1、考研数学二（二次型）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，已知 r(A)=2，并且 A 满足 A2-2A=0则下列各标准二次型 (1)2y 12+2y22. (2)2y12 (3)2y 12+2y32 (4)2y 22+2y32 中可用正交变换化为f 的是( )（A）(1)（B） (3)，(4)（C） (1)，(3)，(4) （D）(2)2 设 则（A）A 与 B 既合同又相似（B） A 与 B 合同但不相似（C） A 与 B 不合同但相似（D）A 与 B 既不合同又不相似3 设 A= ，则
2、（A）A 与 B 既合同又相似（B） A 与 B 合同但不相似（C） A 与 B 不合同但相似（D）A 与 B 既不合同又不相似4 A= ，则( )中矩阵在实数域上与 A 合同二、填空题5 已知 A= ，作可逆矩阵 P=_，使得(AP) TAP 是对角矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 用配方法化下列二次型为标准型 (1)f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3 (2)f(x1，x 2，x 3)=x1x2+x1x3+x2x37 已知二次型 2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0)可用正交变换化为 y12+2y22+5y3
3、2，求 a 和所作正交变换8 设二次型 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3，(b0) 其中 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12 (1)求 a，b (2)用正交变换化 f(x1，x 2，x 3)为标准型9 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 2 (1)求 a (2)求作正交变换 X=QY，把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形 (3)求方程 f(x1，x 2，x 3)=0的解10 二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在正交变换 X=QY 下化为 10
4、y12-4y22-4y32，Q 的第1 列为 (1)求 A(2) 求一个满足要求的正交矩阵 Q11 A= ，求作一个 3 阶可逆矩阵 P，使得 PTAP 是对角矩阵12 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3 的正惯性指数为 2，a 应满足？13 设 A 是一个可逆实对称矩阵，记 Aij 是它的代数余子式二次型f(x1，x 2， xn)= xixj. (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型 (2)f(x1，x 2， xn)的规范形和 XTAX 的规范形是否相同? 为什么?14 判断 A 与 B 是否合同，其中15 二次型 f(x1，x 2，
5、x 3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3 求 f(x1，x 2，x 3)的矩阵的特征值 如果 f(x1，x 2，x 3)的规范形为 y12+y22，求 a16 a 为什么数时二次型 x12+3x22+2x32+2ax2x3 可用可逆线性变量替换化为 2y12-3y22+5y32?17 已知 A 是正定矩阵，证明A+E118 已知二次型 f(x 1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32+2x1x2-2x1x3+4x2x3 当 A 满足什么条件时 f(x1，x 2，x 3)正定?19 已知二次型 f(x 1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2
6、x3)2+(xn+anx1)2 a1， 2，a n 满足什么条件时 f(x1，x 2，x n)正定?20 设 A= ，B=(A+kE) 2(1)求作对角矩阵 D，使得 BD(2)实数 k 满足什么条件时 B 正定?21 设 A 和 B 都是 mn 实矩阵，满足 r(A+B)=n，证明 ATA+BTB 正定22 设 A 是 m 阶正定矩阵，B 是 mn 实矩阵证明： BTAB 正定 r(B)=n23 设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A2+2A=0，并且 r(A)=2 (1)求 A 的特征值 (2)当实数后满足什么条件时 A+kE 正定?24 设 A，B 是两个 n 阶实对称矩阵，并且 A 正
7、定证明： (1)存在可逆矩阵 P，使得 PTAP，P TBP 都是对角矩阵； (2)当充分小时， A+B仍是正定矩阵25 设 C= ，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵证明 C 正定 A，B 都正定26 设 D= 是正定矩阵，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵记 P=(1)求 PTDP(2) 证明 B-CTA-1C 正定考研数学二（二次型）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样从条件可知，A 的特征值 0， 2，2(1)，(3)，(
8、4)这 3 个标准二次型的矩阵的特征值都是 0，2，2(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2【知识模块】 二次型2 【正确答案】 A【试题解析】 A 与 B 都是实对称矩阵，判断是否合同和相似只要看它们的特征值：特征值完全一样时相似，特征值正负性一样时合同此题中 A 的特征值和 B 的特征值都是 4，0，0，0，从而 A 与 B 既合同又相似【知识模块】 二次型3 【正确答案】 B【知识模块】 二次型4 【正确答案】 D【试题解析】 用特征值看：两个实对称矩阵合同甘它们的特征值正负性相同A=-3，对于 2 阶实对称矩阵，行列式小于 0 即两个特征值一正一负，于是只要看哪个矩阵行列式是负数
9、就和 A 合同计算得到只有 (D)中的矩阵的行列式是负数【知识模块】 二次型二、填空题5 【正确答案】 【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 (1)f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3=x12+2x1x2-2x1x3+(x2-x3)2-(x2-x3)2+2x22+2x2x3=(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3-x32=(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3+4x32-5x32=(x1+x2-x3)2+(x2+2x3)2-5x32.令 原二次型化为 f(x1，x 2，x 3)=y12+y2
10、2-5y32从上面的公式反解得变换公式： 变换矩阵(2)这个二次型没有平方项，先作一次变换 f(x1，x 2，y 3)=y12-y22+2y1y3虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：y 12-y22+2y1y3=(y1+y3)2-y22-y32令 即则 f(x1，x 2，x 3)=z12-z22-z32变换公式为 变换矩阵【知识模块】 二次型7 【正确答案】 原二次型的矩阵 A 和化出二次型的矩阵 B 相似于是A=B=10而A=2(9-a 2)，得a2=4，a=2 A 和 B 的特征值相同，为 1，2，5对这 3 个特征值求单位特征向量对于特征值 1： 得(A-E)X
11、=0 的同解方程组得属于 1 的一个特征向量 1=(0，1，-1) T，单位化得 1=对于特征值 2： 得(A-2E)X=0 的同解方程组 得属于 2 的一个单位特征向量 2=(1，0，O) T 对于特征值 5：得(A-5E)X=0 的同解方程组得属于 5 的一个特征向量 3=(0，1，1) T，单位化得 3=令 Q=(1， 2， 3)，则正交变换 X=QY 把原二次型化为 y12+2y22+5y32【知识模块】 二次型8 【正确答案】 (1)A= 由条件知，A 的特征值之和为 1，即 a+2+(-2)=1，得 a=1特征值之积=-12，即A=-12，而A= =2(-2-b2)得b=2(b0)
12、 则 (2)E-A= =(-2)2(+3)，得 A 的特征值为 2(二重) 和 -3(一重)对特征值 2 求两个单位正交的特征向量，即(A-2E)X=0 的非零解 得(A-2E)X=0 的同解方程组 x1-2x3=0，求出基础解系 1=(0，1，0) T， 2=(2，0，1) T它们正交，单位化： 1=1， 2= 方程 x1-2x3=0 的系数向量(1，0，-2) T 和 1， 2 都正交，是属于一 3 的一个特征向量，单位化得 3= 作正交矩阵Q=(1， 2， 3)，则 QTAQ= 作正交变换 X=QY，则它把 f 化为 Y 的二次型 f=2y12+2y22-3y32【知识模块】 二次型9
13、【正确答案】 (1)此二次型的矩阵为 则 r(A)=2， A=0 求得A =-8a，得 a=0 (2)E-A=(-2)2，得 A 的特征值为 2，2，0 对特征值 2 求两个正交的单位特征向量： 得(A-2E)X=0 的同解方程组 x1-x2=0，求出基础解系 1=(0，0，1)v， 2=(1，1，0) T它们正交，单位化：1=1， 2= 方程 x1-x2=0 的系数向量(1， -1，0) T 和 1， 2 都正交，是属于特征值 0 的一个特征向量，单位化得 3= 作正交矩阵Q=(1， 2， 3)，则 QTAQ= 作正交变换 X=QY，则 f 化为 Y 的二次型f=2y12+2y22(3)f(
14、X)=x 12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32于是 f(x1，x 2，x 3)=0求得通解为： ，c 任意【知识模块】 二次型10 【正确答案】 标准二次型 10y12-4y22-4y32 的矩阵为 则 Q-1AQ=QTAQ=B，A 和 B 相似于是 A 的特征值是 10，-4，-4(1)Q 的第 1 列 1=是 A 的属于 10 的特征向量，其 倍 1=(1，2，3) T 也是属于 10 的特征向量于是 A 的属于-4 的特征向量和(1，2，3) T 正交，因此就是方程 x1+2x2+3x3=0 的非零解求出此方程的一个正交基础解系 2=(2，-1，0) T， 3=
15、建立矩阵方程 A(1， 2， 3)=(101，-4 2，-4 3)，用初等变换法解得(2)将 2， 3 单位化得 2= (2， -1，0) T， 3= (3，6，-5)T则正交矩阵 Q=(1， 2， 3)满足要求【知识模块】 二次型11 【正确答案】 对这样的题，可能会想到构造正交矩阵 Q，使得 Q-1AQ 是对角矩阵，则 QTAQ=Q-1AQ 是对角矩阵这样做首先会遇到特征值计算的困难，如本题中的矩阵用本课程的知识是不能求出特征值的即使可以求出，这个方法的计算量也比较大一个比较简单的方法是利用与 A 对应的二次型用配方法标准化，则变换矩阵就是所求 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX=x1
16、2+4x22-2x32-4x1x2+4x2x3=(x1-2x2)2-2x3+4x2x3=(x1-x2)2-2(x2-x3)2+2x22令 原二次型化为 f(x1，x 2，x 3)=y12-2y22+2y32从上面的公式反解得变换公式： 变换矩阵则 PTAP= .【知识模块】 二次型12 【正确答案】 用配方法f(x 1，x 2，x 3)=(x1+x2+x3)2+(a-1)x22，令a-1 0，即 a1【知识模块】 二次型13 【正确答案】 (1)由于 A 是实对称矩阵，它的代数余子式 Aij=Aij， ，j ，并且A-1 也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是 AijA ，于是 f(x1，
17、2，x n)=XTA-1X(2)A -1 的特征值和 A 的特征值互为倒数关系，因此 A-1 和 A 的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而 A-1 和 A 合同，f(x 1，x 2，x n)和 XTAX 有相同的规范形【知识模块】 二次型14 【正确答案】 用惯性指数，看它们的正负惯性指数是否都一样B 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 1A 的惯性指数可通过对二次型 XTAX 进行配方法化标准形来计算X TAX=x12+4x22-2x32-4x1x2-4x2x3=(x1-2x2)2-2x32-4x2x3=(x1-2x2)2-2(x3+x2)2+2
18、x22，令 则 XTAX=y12-2y22+2y32，于是 A 的正惯性指数也为 2，负惯性指数也为 1A 与 B 合同【知识模块】 二次型15 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)的矩阵为 记 B=则 A=B+aE求出 B 的特征多项式E-B= 3+2-2=(+2)(-1)，B 的特征值为-2，0，1，于是 A 的特征值为 a-2，a，a+1 因为f(x1，x 2，x 3)的规范形为 y2+y2 时，所以 A 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 0，于是 A 的特征值 2 个正，1 个 0，因此 a=2【知识模块】 二次型16 【正确答案】 就是看 a 为什么数时它们的矩阵合同写出这两个
19、二次型的矩阵B 的特征值是 2 正 1 负又看出 1 是 A 的特征值，于是 A 的另两个特征值应该 1 正 1 负，即A0求得A=6-a 2，于是a 满足的条件应该为：【知识模块】 二次型17 【正确答案】 此题用特征值较简单 设 A 的特征值为 1， 2， n，则 A+E的特征值为 1+1， 2+1， n+1 因为 A 正定，所以i0， i+11(i=1，2，n)于是 A+E =( 1+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 二次型18 【正确答案】 用顺序主子式此二次型的矩阵 它的顺序主子式的值依次为 1，4- 2，4(2- 2)于是， 应满足条件 4-20，2- 20，解出 (-2，
20、1)时二次型正定【知识模块】 二次型19 【正确答案】 记 y1=x1+a1x2，y 2=x2+a2x3，y n=xn+anx1，则简记为 Y=AX则 f(x1，x 2，x n)=YTY=XTATAX于是，实对称矩阵 ATA 就是 f(x1，x 2，x n)的矩阵从而 f 正定就是 ATA 正定 A TA 正定的充要条件是 A 可逆计算出A =1+(-1) n-1a1a2an于是，f 正定的充要条件为 a1a2an(-1)n【知识模块】 二次型20 【正确答案】 (1)A 是实对称矩阵，它可相似对角化，从而 B 也可相似对角化，并且以 B 的特征值为对角线上元素的对角矩阵和 B 相似求 B 的
21、特征值：E-A=(-2) 2，A 的特征值为 0，2，2，于是 B 的特征值为 k2 和(k+2) 2，(k+2) 2令D= 则 BD(2) 当 k 为0 和-2 的实数时，B 是实对称矩阵，并且特征值都大于 0，从而此时 B 正定【知识模块】 二次型21 【正确答案】 用正定的定义证明 显然 ATA，B TB 都是 n 阶的实对称矩阵，从而 ATA+BTB 也是 n 阶实对称矩阵 由于 r(A+B)=n，n 元齐次线性方程组(A+B)X=0没有非零解.于是，当 是一个非零 n 维实的列向量时，(A+n)a0，因此 A与 B不会全是零向量，从而 T(ATA+BTB)=TATA+TBTB=A2+
22、B200根据定义，A TA+BTB 正定【知识模块】 二次型22 【正确答案】 “ ”BTAB 是 n 阶正定矩阵，则 r(BTAB)=n，从而 r(B)=n“ ”显然 BTAB 是实矩阵，并且(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，因此，B TAB 是实对称矩阵因为 r(B)=n，所以齐次线性方程组 BX=0 只有零解，即若 X 是 n 维非零实列向量，则 BX0再由 A 的正定性，得到 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0由定义知，BTAB 正定【知识模块】 二次型23 【正确答案】 (1)因为 A 是实对称矩阵，所以 A 的特征值都是实数 假设 A 是A 的一个特征值，则
23、2+2是 A2+2A 的特征值而 A2+2A=0，因此 2+2=0，故=0或-2又因为 r(A-0E)=r(A)=2，特征值 0 的重数为 3-r(A-0E)=1，所以-2 是 A的二重特征值A 的特征值为 0，-2，-2 (2)A+kE 的特征值为后，k-2，k-2于是当 k2 时，实对称矩阵 A+kE 的特征值全大于 0，从而 A+kE 是正定矩阵当k2时，A+kE 的特征值不全大于 0，此时 A+kE 不正定【知识模块】 二次型24 【正确答案】 (1)因为 A 正定，所以存在实可逆矩阵 P，使得 P1TAP1=E作B1=P1TBP1，则 B1 仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵 Q，使得
24、 QTBQ 是对角矩阵令 P=P1Q，则 P TAP=QTP1TAP1Q=E，P TBP=QTP1TBP1Q=QTB1Q因此 P 即所求 (2)设对 (1)中求得的可逆矩阵 P，对角矩阵 PTBP 对角线上的元素依次为1， 2， n，记 M=max 1， 2， n 则当1M 时，E+PTBP 仍是实对角矩阵，且对角线上元素 1+i0，i=1，2，n于是E+PTBP 正定，P T(A+B)P=E+PTBP，因此 A+B也正定【知识模块】 二次型25 【正确答案】 显然 C 是实对称矩阵 A，B 都是实对称矩阵E m+n-C=E m-AE n-B于是 A，B 的特征值合起来就是 C 的特征值如果 C 正定，则 C 的特征值都大于 0，从而 A，B 的特征值都大于0，A，B 都正定反之，如果 A，B 都正定，则 A，B 的特征值都大于 0，从而 C的特征值都大于 0，C 正定【知识模块】 二次型26 【正确答案】 (1)P TDP=(2)因为 D 为正定矩阵，P 是实可逆矩阵，所以 PTDP 正定于是由上例的结果，得 B-CTA-1C 正定【知识模块】 二次型
