1、考研数学二（二次型）-试卷 3 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是( )（分数：2.00）A.y 1 2 +4y 2 2 。B.y 1 2 一 6y 2 2 +2y 2 2 。C.y 1 2 一 y 2 2 。D.y 1 2 +4y 2 2 +y 3 2 。3.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x
2、 1 +x 2 ) 2 +(2x 1 +3x 2 +x 3 ) 2 一 5(x 2 +x 3 ) 2 的规范形为( )（分数：2.00）A.y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 。B.y 2 2 一 y 3 2 。C.y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2 。D.y 1 2 一 y 2 2 +y 3 2 。4.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 8x 2 x 3 的规范形为( )（分数：2.00）A.f=z 1 2 +z 2 2 +z 3 2 。B.f=z 1 2 一 z 2 2 。C.f=z
3、 1 2 +z 2 2 一 z 3 2 。D.f=z 1 2 。5.下列矩阵中 A 与 B 合同的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则A 与 C( )（分数：2.00）A.等价但不相似。B.合同但不相似。C.相似但不合同。D.等价，合同且相似。7.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的秩。B.A 与 B 有相同的特征值。C.A 与 B 有相同的特征向量。D.A 与 B 有相同的行列式。8.下
4、列矩阵中，正定矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C.D.9.下列二次型中是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.f 1 =(x 1 一 x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 一 x 1 ) 2 。B.f 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 。C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 一 x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 ) 2 。D.f 4 =(x 2 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 2 +x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 )
5、2 。10.关于二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 ，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.是正定的。B.其矩阵可逆。C.其秩为 1。D.其秩为 2。11.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负惯性指数为零。B.存在可逆矩阵 P 使 P 一 1 AP=E。C.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 一 1 C。D.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.二次型 f(x 1 ，x 2
6、，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +ax 3 x 3 )(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 )的矩阵为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=2x 2 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 +8x 2 x 3 4x 1 x 3 的规范形是 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=x T Ax 通过合同变换 x=Py 化为 f=y T By，其中 （分数：2.00）填空项 1:_16.实对阵矩阵 A 与矩阵 （分数
7、：2.00）填空项 1:_17.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +2x 2 +a 3 x 3 )(x 1 +5x 2 +b 3 x 3 )的合同规范形为 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设 f=x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2a 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 2 =2A 2 +5A 一 6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设 =(1，0，1) T ，A=
8、T ，若 B=(kE+A) * 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=一 aE+A T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：4，分数：10.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的秩为 2。求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值；（分数：2.00）_24.设二次型 f=x
9、 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 4x 1 x 3 +2a 2 x 3 ，经正交变换化为 3y 1 2 +3y 2 2 +by 3 2 ，求 a，b 的值及所用正交变换。（分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a)x 1 2 +(1 一 a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2。（分数：6.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形；（分数：2.00）_(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解。（
10、分数：2.00）_考研数学二（二次型）-试卷 3 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是( )（分数：2.00）A.y 1 2 +4y 2 2 。 B.y 1 2 一 6y 2 2 +2y 2 2 。C.y 1 2 一 y 2 2 。D.y 1 2 +4y 2 2 +y 3 2 。解析：解析：用配方法，有 f
11、=x 1 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 +x 2 2 +2x 2 x 3 +x 3 2 =(x 1 一 2x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 ，可见二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0。所以选 A。3.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(2x 1 +3x 2 +x 3 ) 2 一 5(x 2 +x 3 ) 2 的规范形为( )（分数：2.00）A.y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 。B.y 2 2 一 y 3 2 。 C.y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2 。D.y 1 2 一 y 2 2 +y 3 2 。解析
12、：解析：将二次型中的括号展开，并合并同类项可得 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 一 4x 3 2 +14x 1 x 2 +4x 1 x 3 4x 2 x 3 ，则该二次型矩阵为 ，由 4.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 8x 2 x 3 的规范形为( )（分数：2.00）A.f=z 1 2 +z 2 2 +z 3 2 。B.f=z 1 2 一 z 2 2 。C.f=z 1 2 +z 2 2 一 z 3 2 。D.f=z 1 2 。 解析：解析：利用配方法将该二次型
13、化为标准形 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 一 2x 2 +2x 3 ) 2 ，则该二次型的规范形为 f=z 1 2 。故选 D。5.下列矩阵中 A 与 B 合同的是( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：合同的定义：C T AC=B，矩阵 C 可逆。合同的必要条件是：r(A)=r(B)且行列式A与B同号。A 选项的矩阵秩不相等。B 选项中行列式正、负号不同，故排除。C 选项中矩阵 A 的特征值为 1，2，0，而矩阵 B 的特征值为 1，3，0，所以二次型 x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数，因此 A 和 B 合同。而 D 选项中，A 的特征值为
14、 1，2，B 的特征值为一 1，一 2，一 2，因此 x T Ax 与 x T Bx 正、负惯性指数不同，故不合同。所以选 C。6.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则A 与 C( )（分数：2.00）A.等价但不相似。B.合同但不相似。C.相似但不合同。D.等价，合同且相似。 解析：解析：对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设 AE ij =B，E ij B=C， 故可得 C=E ij B=E ij AE ij 。 因 E ij =E ij =E ij 一 1 ，故 c=E ij AE
15、ij =E ij 一 1 AE ij =E ij T AE ij ， 所以 A 与 C 等价，合同且相似。故应选 D。7.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的秩。 B.A 与 B 有相同的特征值。C.A 与 B 有相同的特征向量。D.A 与 B 有相同的行列式。解析：解析：合同的矩阵也等价，故必有相同的秩，所以选 A。8.下列矩阵中，正定矩阵是( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：二次型正定的必要条件是：a ij 0。在选项 D 中，由于 a 33 =0，易知 f(0，0，1)=0，与x0，x T Ax0
16、相矛盾。因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，二阶主子式 9.下列二次型中是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.f 1 =(x 1 一 x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 一 x 1 ) 2 。B.f 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 。C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 一 x 4 ) 2 +(x 4 一 x 1 ) 2 。D.f 4 =(x 2 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 2 +x 4 ) 2
17、+(x 4 一 x 1 ) 2 。 解析：解析：f=x T Ax 正定对任意的 x0，均有 x T Ax0；反之，若存在 x0，使得 f=x T Ax0则 f 或 A 不正定。 A 选项因 f 1 (1，1，1)=0，故不正定。 B 选项因 f 2 (一 1，1，1)=0，故不正定。 C 选项因 f 3 (1，一 1，1，1)=0，故不正定。由排除法，故选 D。10.关于二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 ，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.是正定的。B.其矩阵可逆。C.其秩为
18、 1。 D.其秩为 2。解析：解析：二次型的矩阵11.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负惯性指数为零。B.存在可逆矩阵 P 使 P 一 1 AP=E。C.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 一 1 C。D.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同。 解析：解析：选项 A 是必要不充分条件。这是因为，(A)=p+qn，当 q=0 时，有 r(A)=pn。此时有可能pn，故二次型 x T Ax 不一定是正定二次型。因此矩阵 A 不一定是正定矩阵。例如。f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 3 2 。选项 B 是充分不必要条件
19、。这是因为 P 一 1 AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是1，此时 A 是正定的。但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的。选项C 中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=C T C 不能说 A 与 E 合同，也就没有 A 是正定矩阵的结论。例如 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +ax 3 x 3 )(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 )的矩阵为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解
20、析：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 )(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式。14.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=2x 2 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 +8x 2 x 3 4x 1 x 3 的规范形是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z 1 2 +z 2 2 一 z 3 2）解析：解析： 15.已知正、负惯性指数均为 1 的二次型
21、 f=x T Ax 通过合同变换 x=Py 化为 f=y T By，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：合同矩阵对应的二次型具有相同的规范形，所以由二次型 f=x T Ax 的正、负惯性指数均为1 可知，矩阵 B 的秩 r(B)=2，从而有B=一(a 一 1) 2 (a+2)=0。若 a=1，则 r(B)=1，不合题意，舍去。若 a=一 2，则由 16.实对阵矩阵 A 与矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 +y 2 2 一 y 3 2）解析：解析：矩阵 A 与 B 合同，说明二次型 x T Ax 与 x T B
22、x 有相同的正、负惯性指数。矩阵 B 的特征多项式为 17.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +2x 2 +a 3 x 3 )(x 1 +5x 2 +b 3 x 3 )的合同规范形为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z 1 2 一 z 2 2）解析：解析：令 所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型 f=y 1 y 2 是合同的，故有相同的合同规范形。二次型 f=y 1 y 2 矩阵为 18.设 f=x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2a 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则未知系数 a 的范
23、围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二次型的矩阵为 其各阶主子式为 因为 f 为正定二次型，所以必有 1 一 a 2 0 且一 s(5s+4)0，因此 故当 19.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 2 =2A 2 +5A 一 6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k2）解析：解析：根据题设条件，则有 A 3 一 2A 2 一 5A+6E=O。设 A 有特征值 ，则 满足条件 3 一2 2 一 5+6=0，将其因式分解可得 3 一 2 2 一 5+6=( 一 1)(+2)(
24、一 3)=0，因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，一 2，3，故栖+A 的特征值分别为 k+1，k 一 2，k+3，且当 k2 时，kE+A 的特征值均为正数。故 K2。20.设 =(1，0，1) T ，A= T ，若 B=(kE+A) * 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k0 或 k一 2）解析：解析：矩阵 A= T 的秩为 1，且 tr(A)= T =2，故矩阵 A 的特征值是 2，0，0，从而矩阵kE+A 的特征值是 k+2，k，k。矩阵 B=(kE+A) * =kE+A(kE+A) 一 1 的特征值是 k 2 ，k(k+2
25、)，k(k+2)。矩阵 B 正定的充要条件是特征值均大于零，即 k 2 0 且 k(k+2)0，解得 k0 或 k一 2。21.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=一 aE+A T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a0）解析：解析：B T =(一 aE+A T A) T =一 aE+A T A=B，故 B 是一个对称矩阵。B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0，都有 x T Bx=x T (一 aE+A T A)x =一 ax T x+x T Ax =一 ax T x+(Ax) T Ax0，其中(Ax) T
26、(Ax)0，x T x0，因此 a 的取值范围是一 a0，即 a0。三、解答题(总题数：4，分数：10.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的秩为 2。求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型对应的矩阵为 由二次型的秩为 2，可得A=0，由此解得 c=3，容易验证，此时 A 的秩为 2。又因 )解析：24.设二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一
27、4x 1 x 2 4x 1 x 3 +2a 2 x 3 ，经正交变换化为 3y 1 2 +3y 2 2 +by 3 2 ，求 a，b 的值及所用正交变换。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型及其标准形的矩阵分别是 由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B不仅合同而且相似。由 1+1+1=3+3+b 得 b=一 3。 对 =3，则有 因此 a=一 2(二重根)。由(3EA)x=0，得特征向量 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，一 1) T 。由(一 3E 一 A)x=0，得特征向量 3 =(1，1，1) T 。因为 =3 是二重特征值，对 1 ， 2 正交化有 1
28、= 1 =(1，一 1，0) T ， )解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a)x 1 2 +(1 一 a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2。（分数：6.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 二次型的秩为 2，则二次型矩阵 A 的秩也为 2，从而 )解析：(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(I)中结论 a=0，则 由特征多项式 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =2， 3 =0。 当 =2，由(2EA)x=0 得特征向量 1 =(1，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 。 当=0，由(OEA)x=0 得特征向量 3 =(1，一 1，0) T 。 容易看出 1 , 2 , 3 已两两正交，故只需将它们单位化： 那么令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +2 3 x 2 +2x 1 x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +2x 3 2 =0，得 )解析：
