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【考研类试卷】考研数学二(向量)模拟试卷13及答案解析.doc

1、考研数学二(向量)模拟试卷 13 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设向量组: 1 , 2 , r 可由向量组: 1 , 2 , s 线性表示,则( )(分数:2.00)A.当 rs 时,向量组必线性相关。B.当 rs 时,向量组必线性相关。C.当 rs 时,向量组必线性相关。D.当 rs 时,向量组必线性相关。3.设 1 =(1,2,3,1) T , 2 =(3,4,7,一 1) T , 3 =(2,6,a,6) T , 4 =(0,1,3,a)

2、 T ,那么 a=8 是 1 , 2 , 3 , 4 线性相关的( )(分数:2.00)A.充分必要条件。B.充分而非必要条件。C.必要而非充分条件。D.既不充分也非必要条件。4.向量组 1 , 2 , n 线性无关的充分条件是( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , n 均不为零向量。B. 1 , 2 , n 中任意两个向量的分量不成比例。C. 1 , 2 , n 中任意一个向量均不能由其余 n 一 1 个向量线性表示。D. 1 , 2 , n 中有一部分向量线性无关。5.设 1 , 2 , s 均为 n 维向量,下列结论中不正确的是( )(分数:2.00)A.若对于任意一组不全为零的数

3、 k 1 ,k 2 ,k s ,都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0,则 1 , 2 , s 线性无关。B.若 1 , 2 , s 线性相关,则对于任意一组不全为零的数后。k 1 ,k 2 ,k s ,都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0。C. 1 , 2 , s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s。D. 1 , 2 , s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。6.已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则向量组( )(分数:2.00)A. 1 一 2 , 2 一 3 , 3 一 4 , 4 一 1 线性无关。B. 1 + 2 , 2 +

4、3 , 3 + 4 , 4 + 1 线性无关。C. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 一 1 线性无关。D. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 一 4 , 4 一 1 线性无关。7.已知四维向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,且向量 1 = 1 + 3 + 4 , 2 = 2 一 4 , 3 = 3 + 4 , 4 = 2 + 3 , 5 =2 1 + 2 + 3 。则 r( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )=( )(分数:2.00)A.1。B.2。C.3。D.4。8.已知 1 , 2 , 3 , 4 是三维非零列向量,则下列结论 若 4 不能由 1 , 2

5、 , 3 线性表出,则 1 , 2 , 3 线性相关; 若 1 , 2 , 3 线性相关, 2 , 3 , 4 线性相关,则 1 , 2 , 4 也线性相关; 若 r( 1 , 1 + 2 , 2 + 3 )=r( 4 , 1 + 4 , 2 + 4 , 3 + 4 ),则 4 可以由 1 , 2 , 3 线性表出。 其中正确的个数是( )(分数:2.00)A.0。B.1。C.2。D.3。9.设 1 , 2 , s 均为 n 维列向量,A 是 mn 矩阵,下列选项正确的是( )(分数:2.00)A.若 1 , 2 , s 线性相关,则 A 1 ,A 2 ,A s 线性相关。B.若 1 , 2

6、, s 线性相关,则 A 1 ,A 2 ,A s 线性无关。C.若 1 , 2 , s 线性无关,则 A 1 ,A 2 ,A s 线性相关。D.若 1 , 2 , s 线性无关,则 A 1 ,A 2 ,A s 线性无关。10.设 A=( 1 , 2 , n ),B=( 1 , 2 , n ),AB=( 1 , 2 , n )。记向量组、(I) 1 , 2 , n ,向量组() 1 , 2 , n ,向量组() 1 , 2 , n 。已知向量组()线性相关,则有( )(分数:2.00)A.向量组()、()均线性相关。B.向量组(I)、()中至少有一个线性相关。C.向量组()一定线性相关。D.向量

7、组()一定线性相关。11.假设 A 是 n 阶方阵,其秩 r(A)n,那么在 A 的 n 个行向量中( )(分数:2.00)A.必有 r 个行向量线性无关。B.任意 r 个行向量线性无关。C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组。D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示。二、填空题(总题数:4,分数:8.00)12.设 1 =(1,2,1) T , 2 =(2,3,a) T , 3 =(1,a+2,一 2) T ,若 1 =(1,3,4) T 可以由 1 , 2 , 3 线性表示,但是 2 =(0,1,2) T 不可以由 1 , 2 , 3 线性表示,则a= 1。(分数:2.

8、00)填空项 1:_13.已知 r( 1 , 2 , s )=r( 1 , 2 , s ,)=m,r( 1 , 2 , s ,)=m+1,则 r( 1 , 2 , s ,)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_14.向量组 1 =(1,一 2,0,3) T , 2 =(2,一 5,一 3,6) T , 3 =(0,1,3,0) T , 4 =(2,一 1,4,7) T 的一个极大线性无关组是 1。(分数:2.00)填空项 1:_15.与 1 =(1,2,3,一 1) T , 2 =(0,1,1,2) T , 3 =(2,1,3,0) T 都正交的单位向量是 1。(分数:2.00)填空项 1:

9、_三、解答题(总题数:9,分数:24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设向量组 1 =(a,0,10) T , 2 =(一 2,1,5) T , 3 =(一 1,1,4) T ,=(1,b,c) T ,试问:当 a,b,c 满足什么条件时,(分数:6.00)(1). 可由 1 , 2 , 3 线性表出,且表示唯一;(分数:2.00)_(2). 不可由 1 , 2 , 3 线性表出;(分数:2.00)_(3). 可由 1 , 2 , 3 线性表出,但表示不唯一,求出一般表达式。(分数:2.00)_17.设向量组() 1 =(1,0,2) T , 2 =(1,1,3)

10、T , 3 =(1,一 1,a+2) T 和向量组() 1 =(1,2,a+3) T , 2 =(2,1,a+6) T , 3 =(2,1,a+4) T 。试问:当 a 为何值时,向量组()与()等价?当 a 为何值时,向量组()与()不等价?(分数:2.00)_18.设向量组 a 1 ,a 2 ,a m 线性相关,且 a 1 0,证明存在某个向量 a K (2km),使 a k 能由 a 1 ,a 2 ,a k1 线性表示。(分数:2.00)_已知 r(a 1 ,a 2 ,a 3 )=2,r(a 2 ,a 3 ,a 4 )=3,证明:(分数:4.00)(1).a 1 能由 a 2 ,a 3

11、线性表示;(分数:2.00)_(2).a 4 不能由 a 1 ,a 2 ,a 3 线性表示。(分数:2.00)_19.设向量组 a 1 ,a 2 线性无关,向量组 a 1 +b,a 2 +b 线性相关,证明:向量 b 能由向量组 a 1 ,a 2 线性表示。(分数:2.00)_20.设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k,使线性方程组 A k x=0 有解向量 ,且 A k1 0。证明:向量组 ,A,A k1 是线性无关的。(分数:2.00)_ * 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解, 1 , nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明:(分数:4.00)(1). * , 1 ,

12、nr 线性无关;(分数:2.00)_(2). * , * + 1 ,+ * nr 线性无关。(分数:2.00)_21.设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r, 1 , nr1 是它的 nr+1 个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k nr1 nr1 ,其中 k 1 +k nr1 =1。(分数:2.00)_考研数学二(向量)模拟试卷 13 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设向量组: 1 , 2 , r 可由向量

13、组: 1 , 2 , s 线性表示,则( )(分数:2.00)A.当 rs 时,向量组必线性相关。B.当 rs 时,向量组必线性相关。C.当 rs 时,向量组必线性相关。D.当 rs 时,向量组必线性相关。 解析:解析:因为向量组可由向量组线性表示,故 r()r()s。又因为当 rs 时,必有 r()r,即向量组的秩小于其所含向量的个数,此时向量组必线性相关,所以应选 D。3.设 1 =(1,2,3,1) T , 2 =(3,4,7,一 1) T , 3 =(2,6,a,6) T , 4 =(0,1,3,a) T ,那么 a=8 是 1 , 2 , 3 , 4 线性相关的( )(分数:2.00

14、)A.充分必要条件。B.充分而非必要条件。 C.必要而非充分条件。D.既不充分也非必要条件。解析:解析:n 个 n 维向量线性相关性一般用行列式 1 , 2 , n 是否为零去判断。 因为 1 , 2 , 3 , 4 = 4.向量组 1 , 2 , n 线性无关的充分条件是( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , n 均不为零向量。B. 1 , 2 , n 中任意两个向量的分量不成比例。C. 1 , 2 , n 中任意一个向量均不能由其余 n 一 1 个向量线性表示。 D. 1 , 2 , n 中有一部分向量线性无关。解析:解析:选项 A,B,D 均是向量组 1 , 2 , n 线性无关的

15、必要条件,不是充分条件。由排除法可知选 C。 例如取 1 =(1,0), 2 =(0,1), 3 =(1,1),则向量组 1 , 2 , 3 满足选项 A,B,D 中的条件,但 1 + 2 一 3 =0,即向量组 1 , 2 , 3 线性相关。5.设 1 , 2 , s 均为 n 维向量,下列结论中不正确的是( )(分数:2.00)A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s ,都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0,则 1 , 2 , s 线性无关。B.若 1 , 2 , s 线性相关,则对于任意一组不全为零的数后。k 1 ,k 2 ,k s ,都有 k 1 1 +k

16、 2 2 +k s s =0。 C. 1 , 2 , s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s。D. 1 , 2 , s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。解析:解析:对于选项 A,因为齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 只有零解,故 1 , 2 , s 线性无关,选项 A 正确。 对于选项 B,由 1 , 2 , s 线性相关知,齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 存在非零解,但该方程组存在非零解,并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解,因此选项 B 是错误的。 选项 C 是教材中的定理。 由“无关组减向量仍无关”(线性

17、无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项 D 也是正确的。综上可知,应选 B。6.已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则向量组( )(分数:2.00)A. 1 一 2 , 2 一 3 , 3 一 4 , 4 一 1 线性无关。B. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 线性无关。C. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 一 1 线性无关。 D. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 一 4 , 4 一 1 线性无关。解析:解析:排除法。 通过观察可知 ( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0, (

18、1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 + 4 )一( 4 + 1 )=0, ( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0, 即选项 A,B,D 中的向量组均线性相关,所以选 C。7.已知四维向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,且向量 1 = 1 + 3 + 4 , 2 = 2 一 4 , 3 = 3 + 4 , 4 = 2 + 3 , 5 =2 1 + 2 + 3 。则 r( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )=( )(分数:2.00)A.1。B.2。C.3。 D.4。解析:解析:将表示关系合并成矩阵形式有 ( 1 , 2 , 3 ,

19、4 , 5 )=( 1 , 2 , 3 , 4 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 )C。 因四个四维向量 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,故 1 , 2 , 3 , 4 0,即 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )是可逆矩阵。A 左乘 C,即对C 作若干次初等行变换,故有 r(C)=r(AC)=r( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ),而 8.已知 1 , 2 , 3 , 4 是三维非零列向量,则下列结论 若 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出,则 1 , 2 , 3 线性相关; 若 1 , 2 , 3 线性相关, 2 , 3 , 4 线性相关,则 1 , 2 , 4 也线

20、性相关; 若 r( 1 , 1 + 2 , 2 + 3 )=r( 4 , 1 + 4 , 2 + 4 , 3 + 4 ),则 4 可以由 1 , 2 , 3 线性表出。 其中正确的个数是( )(分数:2.00)A.0。B.1。C.2。 D.3。解析:解析:因为 1 , 2 , 3 , 4 是三维非零列向量,所以 1 , 2 , 3 , 4 必线性相关。 若 1 , 2 , 3 线性无关,则 4 必能由 1 , 2 , 3 线性表示,可知结论正确。 令 1 =(1,0,0) T , 2 =(0,1,0) T , 3 =(0,2,0) T , 4 =(0,0,1) T ,则 1 , 2 , 3 线

21、性相关, 2 , 3 , 4 线性相关,但 1 , 2 , 4 线性无关,可知结论错误。 由于( 1 , 1 + 2 , 2 + 3 )( 1 , 2 , 2 + 3 )( 1 , 2 , 3 ), ( 4 , 1 + 4 , 2 + 4 , 3 + 4 )( 4 , 1 , 2 , 3 )( 1 , 2 , 3 , 4 ), 所以 r( 1 , 1 + 2 , 2 + 3 )=r( 1 , 2 , 3 ),r( 4 , 1 + 4 , 2 + 4 , 3 + 4 )=r( 1 , 2 , 3 , 4 ), 则当 r( 1 , 1 + 2 , 2 + 3 )=r( 4 , 1 + 4 , 2

22、+ 4 , 3 + 4 )时,可得 r( 1 , 2 , 3 )=r( 1 , 2 , 3 , 4 ),因此 4 可以由 1 , 2 , 3 线性表示。可知结论正确。所以选 C。9.设 1 , 2 , s 均为 n 维列向量,A 是 mn 矩阵,下列选项正确的是( )(分数:2.00)A.若 1 , 2 , s 线性相关,则 A 1 ,A 2 ,A s 线性相关。 B.若 1 , 2 , s 线性相关,则 A 1 ,A 2 ,A s 线性无关。C.若 1 , 2 , s 线性无关,则 A 1 ,A 2 ,A s 线性相关。D.若 1 , 2 , s 线性无关,则 A 1 ,A 2 ,A s 线

23、性无关。解析:解析:记 B=( 1 , 2 , s ),则(A 1 ,A 2 ,A s )=AB。 若向量组 1 , 2 , s 线性相关,则 r(B)s,从而 r(AB)r(B)s,向量组 A 1 ,A 2 ,A 3 ,也线性相关,故应选 A。10.设 A=( 1 , 2 , n ),B=( 1 , 2 , n ),AB=( 1 , 2 , n )。记向量组、(I) 1 , 2 , n ,向量组() 1 , 2 , n ,向量组() 1 , 2 , n 。已知向量组()线性相关,则有( )(分数:2.00)A.向量组()、()均线性相关。B.向量组(I)、()中至少有一个线性相关。 C.向量

24、组()一定线性相关。D.向量组()一定线性相关。解析:解析:向量组()线性相关,也即 r(AB)n,可知矩阵 A,B 中至少有一个不是满秩的。因为若A,B 均满秩,则矩阵 AB 也满秩,此时向量组()线性无关,这与题设矛盾。所以向量组()、()中至少有一个是线性相关的。故选 B。11.假设 A 是 n 阶方阵,其秩 r(A)n,那么在 A 的 n 个行向量中( )(分数:2.00)A.必有 r 个行向量线性无关。 B.任意 r 个行向量线性无关。C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组。D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示。解析:解析:由矩阵秩的定义可知,A 的 n 个行

25、向量组成的向量组的秩也为 r,再由向量组秩的定义,这n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量,所以应选 A。二、填空题(总题数:4,分数:8.00)12.设 1 =(1,2,1) T , 2 =(2,3,a) T , 3 =(1,a+2,一 2) T ,若 1 =(1,3,4) T 可以由 1 , 2 , 3 线性表示,但是 2 =(0,1,2) T 不可以由 1 , 2 , 3 线性表示,则a= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 1)解析:解析:根据题意, 1 (1,3,4) T 可以由 1 , 2 , 3 线性表示,则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x

26、3 3 = 1 有解, 2 =(0,1,2) T 不可以由 1 , 2 , 3 线性表示,则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 2 无解,由于两个方程组的系数矩阵相同,因此可以合并一起作矩阵的初等变换,即 13.已知 r( 1 , 2 , s )=r( 1 , 2 , s ,)=m,r( 1 , 2 , s ,)=m+1,则 r( 1 , 2 , s ,)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:m+l)解析:解析:已知 r( 1 , 2 , s )=r( 1 , 2 , s ,)=m,表明向量 可以由向量组 1 , 2 , s 线性表示,但是 r( 1

27、, 2 , s ,)=m+1,则表明向量 不能由向量组 1 , 2 , s 线性表示,因此通过对向量组 1 , 2 , s , 作初等列变换,可得 ( 1 , 2 , s ,)=( 1 , 2 , s ,0,),因此可得 r( 1 , 2 , s ,)=m+1。14.向量组 1 =(1,一 2,0,3) T , 2 =(2,一 5,一 3,6) T , 3 =(0,1,3,0) T , 4 =(2,一 1,4,7) T 的一个极大线性无关组是 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: 1 , 2 , 4)解析:解析:用已知向量组组成一个矩阵,对矩阵作初等行变换,则有 ( 1

28、 , 2 , 3 , 4 )= 15.与 1 =(1,2,3,一 1) T , 2 =(0,1,1,2) T , 3 =(2,1,3,0) T 都正交的单位向量是 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:设 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) T 与 1 , 2 , 3 均正交,则 对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换,有 得到基础解系是(一 1,一 1,1,0) T ,将这个向量单位化得 三、解答题(总题数:9,分数:24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:设向量组 1 =(a,0,10) T , 2 =(一

29、 2,1,5) T , 3 =(一 1,1,4) T ,=(1,b,c) T ,试问:当 a,b,c 满足什么条件时,(分数:6.00)(1). 可由 1 , 2 , 3 线性表出,且表示唯一;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:考虑线性方程组 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =, (1) 记其系数矩阵 A=( 1 , 2 , 3 )。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换,即 (A,)= )解析:(2). 不可由 1 , 2 , 3 线性表出;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 a=一 10,且 C3b1 时, (A,) )解析:(3). 可由 1 , 2 , 3 线性

30、表出,但表示不唯一,求出一般表达式。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 a=一 10,且 c=3b 一 1 时, (A,) , 可知 r(A)=r(A,)=2,此时方程组(1)有无穷多解,其全部解为 k 1 = ,k 2 =l,k 3 =bl,其中 l 为任意常数。 可由 1 , 2 , 3 线性表出,但表示不唯一,其一般表达式为 = )解析:17.设向量组() 1 =(1,0,2) T , 2 =(1,1,3) T , 3 =(1,一 1,a+2) T 和向量组() 1 =(1,2,a+3) T , 2 =(2,1,a+6) T , 3 =(2,1,a+4) T 。试问:当 a 为

31、何值时,向量组()与()等价?当 a 为何值时,向量组()与()不等价?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对矩阵( 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 )作初等行变换,有 当 a一 1 时,行列式 1 , 2 , 3 =a+10,由克拉默法则可知线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = i (i=1,2,3)均有唯一解,此时向量组()可由向量组()线性表示。同理,由行列式 1 , 2 , 3 =60,可知向量组()也可由向量组()线性表示。向量组()与()等价。 当 a=一 1 时,有 )解析:18.设向量组 a 1 ,a 2 ,a m 线性相关,且 a 1 0,证明

32、存在某个向量 a K (2km),使 a k 能由 a 1 ,a 2 ,a k1 线性表示。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为向量组 a 1 ,a 2 ,a m 线性相关,由定义知,存在不全为零的数 1 , 2 , m ,使 1 a 1 + 2 a 2 + m a m =0。 因 1 , 2 , m 不全为零,所以必存在 k,使得 k 0,且 k1 = m =0。 当 k=1 时,代入上式有 1 a 1 =0。又因为 a 1 0,所以 1 =0,与假设矛盾,故 k1。 当 k 0 且 k2 时,有 a k = )解析:已知 r(a 1 ,a 2 ,a 3 )=2,r(a 2 ,a

33、3 ,a 4 )=3,证明:(分数:4.00)(1).a 1 能由 a 2 ,a 3 线性表示;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:r(a 1 ,a 2 ,a 3 )=23 a 1 ,a 2 ,a 3 线性相关; 假设 a 1 不能由 a 2 ,a 3 线性表示,则 a 2 ,a 3 线性相关。 而由 r(a 2 ,a 3 ,a 4 )=3 a 2 ,a 3 ,a 4 线性无关 )解析:(2).a 4 不能由 a 1 ,a 2 ,a 3 线性表示。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由上问的结论,a 1 可由 a 2 ,a 3 线性表示,则若 a 4 能由 a 1 ,a 2 ,a

34、3 线性表示 )解析:19.设向量组 a 1 ,a 2 线性无关,向量组 a 1 +b,a 2 +b 线性相关,证明:向量 b 能由向量组 a 1 ,a 2 线性表示。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 a 1 ,a 2 线性无关,a 1 +b,a 2 +b 线性相关,所以 b0,且存在不全为零的常数 k 1 ,k 2 ,使 k 1 (a 1 +b)+k 2 (a 2 +b)=0,则有(k 1 +k 2 )b=一 k 1 a 1 k 2 a 2 。 又因为 a 1 ,a 2 线性无关,若 k 1 a 1 +k 2 a 2 =0,则 k 1 =k 2 =0,这与 k 1 ,k 2 不

35、全为零矛盾,于是有 k 1 a 1 +k 2 a 2 0,(k 1 +k 2 )b0。 综上 k 1 +k 2 0,因此由(k 1 +k 2 )b=一 ka 1 一 k 2 a 2 得 b= )解析:20.设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k,使线性方程组 A k x=0 有解向量 ,且 A k1 0。证明:向量组 ,A,A k1 是线性无关的。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设有常数 0 , 1 , k1 使得 0 + 1 A+ k1 A k1 =0, 则有 A k1 ( 0 + 1 A+ k1 A k1 )=0, 从而得到 0 A k1 =0。由题设 A k1 0,所以 0

36、=0。 类似地可以证明 1 = 2 = k1 =0,因此向量组 ,A,A k1 是线性无关的。)解析: * 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解, 1 , nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明:(分数:4.00)(1). * , 1 , nr 线性无关;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:假设 * , 1 , nr 线性相关,则存在不全为零的数 c 0 ,c 1 ,c nr 使得 c 0 * +c 1 1 +c nr nr =0, (1) 用矩阵 A 左乘上式两边,得 0=A(c 0 * +c 1 1 +c nr nr )=c 0 A * +c 1 A 1 +c n A nr =c 0 b, 其中 b0,则 c 0 =0,于是(1)式变为 c 1 1 +c nr nr =0, 1 , nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故 1 , nr 线性无关,因此 c 1 =c 2 =c nr =0,与假设矛盾。 所以 * , 1 , nr 线性无关。)解析:(2). * , * + 1 ,+ * nr 线性无关。(分数:2.00)_

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