数：2.00）_二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= -4x 1 x 2 -8x 1 x 3 -4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 （分数：4.00）(1).常数 a，b；（分数：2.00）_(2).正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_设 C= （分数：4.00）(1).求 P T CP；（分数：2
9、.00）_(2).证明：D-BA -1 B T 为正定矩阵（分数：2.00）_26.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_27.设 A 为，2 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，PTAP 为正定矩阵（分数：2.00）_28.设 P 为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_29.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵（分数：2.00）_30.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 = （分数：2.00）_31.设二次型 经
10、过正交变换 X=QY 化为标准形 （分数：2.00）_32.设齐次线性方程组 为正定矩阵，求 a，并求当 （分数：2.00）_33.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_34.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_考研数学二（二次型）-试卷 7 答案解析(总分：94.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则
11、( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 C.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (A+B)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选(D)3.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A * 是正定矩阵 解析：解析：A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对； 若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩
12、阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对； (C)既不是充分条件又不是必要条件； 显然(D)既是充分条件又是必要条件4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 解析：解析：(A)不对，如 f=x 1 x 2 ，令 5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.
13、规范形相同但标准形不一定相同 C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同解析：解析：因为 A 与 A -1 合同，所以 X T AX 与 X T A -1 X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵 C.正定矩阵D.正交矩阵解析：解析：因为 A 与对角阵 A 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 P T AP=A， 从而 A=(P T ) -1 AP -1 =(P -1 ) T AP -1 ，A T =(P -1 ) T AP -1 T =(P -1
14、 ) T AP -1 =A，选(B)7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B) 解析：解析：因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=BC.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同 解析：解析：因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B 合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B
15、与9.设 A= （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似 D.不合同也不相似解析：解析：由E-A=0 得 A 的特征值为 1，3，-5，由E-B=0 得 B 的特征值为 1，1，-1，所以A 与 B 合同但不相似，选(C)10.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题： (1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)A=B中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析：因为 A，B 的特征值为-2，1，1，所以A=B=-2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似
16、或合同，选(B)11.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析：解析：显然 A，B 都是实对称矩阵，由E-A=0，得 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =9， 由E-B=0，得 B 的特征值为 1 =1， 2 = 3 =3，因为 A，B 惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选(C)12.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则( )（分数：2.00）A.A=0 B.A0C.A0D.以上都不对解析：解析：设二次型 f=X T AX 二、填空题(总题数：5，分数：10.0
17、0)13.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= 14.设 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 1 = 正交规范化的向量组为 15.设二次型 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型的秩为 2，所以A=0，解得 a=16.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t2）解析：解析：
18、二次型的矩阵为 A= ，因为二次型为正定二次型，所以有 50，17.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 -2A=O，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A 2 -2A=O r(A)+r(2E-A)=4 A 可以对角化， 1 =2， 2 =0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1 =2， 2 =0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为 三、解答题(总题数：24，分数：60.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：19.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2
19、，x 3 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：20.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 B= （分数：4.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB+B=O 得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+r(B)3， 因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =-1 为 A 的特征值且不低
20、于 2 重， 显然 =-1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 = 2 =-1， 3 =5 由(E+A)B=O 得 B 的列组为(E+A)X=O 的解， 故 1 = 为 1 = 2 =-1 对应的线性无关解 令 3 = 为 3 =5 对应的特征向量， 因为 A T =A，所以 )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 Q T AQ= )解析：21.用正交变换法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，其中 X= 由E-A= =(+3)(-3) 2 =0 得 1
21、 =-3， 2 = 3 =3 由(-3E-A)X=0 得 1 =-3 对应的线性无关的特征向量为 1 = 由(3E-A)X=0 得 2 = 3 =3 对应的线性无关的特征向量为 2 = 将 2 ， 3 正交化得 2 = )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= )解析：(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A ，由E-A=0 得 1 = 2 =2， 3 =0 当 =2 时，由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 1 = 当 =0 时，由(0
22、E-A)X=0 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 3 = 因为 1 ， 2 两两正交，单位化得 1 = )解析：设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵)求：（分数：4.00）(1).二次型 X T AX 的标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 =A，所以AE-A=0，即 A 的特征值为 0 或者 1，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(n-r 重)，则二次型 X T AX 的标准形为 )解析：(2).E+A+A 2 +A n 的值（分数：2.00）_正确答案：(
23、正确答案：令 B=E+A+A 2 +A n ，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n-r 重)，故 E+A+A 2 +A n =B=(n+1) r )解析：设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：4.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )写成矩阵形式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=(x 1 ，x 2 ，x n ) 因为 r(A)=n，所以A0，于是 )解析：(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：2.
24、00）_正确答案：(正确答案：因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A -1 合同，故二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )与 g(x)=X T AX 规范合同)解析：设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=O，r(A)=2（分数：4.00）(1).求 A 的全部特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +2A=O 得 r(A)+r(A+2E)=3，从而 A 的特征值为 0 或-2，因为 A 是实对称矩阵且 r(A)=2，所以 1 =0， 2 = 3 =-2)解析：(2).当 k 为何值时，A+kE 为正定矩阵?（分数：2.00）_正确答
25、案：(正确答案：A+kE 的特征值为 k，k-2，k-2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵)解析：22.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型为正定二次型，所以有 )解析：23.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：E+A1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 因为 A 是正定矩阵，所以存在正交阵 Q，使得 Q T AQ= 其中 1 0， 2 0， n 0，因此 Q T (A+E)Q= )解析：24.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_正确答案
26、：(正确答案：令 A= ，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX， )解析：25.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= -4x 1 x 2 -8x 1 x 3 -4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 （分数：4.00）(1).常数 a，b；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= ，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX， 矩阵 A 的特征值为 1 =5， 2 =b，
27、3 =-4， )解析：(2).正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 1 = 2 =5 代入(E-A)X=0，即(5E-A)X=0， 由 5E-A= 得 1 = 2 =5 对应的线性无关的特征向量为 1 = 将 3 =-4 代入(E-A)X=0，即(4E+A)X=0， 由 4E+A= 得 3 =-4 对应的线性无关的特征向量为 3 = 令 1 = 1 = )解析：设 C= （分数：4.00）(1).求 P T CP；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 C= 为正定矩阵，所以 A T =A，D T =D，P T CP= )解析：(2).证明：D-BA -1 B
28、 T 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 C 与 )解析：26.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T A 为实对称矩阵，r(A T A)=n，对任意的 X0，X T (A T A)X=(AX) T (Ax)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以(AX) T (AX)= T = 2 =0，即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型，A T A 为正定矩阵，所以 A T A 的特征值全大于零)解析：27.设 A 为，2 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，PTAP
29、 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T =A，因为(P T AP) T =P T A T (P T ) T =P T AP，所以 P T AP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T (P T AP)X=(PX) T A(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为A 为正定矩阵，所以 T A0，即 X T (P T AP)X0，故 X T (P T AP)X 为正定二次型，于是 P T AP为正定矩阵)解析：28.设 P 为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 A T =A，对任意的 X0，X T
30、AX=(PA) T (PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以PX0，于是 X T AX=(PX) T (PX)=PX 2 0，即 X T AX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵)解析：29.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 正定，所以 A T =A，B T =B，从而(A+B) T =A+B，即 A+B 为对称矩阵对任意的 X0，X T (A+B)X=X T AX+X T BX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 X T AX0，X T BX0，因此 X T (A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵)解析：30.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f=X T AX 经过正交变换后的标准形为 ，所以矩阵 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =-2
