1、考研数学二（向量）模拟试卷 12 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵 A 45 =( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )经初等行变换化为阶梯形矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) （分数：2.00）A. 1 不能由 2 ， 3 ， 4 线性表示。B. 2 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表示。C. 3 不能由 1 ， 2 ， 4 线性表示。D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示。3.设
2、 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价。B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价。D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价。4.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，一 1，5) T ，(0，4，一 2) T ，(1，3，0) T ； (a，1，6，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T ； (a，1，2
3、，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T ； (1，0，3，1) T ，(一 1，3，0，一 2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，2，14，5) T 。 则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。5.下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( ) 若 1 ， 2 ， n 线性相关，则存在全不为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，使得 k 1 1 +k 2 2
4、+k n n =0。 如果 1 ， 2 ， n 线性无关，则对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k n n 0。 如果 1 ， 2 ， n 线性无关，则由 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0 可以推出 k 1 =k 2 =k n =0。 如果 1 ， 2 ， n 线性相关，则对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0。（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。6.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 一 2
5、 ， 2 一 3 ， 3 一 1 。B. 1 一 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。C. 1 + 2 ，3 1 一 5 2 ，5 1 +9 2 。D. 1 + 2 ，2 1 +3 2 +4 3 ， 1 一 2 一 2 3 。7.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。B. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 。C. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 。D. 1 + 2 ，2 2 + 3 ，3 3 + 1 。8.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ，
6、2 ， 3 ，线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关。B. 1 ， 2 ， 2 线性无关。C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关。D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关。9.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 + 与 2 +( )（分数：2.00）A.线性无关。B.线性相关。C.既线性相关又线性无关。D.不确定。10.n 维向量组 1 ， 2 ， s (3sn)线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k
7、 2 2 +k s s 0。B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量都线性无关。C. 1 ， 2 ， s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示。D. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。11.向量组 1 =(1，3，5，一 1) T ， 2 =(2，一 1，一 3，4) T ， 2 =(6，4，4，6) T ， 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 5 。B. 1 ， 3 ， 5 。C. 2 ， 3 ， 4 。D. 3 ， 4 ， 5 。二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12
8、.如果 =(1，2，t) T 可以由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(一 1，2，7) T ， 3 =(1，一 1，一 4) T 线性表示，则 t 的值是 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.任意一个三维向量都可以由 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值范围为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.已知向量组 1 =(1，2，一 1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，一 4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值范围为 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知向量组 （
9、分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.已知 1 =(1，一 1，1) T ， 2 =(1，t，一 1) T ， 3 =(t，1，2) T ，=(4，t 2 ，一 4) T ，若 可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式。（分数：2.00）_设向量组 1 =(1，0，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，3，5) T 不能由向量组 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(3，4，a) T 线性表示。（分数：4.00）(
10、1).求 a 的值；（分数：2.00）_(2).将 1 ， 2 ， 3 由 1 ， 2 ， 3 线性表示。（分数：2.00）_18.确定常数 a，使向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(1，a，1) T ， 3 =(a，1，1) T 可由向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(一 2，a，4) T ， 3 =(一 2，a，a) T 线性表示，但向量组 1 ， 2 ， 3 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示。（分数：2.00）_19.设 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示。（分数：2.00）_2
11、0.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维列向量， 1 ， 2 ， n 为任意 n 个 n 维列向量。证明： 1 ， 2 ， n 可由 1 ， 2 ， n 线性表示的充要条件是 1 ， 2 ， n 线性无关。（分数：2.00）_已知 m 个向量 1 ， m 线性相关，但其中任意 m 一 1 个向量都线性无关，证明：（分数：4.00）(1).如果等式 k 1 1 +k m m =0 成立，则系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零；（分数：2.00）_(2).如果等式 k 1 1 +k m m =0 和等式 l 1 1 +l m m =0 都成立，则 （分数：2.00）_2
12、1.已知 A 是三阶矩阵， i (i=1，2，3)是三维非零列向量，令 = 1 + 2 + 3 。若 A i =i i (i=1，2，3)，证明：，A，A 2 线性无关。（分数：2.00）_设向量 1 ， 2 ， n1 是 n 一 1 个线性无关的 n 维列向量， 1 ， 2 是与 1 ， 2 ， n1 均正交的 n 维非零列向量。证明：（分数：4.00）(1). 1 ， 2 线性相关；（分数：2.00）_(2). 1 ， 2 ， n1 1 线性无关。（分数：2.00）_22.设向量组(I)：b 1 ，b r 能由向量组()：a 1 ，a s 线性表示为(b 1 ，b r )=(a 1 ，a
13、s )K，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组()线性无关。证明向量组()线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r。（分数：2.00）_考研数学二（向量）模拟试卷 12 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵 A 45 =( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )经初等行变换化为阶梯形矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) （分数：2.00）A. 1 不能由 2 ， 3 ， 4 线性表示。
14、B. 2 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表示。C. 3 不能由 1 ， 2 ， 4 线性表示。D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示。 解析：解析：对于选项 A，考虑非齐次线性方程组 x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = 1 。由已知条件可知 r( 2 ， 3 ， 4 )=r( 2 ， 3 ， 4 ， 1 )=3，所以 1 必可由 2 ， 3 ， 4 线性表示。 类似可判断选项 B 和 C 也不正确，只有选项 D 正确。 实际上，由 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3 可知， 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示。3.设 A，B 为
15、n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价。B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价。 D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价。解析：解析：将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块，设 A=( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n )，则有 ( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n ) ， 表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ，
16、 2 ， n 线性表示。由于 Q 可逆，从而有 A=BQ 1 ，即( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n )Q 1 ，表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确。 类似地，对于PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确。 下例可表明选项 C 的命题不正确。 设 ，则 P、Q 均为可逆矩阵，且 B=PAQ= 4.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，一 1，5) T ，(0，4，一 2) T ，(1，3，0) T ； (a，1，6，0，0) T ，(c
17、，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T ； (a，1，2，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T ； (1，0，3，1) T ，(一 1，3，0，一 2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，2，14，5) T 。 则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。 解析：解析：向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B。 由于(1，0，0) T ，(0，2，0
18、) T ，(0，0，3) T 线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关。所以应排除 C。 向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1 ， 2 ， 4 线性相关，那么添加 3 后，向量组必线性相关。应排除 A。 由排除法，所以应选 D。5.下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( ) 若 1 ， 2 ， n 线性相关，则存在全不为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0。 如果 1 ， 2 ， n 线性无关，则对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k n n 0。
19、如果 1 ， 2 ， n 线性无关，则由 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0 可以推出 k 1 =k 2 =k n =0。 如果 1 ， 2 ， n 线性相关，则对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0。（分数：2.00）A.1。B.2。 C.3。D.4。解析：解析：对于，线性相关的定义是：存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0。不全为零与全不为零不等价，故错。 和都是向量组线性无关的等价描述，正确。 对于，线性相关性只是强调不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，
20、k n 的存在性，并不一定要对任意不全为零的 k 1 ，k 2 ，k n 都满足 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0，故错误。事实上，当且仅当 1 ， 2 ， n 全为零向量时，才能满足对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0。 综上所述，正确的只有两个，故选 B。6.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 。B. 1 一 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。C. 1 + 2 ，3 1 一 5 2 ，5 1 +9 2 。D
21、. 1 + 2 ，2 1 +3 2 +4 3 ， 1 一 2 一 2 3 。 解析：解析：方法一：通过已知选项可知 ( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 1 )=0， ( 1 一 2 )+( 2 + 3 )一( 3 + 1 )=0， 因此选项 A、B 中的向量组均线性相关。 对于选项 C，可设 1 = 1 + 2 ， 2 =3 1 5 2 ， 3 =5 1 +9 2 ，即 1 ， 2 ， 3 三个向量可由 1 ， 2 两个向量线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 必线性相关，即 1 + 2 ，3 1 一5 2 ，5 1 +9 2 必线性相关。 因而用排除法可知应选 D。 方法二：利
22、用矩阵运算。 选项 A 中，( 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 )=( 1 ， 2 ， 3 ) ，因为 7.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。B. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 。C. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 。 D. 1 + 2 ，2 2 + 3 ，3 3 + 1 。解析：解析：设存在常数 k 1 ，k 2 ，k 3 使得 k 1 ( 1 2 )+k 2 ( 2 一 3 )+k 3 ( 3 一 1 )=0，即 (k 1 k 3 ) 1 +(k
23、 2 一 k 1 ) 2 +(k 3 一 k 2 ) 3 =0。 因为向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 该齐次线性方程组系数矩阵的行列式 8.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 ，线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关。B. 1 ， 2 ， 2 线性无关。 C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关。D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关。解析：解析：由 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示知， 1 ， 2 ，
24、3 ， 2 线性无关，从而部分组 1 ， 2 ， 2 线性无关，故 B 为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。 取 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，0，1，0) T ， 2 =(0，0，0，1) T ， 1 = 1 ，知选项 A 与 C 错误。 对于选项 D，由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关，则 1 + 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，从而 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误。9.若 1 ， 2 线性无关， 是
25、另外一个向量，则 1 + 与 2 +( )（分数：2.00）A.线性无关。B.线性相关。C.既线性相关又线性无关。D.不确定。 解析：解析：例如，令 1 =(1，1)， 2 =(0，2)，=(一 1，一 1)，则 1 ， 2 线性无关，而 1 +=(0，0)与 2 +=(一 1，1)线性相关。如果设 =(0，0)，那么 1 + 与 2 + 却是线性无关的。故选 D。10.n 维向量组 1 ， 2 ， s (3sn)线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0。B. 1 ， 2 ， s 中任意两
26、个向量都线性无关。C. 1 ， 2 ， s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示。D. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。 解析：解析：向量组 1 ， 2 ， s 线性相关的充要条件是 1 ， 2 ， s 中至少存在一个向量能用其余向量线性表示，所以 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是 1 ， 2 ， s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。故选 D。11.向量组 1 =(1，3，5，一 1) T ， 2 =(2，一 1，一 3，4) T ， 2 =(6，4，4，6) T ， 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是
27、( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 5 。B. 1 ， 3 ， 5 。C. 2 ， 3 ， 4 。 D. 3 ， 4 ， 5 。解析：解析：对向量组构成的矩阵作初等行变换，有 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )= 可见秩 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=3。 又因为三阶子式 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.如果 =(1，2，t) T 可以由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(一 1，2，7) T ， 3 =(1，一 1，一 4) T 线性表示，则 t 的值是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析： 可以由向
28、量组 1 ， 2 ， 3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得 13.任意一个三维向量都可以由 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值范围为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a3）解析：解析：任意一个三维向量都可以用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 必线性无关。又 1 ， 2 ， 3 为 3 个三维向量，故可考虑
29、其行列式，即 1 ， 2 ， 3 = 14.已知向量组 1 =(1，2，一 1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，一 4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值范围为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一，+)）解析：解析：由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析。 令 A=( 1 ， 2 ， 3 )= 15.已知向量组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：对向量组构成的矩阵作初等行交换三、解答题(总题数：10，分数：24.00)16.解
30、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.已知 1 =(1，一 1，1) T ， 2 =(1，t，一 1) T ， 3 =(t，1，2) T ，=(4，t 2 ，一 4) T ，若 可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=( 1 ， 2 ， 3 )，考虑线性方程组 Ax=。对其系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换，即 。 由题意可知，线性方程组有无穷多解，所以 r(A)=r(A)3，从而 t=4。 当 t=4 时， )解析：设向量组 1 =(1，0，1) T ， 2 =(0，1，1) T ，
31、3 =(1，3，5) T 不能由向量组 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(3，4，a) T 线性表示。（分数：4.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 ， 2 ， 3 不能由 1 ， 2 ， 3 表示，且由 1 ， 2 ， 3 =10，知 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以， 1 ， 2 ， 3 线性相关，即 1 ， 2 ， 3 = )解析：(2).将 1 ， 2 ， 3 由 1 ， 2 ， 3 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题等价于求三阶矩阵 C，使得( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2
32、 ， 3 )C。 所以 C=( 1 ， 2 ， 3 ) 1 ( 1 ， 2 ， 3 )= 。 因此( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：18.确定常数 a，使向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(1，a，1) T ， 3 =(a，1，1) T 可由向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(一 2，a，4) T ， 3 =(一 2，a，a) T 线性表示，但向量组 1 ， 2 ， 3 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )。因为 1 ， 2 ，
33、3 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 r(A)3(若 r(A)=3，则任何三维向量都可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示)，从而 A= 39=一(a+2)(a 一 1) 2 =0， 即 a=一 2 或 1。 当 a=一 2 时， (B，A)= )解析：19.设 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性： a 1 ，a 2 ，a n 是线性无关的一组 n 维向量，因此(a 1 ，a 2 ，a n )=n。对任一 n 维向量 b，因为 a 1 ，a 2 ，a n ，
34、b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故 a 1 ，a 2 ，a n ，b 线性相关。 综上所述 r(a 1 ，a 2 ，a n ，b)=n。 又因为 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示。 充分性： 已知任一 n 维向量 b 都可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，则单位向量组： 1 ， 2 ， n 可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，即 r( 1 ， 2 ， n )=nr(a 1 ，a 2 ，a n )， 又 a 1 ，a 2 ，a n 是一组凡维向量，有 r(a 1 ，a 2 ，a n )n。 综上，r(a
35、 1 ，a 2 ，a n )=n。所以 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关。)解析：20.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维列向量， 1 ， 2 ， n 为任意 n 个 n 维列向量。证明： 1 ， 2 ， n 可由 1 ， 2 ， n 线性表示的充要条件是 1 ， 2 ， n 线性无关。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性： 因为 1 ， 2 ， n 线性无关，且 1 ， 2 ， n 可由 1 。 2 ， n 线性表示，所以 nr( 1 ， 2 ， n )r( 1 ， 2 ， n )n， 即 r( 1 ， 2 ， n )=n，则 1 ， 2 ， n 线性无关。
36、 充分性：因为 1 ， 2 ， n 是线性无关的 n 维向量组，所以 1 ， 2 ， n 可以表示 n 维向量空间中所有的向量，故 1 ， 2 ， n 可由 1 ， 2 ， n 线性表示。)解析：已知 m 个向量 1 ， m 线性相关，但其中任意 m 一 1 个向量都线性无关，证明：（分数：4.00）(1).如果等式 k 1 1 +k m m =0 成立，则系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设存在某个 k i =0，则由 k 1 1 +k m m =0 可得 k 1 1 +k i1 i1 +k i1 i1 +k m m =0。 (1)
37、 因为任意 m 一 1 个向量都线性无关，所以必有 k 1 =k i1 =k i1 =k m =0，即系数 k 1 ，k m 全为零。 所以系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零。)解析：(2).如果等式 k 1 1 +k m m =0 和等式 l 1 1 +l m m =0 都成立，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由()可知，当 l 1 0 时，系数 l 1 ，l m 全不为零，所以 1 = ， 将其代入(1)式得 k 1 ( )+k 2 2 +k m m =0， 即 (一 k 1 +k 2 ) 2 +(一 k 1 +k m ) m =0。 又因为任意 m 一 1 个向量都线性无关，所以 k 1 +k 2 =一 k 1 +k m =0，即 )解析：21.已知 A 是三阶矩阵， i (i=1，2，3)是三维非零列向量，令 = 1 + 2 + 3 。若 A i =i i (i=1，2，3)，证明：，A，A 2 线性无关。（分数：2.00）_
