1、考研数学二（向量）模拟试卷 15 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，则（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB=0C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB=03.咒维向量组 1 ， 2 ， m (3mn)线性无关的充要条件是（分数：2.00）A.存在一组不全为零的数是 k 1 ，k 2 ，k n ，使 k 1 1 +k 2 2 +k m n =0B. 1 ，
2、2 ， m 中的任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， m 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D. 1 ， 2 ， m 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示4.设 n 维列向量组()： 1 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组()： 1 ， m 线性无关的充分必要条件为（分数：2.00）A.向量组()可由向量组()线性表示B.向量组()可由向量组()线性表示C.向量组()与向量组()等价D.矩阵 A= 1 ， m 与矩阵 B= 1 ， m 等价5.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3
3、 + 4 ， 3 + 1B. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 - 2D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 - 16.设有向量组 1 =(1，-1，2， 2 =(0，3，1，2) 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，-2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 ， 2 ， 4C. 1 ， 2 ， 5D. 1 ， 2 ， 4 ， 37.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵则（分数
4、：2.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式都不等于零C.若矩阵 B 满足 BA=O，则 B=OD.A 通过初等行变换，必可以化为(I m ，O)的形式8.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵矩阵 A 的秩为 r，矩阵 AC 的秩为 r 1 ，则（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r 1D.r 与 r 1 的关系不定9.向量组 1 ， 2 ， m 线性相关的充分条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 均不为零向量B.矩阵 1 ， 2 ， m 的秩为 mC. 1 ， 2 ， m 中任意一个向量均不能由其余，n-1 个向量线性表
5、示D. 1 ， 2 ， m 中有一部分向量线性相关10.设 A、B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩（分数：2.00）A.必有一个等于零B.都小于 n.C.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n.11.设有任意两个 n 维向量组 1 ， 2 ， m 和 1 ， 2 ， m ，若存在两组不全为零的数 1 ， 2 ， m 和 k 1 ，k 2 ，k m ，使( 1 +k 1 ) 1 +( m +k m ) m +( 1 -k 1 ) 1 +( m -k m ) m =0，则（分数：2.00）A. 1 ， m 和 1 ， m 都线性相关B. 1 ， m 和 1 ， m 都线
6、性无关C. 1 + 1 ， m + m ， 1 - 1 ， m - m 线性无关D. 1 + 1 ， m + m ， 1 - 1 ， m - m 线性相关12.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 1 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3 C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 2 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 -3 2 -22 3 ，3 1 +5 2 -5 3 13.设 n(n3)阶矩阵 若 r(A)=n-1，则 a 必为 （分数：2.00）A.B.C.D.1
7、4.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量组 1 ， 2 ， 4 线性相关，则（分数：2.00）A. 1 必可由 2 ， 3 ， 4 线性表示B. 2 必不可由 1 ， 3 ， 4 线性表示C. 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表示D. 4 必不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示15.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能由向量组()： 1 ， 2 ， m-1 线性表示，记向量组()： 1 ， 2 ， m-1 ，则（分数：2.00）A. m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示B. m 不能由()线性表示，但可由()线性表示C. m 可由()线性表示，也可由()
8、线性表示D. m 可由()线性表示，但不可由()线性表示16.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关二、填空题(总题数：6，分数：1
9、2.00)17.若向量组 1 = （分数：2.00）填空项 1:_18.向量组 1 =(1，-a，1，1) T ， 2 =(1，1，-a，1) T ， 3 =(1，1，1，-a) T 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.若向量组()： 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，1，0) T ， 3 =(1，1，1) T 可由向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示，则向量组()的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设有矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_21.若齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_22.设向量组 1 =(2，1，1，1)， 2 =(
10、2，1，a，a)， 3 =(3，2，1，a)， 4 =(4，3，2，1)线性相关，且 a1，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，而 2 ， 3 ， 4 线性无关，问：(1) 1 能否用 2 ， 3 线性表示?并证明之；(2) 4 能否用 1 ， 2 ， 3 线性表示?并证明之（分数：2.00）_25.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵(nm)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_26.设 A
11、为 n 阶方阵，k 为正整数，线性方程组 A k X=0 有解向量 ，但 A k-1 0证明：向量组，A，A k-1 线性无关（分数：2.00）_27.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明：向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是行列式 （分数：2.00）_28.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， n 线性无关，P 为 n 阶方阵，证明：向量组 P 1 ，P 2 ，P m 线性无关 （分数：2.00）_29.设 1 =(1，1，1)， 2 =(1，2，3)， 3 =(1，3，t) (1)问 t 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关? (2)当 t 为何值
12、时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关? (3)当 1 ， 2 ， 3 线性相关时，将 1 表示为 1 和 2 的线性组合（分数：2.00）_30.设 i =(a i1 ，a i2 ，a in ) T (i=1，2，r；rn)是 n 维实向量，且 1 ， 2 ， r 线性无关已知 =(b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_31.设有向量组()： 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，-1，a+2) T 和向量组()： 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 试问：当 a 为何值时，向量组()与向量组()等价?当 a 为何值时，向量组()与()不等价?（分数：2.00）_32.设有向量组()： 1 =(1+a，1，1，1) T ， 2 =(2，2+a，2，2) T ， 3 =(3，3，3+a，3) T ， 4 =(4，4，4，4+a) T 问 a 取何值时，()线性相关?当()线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出（分数：2.00）_
