1、考研数学二（向量）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关，则( )（A） 1 可由 2， 3 线性表示（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表示（C） 4 可由 1， 3 线性表示（D） 4 可由 1， 2 线性表示2 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( ) （A） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关（B） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关（C） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关（D） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线
2、性无关3 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A）向量组 1， 2， ， m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k11k 22k mm0（C）向量组 1， 2， m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2， ， m 的任意一个部分向量组线性无关4 设向量组 1， 2， m 线性无关， 1 可由 1， 2， m 线性表示，但 2 不可由 1， 2， ， m 线性表示，则( )（A） 1， 2， m-1， 1 线性相关（B） 1， 2， m-1， 1， 2 线性相关（C） 1， 2， m， 1 2 线性相关（D） 1， 2， m， 1 2 线
3、性无关5 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表示（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表示（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A( 1， 2， ， m)与矩阵 B( 1， 2， m)等价6 设 1， 2， 3 线性无关， 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（A） 1， 2， 3，k 1 2 线性无关（B） 1， 2，
4、3，k 1 2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1k 2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1k 2 线性相关7 设 n 阶矩阵 A( 1， 2， n)，B( 1， 2， ， n)，AB( 1， 2， n)，记向量组()： 1， 2， ， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组() 线性相关，则 ( )（A）() ， ()都线性相关（B） ()线性相关（C） ()线性相关（D）() ， ()至少有一个线性相关8 设向量组() ： 1， 2， ， s 的秩为 r1，向量组()： 1， 2， s 的秩为r2，且向量组( )可由向量组( )线性表示，则( )（A） 1 1，
5、2 2， s s 的秩为 r1r 2（B）向量组 1 1， 2 2， s s 的秩为 r1r 2（C）向量组 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1r 2（D）向量组 1， 2， ， s， 1， 2， s， 的秩为 r19 向量组 1， 2， s 线性无关的充要条件是( )（A） 1， 2， s 都不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量不成比例（C） 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一个部分向量组线性无关10 设 A 为 n 阶矩阵，且A0，则 A( )（A）必有一列元素全为零（B）必有两行元素对应成比例（C）必有一列是其余列向量
6、的线性组合（D）任一列都是其余列向量的线性组合11 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（A） 1， 2， 3 线性无关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关12 设矩阵 A( 1， 2， 3， 4)经行初等行变换为矩阵 B( 1， 2， 3， 4)，且1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，则( )（A） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示（B） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，但表示法不唯一（C） 4 能由 1， 2， 3 线
7、性表示，且表示法唯一（D） 4 能否由 1， 2， 3 线性表示不能确定13 设 A( 1， 2， m)，其中 1， 2， m 是 n 维列向量若对于任意不全为零的常数 k1，k 2，k m，皆有 k11k 22k mm0，则( )（A）mn（B） mn（C）存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP（D）若 ABO，则 BO14 下列命题正确的是( )（A）若向量 1， 2， ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则A1，A 2，A n 线性无关（B）若向量 1， 2， n 线性相关，则 1， 2， n 中任一向量都可由其余向量线性表示（C）若向量 1， 2， n 线性无关，则 1 2， 2 3
8、， n 1 一定线性无关（D）设 1， 2， n 是 n 个 n 维向量且线性无关， A 为 n 阶非零矩阵，且A1，A 2，A n 线性无关，则 A 一定可逆15 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1， 2， m 中任意两个向量不成比例（B） 1， 2， m 是两两正交的非零向量组（C）设 A( 1， 2， ， m)，方程组 AX0 只有零解（D） 1， 2， m 中向量的个数小于向量的维数16 设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（A）A 的行向量组一定线性无关（B）非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多组解（C） ATA 一定可逆（D）A
9、 TA 可逆的充分必要条件是 r(A)n17 设 A，B 是满足 ABO 的任意两个非零阵，则必有 ( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关18 设 1， 2， ， m 与 1， 2， s 为两个 n 维向量组，且 r(1， 2， m)r( 1， 2， s)r，则( )（A）两个向量组等价（B） r(1， 2， m， 1， 2， s)r（C）若向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表示，则两向量组等价
10、（D）两向量组构成的矩阵等价二、填空题19 设 线性相关，则 a_20 设向量组 1， 2， 3 线性无关，且 1a 24 3，2 1 2 3， 2 3 线性相关，则 a_ 21 设 ，且 ， 两两正交，则a_， b_22 设 A( 1， 2， 3， 4)为 4 阶方阵，且 AX0 的通解为 Xk(1，1，2，3)T，则 2 由 1， 3， 4 表示的表达式为_23 设 ，则 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为_，其余的向量用极大线性无关组表示为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明：1 2 3， 12 23 3， 14 2
11、9 3，线性无关25 设 1， m， 为 m1 个 n 维向量， 1 m(m1)证明：若1， ， m 线性无关，则 1， m 线性无关26 设 1， 2， ， n(n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时，1 2， 2 3， n 1 线性无关27 设 1， n 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1， n 线性相关28 证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关29 n 维列向量组 1， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1， n-1， 线性无关30 设向量组 1， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1， n 线性无关，举例说明逆命题不成立31 设
12、 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 ABE 证明：B 的列向量组线性无关32 设 1， 2， ， m， 1， 2， n 线性无关，而向量组 1， 2， m， 线性相关证明：向量 可由向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性表示33 设向量组 线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数 t34 设 1， 2， ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量35 设 A 为 n 阶矩阵， 1， 2， 3 为 n 维列向量，其中 10，且A1 1，A 2 1 2，A 3 2 3，证明： 1， 2， 3 线性无关36 设向量组() 1， 2， 3；(
13、) 1， 2， 3， 4； () 1， 2， 3， 5，若向量组()与向量组 ()的秩为 3，而向量组()的秩为 4证明：向量组1， 2， 3， 5 4 的秩为 437 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆38 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是39 设 1， 2， ， s 为 AX0 的一个基础解系， 不是 AX0 的解，证明：， 1， 2， s 线性无关40 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1， 2，
14、n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示41 设 A 为，n 阶矩阵，若 Ak-10，而 Ak0证明：向量组 ，A，A k-1线性无关42 设 1， 2， 1， 1 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关 (1)证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1， 2 线性表示； (2)设，求出可由两组向量同时线性表示的向量考研数学二（向量）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 2， 3， 4 线性无关，所以 2， 3 线性无关，又因为1， 2， 3
15、线性相关，所以 1 可由 2， 3 线性表示，选 A【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【试题解析】 因为( 1 2)( 2 3)( 3 4)( 4 1)0， 所以1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性相关； 因为( 1 2)( 2 3)( 3 4)( 4 1)0， 所以 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性相关； 因为( 1 2)( 2 3)( 3 4)( 4 1)0， 所以 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关，选 C【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 A 项不对，因
16、为 1， 2， m， 线性无关可以保证1， 2， m 线性无关，但 1， 2， m 线性无关不能保证1， 2， m， 线性无关； B 项不对，因为 1， 2， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k1，k 2，k m，有 k11k 22k mm0，但存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m 使得 k11k 22k mm0 不能保证1， 2， m 线性无关； C 项不对，向量组 1， 2， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 1 ， 2 线性无关，但其维数等于其个数，故选D【知识模块】 向量4 【正确答案】 D【试题解析】 A 项不对，因为 1 可由向量组 1， 2， m 线性表示
17、，但不一定能被 1， 2， m1 线性表示，所以 1， 2， m-1， 1 不一定线性相关； B项不对，因为 1， 2， m-1， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由1， 2， m-1， 1 线性表示，所以 1， 2， m-1， 1， 2 不一定线性相关；C 项不对，因为 2 不可由 1， 2， m 线性表示，而 1 可由 1， 2， m线性表示，所以 1 2 不可由 1， 2， m 线性表示，于是1， 2， m， 1 2 线性无关，故选 D【知识模块】 向量5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1， 2， m 线性无关，所以向量组 1， 2， m 的秩为m，向量组 1， 2， m 线性无
18、关的充分必要条件是其秩为 m，所以选 D【知识模块】 向量6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 k1 2 一定不可以由向量组 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3，k 1 2 线性无关，选 A【知识模块】 向量7 【正确答案】 D【试题解析】 若 1， 2， n 线性无关， 1， 2， n 线性无关，则 r(A)n，r(B) n， 于是 r(AB)n因为 1， 2， n 线性相关，所以 r(AB)r( 1， 2， ， n)n ， 故 1， 2， n 与 1， 2， n 至少有一个线性相关，选 D【知识模
19、块】 向量8 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， s 线性表示，所以向量组 1， 2， s 与向量组 1， 2， s， 1， 2， s 等价，选D【知识模块】 向量9 【正确答案】 C【试题解析】 若向量组 1， 2， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 一定线性无关，因为若 1， 2， ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选 C【知识模块】 向量10 【正确答案】 C【试题解析】 因为A0，所以 r(A)n ，从而 A 的
20、 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选 C【知识模块】 向量11 【正确答案】 B【试题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，因为 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3， 4 线性无关，矛盾，故 1， 2， 3 线性相关，选 B【知识模块】 向量12 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，所以 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，又 A( 1， 2， 3， 4)经过有限次初等行变换化为B( 1， 2， 3， 4)，所以方程组 11 22 33 4 与 11 22 33 4
21、是同解方程组，因为方程组 11 22 33 4 有唯一解，所以方程组11 22 33 4 有唯一解，即 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，选 C【知识模块】 向量13 【正确答案】 D【试题解析】 因为对任意不全为零的常数 k1，k 2， ，k m，有k11 k22 k mm0，所以向量组 1， 2， ， m 线性无关，即方程组AX0 只有零解，故若 ABO，则 BO，选 D【知识模块】 向量14 【正确答案】 D【试题解析】 (A 1，A 2，A n)A( 1， 2， n，因为 1， 2， n 线性无关，所以矩阵( 1， 2， n)可逆，于是 r(A1，A 2，A n)r(A) ，而A
22、1，A 2，A n 线性无关，所以 r(A)n，即 A 一定可逆，选 D【知识模块】 向量15 【正确答案】 C【试题解析】 向量组 1， 2， m 线性无关，则 1， 2， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故 A 不对；若 1， 2， m 是两两正交的非零向量组，则 1， 2， m 一定线性无关，但 1， 2， m 线性无关不一定两两正交，选项 B 不对； 1， 2， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，D 不对，选 C【知识模块】 向量16 【正确答案】 D【试题解析】 若 ATA 可逆，则 r(ATA)n，因为 r(ATA)r(A)，所以 r(A)n ；反之，若，r(A)n
23、 ，因为 r(ATA)r(A) ，所以 ATA 可逆，选 D【知识模块】 向量17 【正确答案】 A【试题解析】 设 A，B 分别为 mn 及 ns 矩阵，因为 ABO，所以 r(A)r(B)n，因为 A， B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 A【知识模块】 向量18 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设向量组 1， 2， m 的极大线性无关组为1， 2， r，向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， r，若1， 2， m 可由 1， 2， s 线性表示，则 1， 2， r 也可由1，
24、2， r 线性表示，若 1， 2， r 不可由 1， 2， r 线性表示，则1， 2， r 也不可由 1， 2， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选 C【知识模块】 向量二、填空题19 【正确答案】 【试题解析】 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 30，从而 a 【知识模块】 向量20 【正确答案】 5【试题解析】 ( 1a 24 3，2 1 2 3， 2 3)( 1， 2， 3) 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1a 24 3，2 1 2 3， 2 3 线性相关，所以 解得 a5【知识模块】 向量21 【正确答案】 4；13【试题解析】 因为 ， 正交，所以
25、， 解得a4，b 13【知识模块】 向量22 【正确答案】 2 12 33 4【试题解析】 因为(1，1，2，3) T 为 AX0 的解， 所以 1 22 33 40，故 2 12 33 4【知识模块】 向量23 【正确答案】 1， 2；【试题解析】 ( 1， 2， 3， 4)则向量组1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为 1， 2，且【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 令 k1(1 2 3)k 2(12 23 3)k 3(14 29 3)0，即 (k1k 2k 3)1(k 12k 24k 3)2(k 13k 29k 3)30， 因为
26、1， 2， 3 线性无关，所以有 而 D 20 ，由克拉默法则得 k1k 2k 30， 所以 1 2 3， 12 23 3， 14 29 3 线性无关【知识模块】 向量25 【正确答案】 令 k1( 1)k m( m)0，即 k 1(2 3 m)k m(1 2 m-1)0 或(k 2k 3k m)1(k 1k 3k m)2 (k 1 k2k m-1)m0， 因为 1， m 线性无关，所以因为 (1) m-1(m1)0 ，所以 k1k m0，故 1， m 线性无关【知识模块】 向量26 【正确答案】 设有 1， 2， n，使 1(1 2) 2(2 3) n(n 1)0，即 ( 1 n)1( 1
27、2)2( n-1 n)n0， 因为 1， 2， n 线性无关，所以有 ，该方程组系数行列式 Dn1 (1) n-1，n 为奇数Dn0 1 n0 1 2， 2 3， n 1 线性无关【知识模块】 向量27 【正确答案】 向量组 1， n 线性相关的充分必要条件是方程组11 nn0 有非零解 因为方程组 11 nn0 中变量有 n 个，约束条件最多有 m 个且，mn，所以方程组 11 nn0 一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组 1， n 线性相关【知识模块】 向量28 【正确答案】 设 1， n 为一个向量组，且 1， r(rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k r，使得 k11k
28、 rr0 ，于是k11 k rr0 r+1 0 n0，因为 k1， kr，0，0 不全为零，所以1， n 线性相关【知识模块】 向量29 【正确答案】 令 k0 k11k n-1n-10，由 1， n-1 与非零向量 正交及( ， k0k 11k n-1n-1)0 得 k0(，)0，因为 为非零向量，所以(，)一 20 ，于是 k00 ，故 k11k n-1n-1 0，由 1， n-1 线性无关得k1k n-10，于是 1， ， n-1， 线性无关【知识模块】 向量30 【正确答案】 令 k12k nn0，由 1， n 两两正交及(1，k 11k nn)0，得 k( 1， 1)0，而( 1，
29、2) 1 20，于是 k10，同理可证 k2k n0， 故 1， n 线性无关 令 1 ， 2 ，显然 1， 2 线性无关，但 1， 2 不正交【知识模块】 向量31 【正确答案】 首先 r(B)minm，n n，由 ABE 得 r(AB)n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)n，于是 B 的列向量组线性无关【知识模块】 向量32 【正确答案】 因为向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性无关，所以向量组 1， 2， ， m 也线性无关，又向量组 1， 2， m， 线性相关，所以向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，从而 可由向量组1， 2， m， 1， 2，
30、 n 线性表示【知识模块】 向量33 【正确答案】 向量组 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 30， 而 1， 2， 3 (t 1)(t5)，所以 t1 或者 t5， 因为任意两个向量线性无关，所以 t5【知识模块】 向量34 【正确答案】 不妨设 0，令 k11k 22k nnk 00，上式两边左乘 T得 k 1T1k 2T2k nTnk 0T0 因为 1， 2， n 与 正交，所以k0T0，即 k0 20，从而 k00，于是 k11k 22k nan0，再由1， 2， n 线性无关，得 k1k 2k n0，故 1， 2， n， 线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的
31、维数时向量组一定线性相关)，所以 0【知识模块】 向量35 【正确答案】 由 A1 1 得(A E) 10； 由 A2 1 2 得(A E) 2 1； 由A3 2 3 得(AE) 3 2， 令 k11k 22k 330， (1) (1)两边左乘 AE 得 k21 k32 0， (2) (2)两边左乘 AE 得 k310，因为 1O，所以 k30，代入(2)、(1)得 k10， k20，故 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 向量36 【正确答案】 因为向量组()的秩为 3，所以 1， 2， 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1， 2， 3 线性表示 因为向
32、量组( )的秩为 4，所以 1， 2， 3， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，故向量 5 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3， 5 4 线性无关，于是向量组 1， 2， 3， 5 4 的秩为 4【知识模块】 向量37 【正确答案】 令 B( 1， 2， n)，因为 1， 2，a n 为 n 个 n 维线性无关的向量，所以 r(B)n(A 1，A 2，A n) AB，因为 r(AB)r(A) ，所以A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)n，即 A 可逆【知识模块】 向量38 【正确答案】 令 A( 1， 2， n)，AT
33、A I， r(A) r(ATA)，向量组 1， 2， n线性无关的充分必要条件是 r(A)n，即 r(ATA)n 或A TA0，从而1， 2， n 线性无关的充分必要条件是【知识模块】 向量39 【正确答案】 由 1， 2， t 线性无关 ， 1， 2， t 线性无关， 令kk 1( 1)k 2( 2)k t( t)0， 即(kk 1k t)k 11k tt0， ， 1， 2， t 线性无关 kk 1k k0， ， 1， 2， t线性无关【知识模块】 向量40 【正确答案】 设 1， 2， n 线性无关，对任意的 n 维向量 ，因为1， 2， n， 一定线性相关，所以 可由 1， 2， n 唯
34、一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示 反之，设任一 n 维向量总可由1， 2， n 线性表示， 取 ， 则e1，e 2，e n 可由 1， 2， n 线性表示，故 1， 2， n 的秩不小于e1，e 2，e n 的秩，而 e1，e 2，e n 线性无关，所以 1， 2， n 的秩一定为 n，即 1， 2， n 线性无关【知识模块】 向量41 【正确答案】 令 l0l 1Al k-1Ak-10 (*) (*)式两边同时左乘 Ak-1 得 l0Ak-1 0，因为 Ak-10，所以 l00；(*) 式两边同时左乘 Ak-2 得 l1Ak-10，因为 Ak-10，所以 l10，依次类推可得 l2l k-10，所以 ，A，A k-1 线性无关【知识模块】 向量42 【正确答案】 (1)因为 1， 2， 1， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k 2，l 1，l 2，使得 k 11k 22l 11l 220，或 k11k 22l 11l 22 令k 11k 22l 11l 22 因为 1， 2 与 1， 2 都线性无关，所以 k1，k 2 及 l1，l 2都不全为零，所以 0 (2) 令 k11k 22l 11l 220，所以 k 13k 2k 10 2【知识模块】 向量
