1、考研数学二（向量）模拟试卷 13 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关。B.当 rs 时，向量组必线性相关。C.当 rs 时，向量组必线性相关。D.当 rs 时，向量组必线性相关。3.设 1 =(1，2，3，1) T ， 2 =(3，4，7，一 1) T ， 3 =(2，6，a，6) T ， 4 =(0，1，3，a)
2、 T ，那么 a=8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.充分而非必要条件。C.必要而非充分条件。D.既不充分也非必要条件。4.向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， n 均不为零向量。B. 1 ， 2 ， n 中任意两个向量的分量不成比例。C. 1 ， 2 ， n 中任意一个向量均不能由其余 n 一 1 个向量线性表示。D. 1 ， 2 ， n 中有一部分向量线性无关。5.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数
3、 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关。B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数后。k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0。C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s。D. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。6.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关。B. 1 + 2 ， 2 +
4、3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关。C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关。D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关。7.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 一 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 。则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。8.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1 ， 2
5、 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 若 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 其中正确的个数是( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。9.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。B.若 1 ， 2
6、， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。10.设 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )。记向量组、(I) 1 ， 2 ， n ，向量组() 1 ， 2 ， n ，向量组() 1 ， 2 ， n 。已知向量组()线性相关，则有( )（分数：2.00）A.向量组()、()均线性相关。B.向量组(I)、()中至少有一个线性相关。C.向量组()一定线性相关。D.向量
7、组()一定线性相关。11.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关。B.任意 r 个行向量线性无关。C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组。D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示。二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.设 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，一 2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 =(0，1，2) T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则a= 1。（分数：2.
8、00）填空项 1:_13.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=m，r( 1 ， 2 ， s ，)=m+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.向量组 1 =(1，一 2，0，3) T ， 2 =(2，一 5，一 3，6) T ， 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，一 1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.与 1 =(1，2，3，一 1) T ， 2 =(0，1，1，2) T ， 3 =(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:
9、_三、解答题(总题数：9，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设向量组 1 =(a，0，10) T ， 2 =(一 2，1，5) T ， 3 =(一 1，1，4) T ，=(1，b，c) T ，试问：当 a，b，c 满足什么条件时，（分数：6.00）(1). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表示唯一；（分数：2.00）_(2). 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表出；（分数：2.00）_(3). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。（分数：2.00）_17.设向量组() 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3)
10、T ， 3 =(1，一 1，a+2) T 和向量组() 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 。试问：当 a 为何值时，向量组()与()等价?当 a 为何值时，向量组()与()不等价?（分数：2.00）_18.设向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，且 a 1 0，证明存在某个向量 a K (2km)，使 a k 能由 a 1 ，a 2 ，a k1 线性表示。（分数：2.00）_已知 r(a 1 ，a 2 ，a 3 )=2，r(a 2 ，a 3 ，a 4 )=3，证明：（分数：4.00）(1).a 1 能由 a 2 ，a 3
11、线性表示；（分数：2.00）_(2).a 4 不能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示。（分数：2.00）_19.设向量组 a 1 ，a 2 线性无关，向量组 a 1 +b，a 2 +b 线性相关，证明：向量 b 能由向量组 a 1 ，a 2 线性表示。（分数：2.00）_20.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k1 0。证明：向量组 ，A，A k1 是线性无关的。（分数：2.00）_ * 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1 ， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：（分数：4.00）(1). * ， 1 ，
12、nr 线性无关；（分数：2.00）_(2). * ， * + 1 ，+ * nr 线性无关。（分数：2.00）_21.设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r， 1 ， nr1 是它的 nr+1 个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k nr1 nr1 ，其中 k 1 +k nr1 =1。（分数：2.00）_考研数学二（向量）模拟试卷 13 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量
13、组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关。B.当 rs 时，向量组必线性相关。C.当 rs 时，向量组必线性相关。D.当 rs 时，向量组必线性相关。 解析：解析：因为向量组可由向量组线性表示，故 r()r()s。又因为当 rs 时，必有 r()r，即向量组的秩小于其所含向量的个数，此时向量组必线性相关，所以应选 D。3.设 1 =(1，2，3，1) T ， 2 =(3，4，7，一 1) T ， 3 =(2，6，a，6) T ， 4 =(0，1，3，a) T ，那么 a=8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的( )（分数：2.00
14、）A.充分必要条件。B.充分而非必要条件。 C.必要而非充分条件。D.既不充分也非必要条件。解析：解析：n 个 n 维向量线性相关性一般用行列式 1 ， 2 ， n 是否为零去判断。 因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 = 4.向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， n 均不为零向量。B. 1 ， 2 ， n 中任意两个向量的分量不成比例。C. 1 ， 2 ， n 中任意一个向量均不能由其余 n 一 1 个向量线性表示。 D. 1 ， 2 ， n 中有一部分向量线性无关。解析：解析：选项 A，B，D 均是向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的
15、必要条件，不是充分条件。由排除法可知选 C。 例如取 1 =(1，0)， 2 =(0，1)， 3 =(1，1)，则向量组 1 ， 2 ， 3 满足选项 A，B，D 中的条件，但 1 + 2 一 3 =0，即向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关。5.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关。B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数后。k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k
16、 2 2 +k s s =0。 C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s。D. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。解析：解析：对于选项 A，因为齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 只有零解，故 1 ， 2 ， s 线性无关，选项 A 正确。 对于选项 B，由 1 ， 2 ， s 线性相关知，齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的。 选项 C 是教材中的定理。 由“无关组减向量仍无关”(线性
17、无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项 D 也是正确的。综上可知，应选 B。6.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关。C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关。 D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关。解析：解析：排除法。 通过观察可知 ( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0， (
18、1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 + 4 )一( 4 + 1 )=0， ( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0， 即选项 A，B，D 中的向量组均线性相关，所以选 C。7.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 一 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 。则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。 D.4。解析：解析：将表示关系合并成矩阵形式有 ( 1 ， 2 ， 3 ，
19、4 ， 5 )=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )C。 因四个四维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，故 1 ， 2 ， 3 ， 4 0，即 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是可逆矩阵。A 左乘 C，即对C 作若干次初等行变换，故有 r(C)=r(AC)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，而 8.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线
20、性相关； 若 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 其中正确的个数是( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。 D.3。解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零列向量，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 必线性相关。 若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 必能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，可知结论正确。 令 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，1，0) T ， 3 =(0，2，0) T ， 4 =(0，0，1) T ，则 1 ， 2 ， 3 线
21、性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，但 1 ， 2 ， 4 线性无关，可知结论错误。 由于( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )( 1 ， 2 ， 2 + 3 )( 1 ， 2 ， 3 )， ( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )( 4 ， 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 所以 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )，r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 则当 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2
22、+ 4 ， 3 + 4 )时，可得 r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，因此 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示。可知结论正确。所以选 C。9.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。 B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线
23、性无关。解析：解析：记 B=( 1 ， 2 ， s )，则(A 1 ，A 2 ，A s )=AB。 若向量组 1 ， 2 ， s 线性相关，则 r(B)s，从而 r(AB)r(B)s，向量组 A 1 ，A 2 ，A 3 ，也线性相关，故应选 A。10.设 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )。记向量组、(I) 1 ， 2 ， n ，向量组() 1 ， 2 ， n ，向量组() 1 ， 2 ， n 。已知向量组()线性相关，则有( )（分数：2.00）A.向量组()、()均线性相关。B.向量组(I)、()中至少有一个线性相关。 C.向量
24、组()一定线性相关。D.向量组()一定线性相关。解析：解析：向量组()线性相关，也即 r(AB)n，可知矩阵 A，B 中至少有一个不是满秩的。因为若A，B 均满秩，则矩阵 AB 也满秩，此时向量组()线性无关，这与题设矛盾。所以向量组()、()中至少有一个是线性相关的。故选 B。11.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关。 B.任意 r 个行向量线性无关。C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组。D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示。解析：解析：由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行
25、向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A。二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.设 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，一 2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 =(0，1，2) T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：根据题意， 1 (1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x
26、3 3 = 1 有解， 2 =(0，1，2) T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即 13.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=m，r( 1 ， 2 ， s ，)=m+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：m+l）解析：解析：已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=m，表明向量 可以由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，但是 r( 1
27、， 2 ， s ，)=m+1，则表明向量 不能由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，因此通过对向量组 1 ， 2 ， s ， 作初等列变换，可得 ( 1 ， 2 ， s ，)=( 1 ， 2 ， s ，0，)，因此可得 r( 1 ， 2 ， s ，)=m+1。14.向量组 1 =(1，一 2，0，3) T ， 2 =(2，一 5，一 3，6) T ， 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，一 1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 ， 2 ， 4）解析：解析：用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有 ( 1
28、 ， 2 ， 3 ， 4 )= 15.与 1 =(1，2，3，一 1) T ， 2 =(0，1，1，2) T ， 3 =(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，则 对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是(一 1，一 1，1，0) T ，将这个向量单位化得 三、解答题(总题数：9，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设向量组 1 =(a，0，10) T ， 2 =(一
29、 2，1，5) T ， 3 =(一 1，1，4) T ，=(1，b，c) T ，试问：当 a，b，c 满足什么条件时，（分数：6.00）(1). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表示唯一；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑线性方程组 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =， (1) 记其系数矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换，即 (A，)= )解析：(2). 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表出；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=一 10，且 C3b1 时， (A，) )解析：(3). 可由 1 ， 2 ， 3 线性
30、表出，但表示不唯一，求出一般表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=一 10，且 c=3b 一 1 时， (A，) ， 可知 r(A)=r(A，)=2，此时方程组(1)有无穷多解，其全部解为 k 1 = ，k 2 =l，k 3 =bl，其中 l 为任意常数。 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为 = )解析：17.设向量组() 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，一 1，a+2) T 和向量组() 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 。试问：当 a 为
31、何值时，向量组()与()等价?当 a 为何值时，向量组()与()不等价?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵( 1 ， 2 ， 3 1 ， 2 ， 3 )作初等行变换，有 当 a一 1 时，行列式 1 ， 2 ， 3 =a+10，由克拉默法则可知线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = i (i=1，2，3)均有唯一解，此时向量组()可由向量组()线性表示。同理，由行列式 1 ， 2 ， 3 =60，可知向量组()也可由向量组()线性表示。向量组()与()等价。 当 a=一 1 时，有 )解析：18.设向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，且 a 1 0，证明
32、存在某个向量 a K (2km)，使 a k 能由 a 1 ，a 2 ，a k1 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1 ， 2 ， m ，使 1 a 1 + 2 a 2 + m a m =0。 因 1 ， 2 ， m 不全为零，所以必存在 k，使得 k 0，且 k1 = m =0。 当 k=1 时，代入上式有 1 a 1 =0。又因为 a 1 0，所以 1 =0，与假设矛盾，故 k1。 当 k 0 且 k2 时，有 a k = )解析：已知 r(a 1 ，a 2 ，a 3 )=2，r(a 2 ，a
33、3 ，a 4 )=3，证明：（分数：4.00）(1).a 1 能由 a 2 ，a 3 线性表示；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(a 1 ，a 2 ，a 3 )=23 a 1 ，a 2 ，a 3 线性相关； 假设 a 1 不能由 a 2 ，a 3 线性表示，则 a 2 ，a 3 线性相关。 而由 r(a 2 ，a 3 ，a 4 )=3 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关 )解析：(2).a 4 不能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由上问的结论，a 1 可由 a 2 ，a 3 线性表示，则若 a 4 能由 a 1 ，a 2 ，a
34、3 线性表示 )解析：19.设向量组 a 1 ，a 2 线性无关，向量组 a 1 +b，a 2 +b 线性相关，证明：向量 b 能由向量组 a 1 ，a 2 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a 1 ，a 2 线性无关，a 1 +b，a 2 +b 线性相关，所以 b0，且存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，使 k 1 (a 1 +b)+k 2 (a 2 +b)=0，则有(k 1 +k 2 )b=一 k 1 a 1 k 2 a 2 。 又因为 a 1 ，a 2 线性无关，若 k 1 a 1 +k 2 a 2 =0，则 k 1 =k 2 =0，这与 k 1 ，k 2 不
35、全为零矛盾，于是有 k 1 a 1 +k 2 a 2 0，(k 1 +k 2 )b0。 综上 k 1 +k 2 0，因此由(k 1 +k 2 )b=一 ka 1 一 k 2 a 2 得 b= )解析：20.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k1 0。证明：向量组 ，A，A k1 是线性无关的。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有常数 0 ， 1 ， k1 使得 0 + 1 A+ k1 A k1 =0， 则有 A k1 ( 0 + 1 A+ k1 A k1 )=0， 从而得到 0 A k1 =0。由题设 A k1 0，所以 0
36、=0。 类似地可以证明 1 = 2 = k1 =0，因此向量组 ，A，A k1 是线性无关的。)解析： * 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1 ， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：（分数：4.00）(1). * ， 1 ， nr 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设 * ， 1 ， nr 线性相关，则存在不全为零的数 c 0 ，c 1 ，c nr 使得 c 0 * +c 1 1 +c nr nr =0， (1) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c 0 * +c 1 1 +c nr nr )=c 0 A * +c 1 A 1 +c n A nr =c 0 b， 其中 b0，则 c 0 =0，于是(1)式变为 c 1 1 +c nr nr =0， 1 ， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1 ， nr 线性无关，因此 c 1 =c 2 =c nr =0，与假设矛盾。 所以 * ， 1 ， nr 线性无关。)解析：(2). * ， * + 1 ，+ * nr 线性无关。（分数：2.00）_
