1、 2013 年山东省淄博市中考 真题 数学 一、选择题：本题共 12 小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的 .每小题 4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分 . 1.（ 4 分） 9 的算术平方根是（ ） A. B. C.3 D.3 解析 ： 3 2=9， 9 的算术平方根是 3. 答案： C. 2.（ 4 分）下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： A、 = =1，故本选项正确； B、 = = 1，故本选项正确； C、 = ，故本选项正确； D、 = ，故本选项错误； 答案： D. 3.（ 4 分）把一根长 100cm 的木棍锯成两段，使其中一段的长比
2、另一段的 2 倍少 5cm，则锯出的木棍的长不可能为（ ） A.70cm B.65cm C.35cm D.35cm 或 65cm 解析 ： 设一段为 x，则另一段为（ 2x 5）， 由题意得， x+2x 5=100， 解得： x=35（ cm）， 则另一段为： 65（ cm） . 答案： A. 4.（ 4 分）下面关于正六棱柱的视图（主视图、左视图、俯视图）中，画法错误的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形 .从上面看易得俯视图为： ，从左面看易得左视图为： ，从正面看主视图为：. 答案： A. 5.（ 4 分）如果分式
3、的值为 0，则 x 的值是（ ） A.1 B.0 C. 1 D.1 解析 ： 由分式的值为零的条件得 x2 1=0， 2x+20 ， 由 x2 1=0，得 x=1 ， 由 2x+20 ，得 x 1， 综上，得 x=1. 答案： A. 6.（ 4 分）如图，菱形纸片 ABCD 中， A=60 ，折叠菱形纸片 ABCD，使点 C 落在 DP（ P为AB 中点）所在的直线上，得到经过点 D 的折痕 DE.则 DEC 的大小为（ ） A.78 B.75 C.60 D.45 解析 ：连接 BD， 四边形 ABCD 为菱形， A=60 ， ABD 为等边三角形， ADC=120 ， C=60 ， P 为
4、AB 的中点， DP 为 ADB 的平分线，即 ADP=BDP=30 ， PDC=90 ， 由折叠的性质得到 CDE=PDE=45 ， 在 DEC 中， DEC=180 （ CDE+C ） =75 . 答案： B. 7.（ 4 分）如图， RtOAB 的顶点 A（ 2， 4）在抛物线 y=ax2上，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90 ，得到 OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为（ ） A.（ ， ） B.（ 2， 2） C.（ ， 2） D.（ 2， ） 解析 ： RtOAB 的顶点 A（ 2， 4）在抛物线 y=ax2上， 4=a （ 2） 2， 解得： a=
5、1 解析式为 y=x2， RtOAB 的顶点 A（ 2， 4）， OB=OD=2 ， RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90 ，得到 OCD ， CDx 轴， 点 D 和点 P 的纵坐标均为 2， 令 y=2，得 2=x2， 解得： x= ， 点 P 在第一象限， 点 P 的坐标为：（ ， 2） 答案： C. 8.（ 4 分）如图，直角梯形 ABCD 中， ABCD ， C=90 ， BDA=90 ， AB=a， BD=b， CD=c，BC=d， AD=e，则下列等式成立的是（ ） A.b2=ac B.b2=ce C.be=ac D.bd=ae 解析 ： CDAB ， CDB=DBA ， 又
6、C=BDA=90 ， CDBDBA ， = = ，即 = = ， A、 b2=ac，成立，故本选项正确； B、 b2=ac，不是 b2=ce，故本选项错误； C、 be=ad，不是 be=ac，故本选项错误； D、 bd=ec，不是 bd=ae，故本选项错误 . 答案： A. 9.（ 4 分）如图，矩形 AOBC 的面积为 4，反比例函数 的图象的一支经过矩形对角线的交点 P，则该反比例函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 解析 ：作 PEx 轴， PFy 轴，如图， 点 P 为矩形 AOBC 对角线的交点， 矩形 OEPF 的面积 = 矩形 AOBC 的面积 = 4=1 ， |k|=
7、1 ， 而 k 0， k=1 ， 过 P 点的反比例函数的解析式为 y= . 答案： C. 10.（ 4 分）如果 m 是任意实数，则点 P（ m 4， m+1）一定不在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 ： （ m+1）（ m 4） =m+1 m+4=5， 点 P 的纵坐标一定大于横坐标， 第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数， 第四象限的 点的横坐标一定大于纵坐标， 点 P 一定不在第四象限 . 答案： D. 11.（ 4 分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同 .如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（ ） A. B. C. D
8、. 解析 ：画树状图，如图所示： 所有等可能的情况数有 8 种，其中三只雏鸟中恰有两只雌鸟的情况数有 3 种， 则 P= . 答案： B. 12.（ 4 分）如图， ABC 的周长为 26，点 D， E 都在边 BC 上， ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q， ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 P，若 BC=10，则 PQ 的长为（ ） A. B. C.3 D.4 解析 ： BQ 平分 ABC ， BQAE ， BAE 是等腰三角形， 同理 CAD 是等腰三角形， 点 Q 是 AE 中点，点 P 是 AD中点（三线合一）， PQ 是 ADE 的中位线， BE+CD=AB+AC=26
9、BC=26 10=16， DE=BE+CD BC=6， PQ= DE=3. 答案： C. 二、填空题：本题共 5 小题，满分 20 分 .只要求填写最后结果，每小题填对得 4分 . 13.（ 4 分）当实数 a 0 时， 6+a 6 a（填 “ ” 或 “ ” ） . 解析 ： a 0 时，则 a a，在不等式两边同时加上 6 即可得到 . 答案 ： . 14.（ 4 分）请写出一个概率小于 的随机事件： . 解析 ： 根据题意得： 概率小于 的随机事件如： 掷一个骰子，向上一面的点数为 2； 答案 ：掷一个骰子，向上一面的点数为 2. 15.（ 4 分）在 ABC 中， P 是 AB 上的动
10、点（ P 异于 A， B），过点 P 的一条直线截 ABC ，使截得的三角形与 ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的 ABC 的相似线 .如图，A=36 ， AB=AC，当点 P在 AC 的垂直平分线上时，过点 P 的 ABC 的相似线最多有 条 . 解析 ：当 PDBC 时， APDABC ， 当 PEAC 时， BPEBAC ， 连接 PC， A=36 ， AB=AC，点 P 在 AC 的垂直平分线上， AP=PC ， ABC=ACB=72 ， ACP=PAC=36 ， PCB=36 ， B=B ， PCB=A ， CPBACB ， 故过点 P 的 ABC 的相似线最多有 3 条
11、 . 答案 ： 3. 16.（ 4 分）如图， AB 是 O 的直径， ， AB=5， BD=4，则 sinECB= . 解析 ： 连接 AD，则 ADB=90 ， 在 RtABD 中， AB=5， BD=4， 则 AD= =3， ， DAC=DBA ， DACDBA ， = = ， CD= ， AC= = ， sinECB=sinDCA= = . 答案 ： . 17.（ 4 分）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第 2013 个格子中的整数是 . 4 a b c 6 b 2 解析 ： 任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， 4+a+b=a+
12、b+c， 解得 c= 4， a+b+c=b+c+6， 解得 a=6， 所以，数据从左到右依次为 4、 6、 b、 4、 6、 b， 第 9 个数与第三个数相同，即 b= 2， 所以，每 3 个数 “ 4、 6、 2” 为一个循环组依次循环， 20133=671 ， 第 2013 个格子中的整数与第 3 个 格子中的数相同，为 2. 答案 ： 2. 三、 答案 题：本大题共 7 小题，共 52 分 .答案 要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 18.（ 5 分）解方程组 . 解析 ： 先用加减消元法求出 y 的值，再用代入消元法求出 x 的值即可 . 答案 ： ， 2 得， 7y=7，解
13、得 y= 1； 把 y= 1 代入 得， x+2 （ 1） = 2，解得 x=0， 故此方程组的解为： . 19.（ 5 分）如图， ADBC ， BD 平分 ABC .求证： AB=AD. 解析 ： 根据 ADBC ，可求证 ADB=DBC ，利用 BD 平分 ABC 和等量代换可求证ABD=ADB ，然后即可得出结论 . 答案 ： ADBC ， ADB=DBC ， BD 平分 ABC ， ABD=DBC ， ABD=ADB ， AB=AD . 20.（ 8 分）某中学积极开展跳绳活动，体育委员统计了全班同学 1 分钟跳绳的次数，并列出了频数分布表： 次数 60x 80 80x 100 10
14、0x 120 120x 140 140x 160 160x 180 频数 5 6 14 9 4 （ 1）跳绳次数 x 在 120x 140 范围的同学占全班同学的 20%，在答题卡中完成上表； （ 2）画出适当的统计图，表示上面的信息 . 解析 ： （ 1）根据跳绳次数 x在 120x 140 范围的同学占全班同学的 20%，求出总人数，再用总人数减去各段的频数，即可求出在 140x 160 的频数； （ 2）根据表中提供的数据，从而画出直方图即可 . 答案 ： （ 1） 跳绳次数 x 在 120x 140 范围的同学占全班同学的 20%， 总人数是 920%=45 （人）， 在 140x 1
15、60 的频数是： 45 5 6 14 9 4=7（人）， 补表如下： 次数 60x 80 80x 100 100x120 120x140 140x160 160x180 频数 5 6 14 9 7 4 （ 2）根据表中的数据，补图如下： 21.（ 8 分）关于 x 的一元二次方程（ a 6） x2 8x+9=0 有实根 . （ 1）求 a 的最大整数值； （ 2）当 a 取最大整数值时， 求出该方程的根； 求 的值 . 解析 ： （ 1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到 =64 4 （ a 6） 90 且 a 60 ，解得 a 且 a6 ，然后在次范围内找出最大的整数； （ 2） 把 a
16、 的值代入方程得到 x2 8x+9=0，然后利用求根公式法求解； 由于 x2 8x+9=0则 x2 8x= 9，然后把 x2 8x= 9整体代入所求的代数式中得到原式 =2x2 =2x2 16x+ ，再变形得到 2（ x2 8x） + ，再利用整体思想计算即可 . 答案 ：（ 1）根据题意 =64 4 （ a 6） 90 且 a 60 ， 解得 a 且 a6 ， 所以 a 的最大整数值 为 7； （ 2） 当 a=7 时，原方程变形为 x2 8x+9=0， =64 49=28 ， x= ， x 1=4+ ， x2=4 ； x 2 8x+9=0， x 2 8x= 9， 所以原式 =2x2 ， =
17、2x2 16x+ ， =2（ x2 8x） + ， =2 （ 9） + ， = . 22.（ 8 分）分别以 ABCD（ CDA90 ）的三边 AB， CD， DA 为斜边作等腰直角三角形， ABE ，CDG ， ADF . （ 1）如图 1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接 GF， EF.请判断 GF 与EF 的关系（只写结论，不需证明）； （ 2）如图 2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接 GF， EF，（ 1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由 . 解析 ： （ 1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出 FDG=EAF ，进而
18、得出 EAFGDF 即可得出答案； （ 2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出 FDG=EAF ，进而得出EAFGDF 即可得出答案 . 答案 ：（ 1） 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ， DAB+ADC=18 0 ， ABE ， CDG ， ADF 都是等腰直角三角形， DG=CG=AE=BE ， DF=AF， CDG=ADF=BAE=45 ， GDF=GDC+CDA+ADF=90+CDA ， EAF=360 BAE DAF BAD=270 （ 180 CDA ） =90+CDA ， FDG=EAF ， 在 EAF 和 GDF 中， ， EAFGDF （ SAS
19、）， EF=FG ， EFA=DFG ，即 GFD+GFA=EFA+GFA ， GFE=90 ， GFEF ， GF=EF； （ 2） GFEF ， GF=EF 成立； 理由： 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ， DAB+ADC=180 ， ABE ， CDG ， ADF 都是等腰直角三角形， DG=CG=AE=BE ， DF=AF， CDG=ADF=BAE=45 ， BAE+DAF+EAF+ADF+FDC=180 ， EAF+CDF=45 ， CDF+GDF=45 ， FDG=EAF ， 在 GDF 和 EAF 中， ， GDFEAF （ SAS）， EF=FG ， EFA=D
20、FG ，即 GFD+GFA=EFA+GFA ， GFE=90 ， GFEF ， GF=EF. 23.（ 9 分） ABC 是等边三角形，点 A 与点 D 的坐标分别是 A（ 4， 0）， D（ 10， 0） . （ 1）如图 1，当点 C 与点 O 重合时，求直线 BD 的解析式； （ 2）如图 2，点 C 从点 O 沿 y 轴向下移动，当以点 B 为圆心， AB为半径的 B 与 y 轴相切（切点为 C）时，求点 B 的坐标； （ 3）如图 3，点 C 从点 O 沿 y 轴向下移动，当点 C 的坐标为 C（ 0， ）时，求 ODB的正切值 . 解析 ： （ 1）先根据等边三角形的性质求 出 B
21、 点的坐标，直接运用待定系数法就可以求出直线 BD 的解析式； （ 2）作 BEx 轴于 E，就可以得出 AEB=90 ，由圆的切线的性质就可以而出 B 的纵坐标，由直角三角形的性质就可以求出 B 点的横坐标，从而得出结论； （ 3）以点 B 为圆心， AB 为半径作 B ，交 y 轴于点 C、 E，过点 B作 BFCE 于 F，连接 AE.根据等边三角形的性质圆心角与圆周角之间的关系及勾股定理就可以点 B 的坐标，作 BQx轴于点 Q，根据正切值的意义就可以求出结论 . 答案 ：（ 1） A （ 4， 0）， OA=4 ， 等边三角形 ABC 的高就为 2 ， B （ 2， 2 ） . 设直
22、线 BD 的解析式为 y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， 直线 BD 的解析式为： y= x ； （ 2）作 BEx 轴于 E， AEB=90 . 以 AB 为半径的 S 与 y 轴相切于点 C， BCy 轴 . OCB=90 ABC 是等边三角形， ACB=60 ， ACO=30 ， AC=2OA . A （ 4， 0）， OA=4 ， AC=8 ， 由勾股定理得： OC=4 . 作 BEx 轴于 E， AE=4 ， OE=8 ， B （ 8， 4 ）； （ 3）如图 3，以点 B 为圆心， AB 为半径作 B ，交 y 轴于点 C、 E，过点 B 作 BFCE 于 F，连接 AE.
23、ABC 是等边三角形， AC=BC=AB ， ABC=ACB=BAC=60 ， OEA= ABC=30 ， AE=2OA . A （ 4， 0）， OA=4 ， AE=8 . 在 RtAOE 中，由勾股定理，得 OE=4 . C （ 0， ）， OC=2 ， 在 RtAOC 中，由勾股定理，得 AC=2 . CE=OE OC=4 =2 . BFCE ， CF= CE= ， OF=2 + =3 . 在 RtCFB 中，由勾股定理，得 BF2=BC2 CF2， =28 3=25， BF=5 ， B （ 5， 3 ） . 过点 B 作 BQx 轴于点 Q， BQ=3 ， OQ=5， D （ 10，
24、0）， DQ=5 ， tanODB= = . 24.（ 9 分）矩形纸片 ABCD 中， AB=5， AD=4. （ 1）如图 1，四边形 MNEF 是在矩形纸片 ABCD 中裁剪出的一个正方形 .你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由； （ 2）请用矩形纸片 ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形 .要求：在图 2 的矩形 ABCD 中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上） . 解析 ： （ 1）设 AM=x（ 0x4 ）则 MD=4 x，根据正方形的性质就可以得出RtANMRtDMF .根据正方形的面积就可以
25、表示出解析式，由二次函数的性质就可以求出其最值； （ 2）先将矩形纸片分割成 4 个全等的直角三角形和两个矩形如图，根据赵爽弦图的构图方法就可以拼成正方形 . 答案 ： （ 1）正方形的最大面积是 16.设 AM=x（ 0x4 ），则 MD=4 x. 四边形 MNEF 是正 方形， MN=MF ， AMN+FMD=90 . AMN+ANM=90 ， ANM=FMD . 在 ANM 和 DMF 中 ， ANMDMF （ AAS） . DM=AN . S 正方形 MNEF=MN2=AM2+AN2， =x2+（ 4 x） 2， =2（ x 2） 2+8 函数 S 正方形 MNEF=2（ x 2） 2+8 的开口向上， 对称轴是 x=2， 在对称轴的左侧 S 随 x 的增大而减小，在对称轴的右侧 S 随 x的增大而增大， 0x4 ， 当 x=0 或 x=4 时， 正方形 MNEF 的面积最大 . 最大值是 16. （ 2）先将矩形纸片 ABCD 分割成 4 个全等的直角三角形和两个矩形如图 1，然后拼成如图 2的正方形 .
