1、考研数学二（向量）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵 A45=(1， 2， 3， 4， 5)经初等行变换化为阶梯形矩阵 A=(1， 2， 3， 4， 5) ，则( )（A） 1 不能由 2， 3， 4 线性表示。（B） 2 不能由 3， 4， 5 线性表示。（C） 3 不能由 1， 2， 4 线性表示。（D） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示。2 设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（A）若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价。（B）若
2、 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。（C）若 B=PAQ，则 A 的行 (列)向量组与 B 的行(列)向量组等价。（D）若 A 的行(列) 向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价。3 现有四个向量组 (1， 2，3) T，(3，一 1，5) T， (0，4，一 2)T，(1 ，3，0) T； (a，1，6， 0，0) T，(c，0，d，2，0) T，(e，0，f ，0，3) T； (a，1，2，3)T， (b，1，2， 3)T，(c，3，4，5) T，(d，0，0，0) T； (1，0，3，1) T，(一1，3，0，一 2)T，(2 ，1，7，2)
3、T，(4，2，14，5) T。 则下列结论正确的是( )（A）线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。（B）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 。（C）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 。（D）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 。4 下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( ) 若 1， 2， n 线性相关，则存在全不为零的常数 k1，k 2，k n，使得 k11+k22+knn=0。 如果1， 2， n 线性无关，则对任意不全为零的常数 k1，k 2，k n，都有k11+k22+knn0。 如果 1， 2， n 线性无关，则由k11+k22+knn=0 可以推出 k
4、1=k2=kn=0。 如果 1， 2， n 线性相关，则对任意不全为零的常数 k1，k 2，k n，都有 k11+k22+knn=0。（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。5 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1。（B） 1 一 2， 2+3， 3+1。（C） 1+2，3 1 一 52，5 1+92。（D） 1+2， 21+32+43， 1 一 2 一 23。6 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1+2， 2+3， 3+1。（B） 1， 1+2， 1+2+3。（C） 1
5、一 2， 2 一 3， 3 一 1。（D） 1+2， 22+3，3 3+1。7 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3，线性表示，向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，则必有( )（A） 1， 2， 1 线性无关。（B） 1， 2， 2 线性无关。（C） 2， 3， 1， 2 线性相关。（D） 1， 2， 3， 1+2 线性相关。8 若 1， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1+ 与 2+( )（A）线性无关。（B）线性相关。（C）既线性相关又线性无关。（D）不确定。9 n 维向量组 1， 2， s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )（A）存在一组不全为
6、零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss0。（B） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关。（C） 1， 2， s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示。（D） 1， 2， s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。10 向量组 1=(1，3，5，一 1)T， 2=(2，一 1，一 3，4) T， 2=(6，4，4，6)T， 4=(7，7，9，1) T， 5=(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（A） 1， 2， 5。（B） 1， 3， 5。（C） 2， 3， 4。（D） 3， 4， 5。二、填空题11 如果 =(1，2，t) T 可以由 1=(2，1，1) T
7、， 2=(一 1，2，7) T， 3=(1，一 1，一 4)T 线性表示，则 t 的值是_ 。12 任意一个三维向量都可以由 1=(1，0，1) T， 2=(1，一 2，3) T， 3=(a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值范围为 _。13 已知向量组 1=(1，2，一 1，1) T， 2=(2，0，t，0) T， 3=(0，一 4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值范围为_。14 已知向量组 的秩为 2，则 t=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 1=(1，一 1，1) T， 2=(1，t，一 1)T， 3=(t，1，2) T，=(4，t 2，一 4)
8、T，若 可由向量组 1， 2， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式。15 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表示。16 求 a 的值；17 将 1， 2， 3 由 1， 2， 3 线性表示。18 确定常数 a，使向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a ，1) T， 3=(a，1，1) T 可由向量组 1=(1，1，a) T， 2=(一 2，a ，4) T， 3=(一 2，a，a) T 线性表示，但向量组1， 2， 3 不能由向量
9、组 1， 2， 3 线性表示。19 设 a1，a 2，a n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n维向量都可由它们线性表示。20 设 1， 2， ， n 为 n 个线性无关的 n 维列向量， 1， 2， n 为任意 n 个 n维列向量。证明： 1， 2， n 可由 1， 2， ， n 线性表示的充要条件是1， 2， n 线性无关。20 已知 m 个向量 1， m 线性相关，但其中任意 m 一 1 个向量都线性无关，证明：21 如果等式 k11+kmm=0 成立，则系数 k1，k m 或者全为零，或者全不为零；22 如果等式 k11+kmm=0 和等式 l11+lmm=0
10、 都成立，则，其中 l10。23 已知 A 是三阶矩阵， i(i=1，2，3)是三维非零列向量，令 =1+2+3。若Ai=ii(i=1，2，3)，证明：，A ，A 2 线性无关。23 设向量 1， 2， n1 是 n 一 1 个线性无关的 n 维列向量， 1， 2 是与1， 2， n1 均正交的 n 维非零列向量。证明：24 1， 2 线性相关；25 1， 2， ， n1 1 线性无关。26 设向量组(I)：b 1，b r 能由向量组()：a 1，a s 线性表示为(b 1，b r)=(a1，a s)K，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组()线性无关。证明向量组()线性无关的充分必要条件是矩阵
11、 K 的秩 r(K)=r。考研数学二（向量）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 A，考虑非齐次线性方程组 x22+x33+x44=1。由已知条件可知 r(2， 3， 4)=r(2， 3， 4， 1)=3，所以 1 必可由 2， 3， 4 线性表示。 类似可判断选项 B 和 C 也不正确，只有选项 D 正确。 实际上，由 r(1， 2， 3)=2， r(1， 2， 3， 4)=3 可知， 4 不能由 1， 2， 3 线性表示。【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【试题解析】 将等式 B=AQ 中的
12、A、B 按列分块，设 A=(1， 2， n)=(1， 2， n)，则有( 1， 2， n)=(1， 2， n) ，表明向量组 1， 2， n 可由向量组 1， 2， ， n 线性表示。由于 Q 可逆，从而有 A=BQ1 ，即( 1， 2， n)=(1， 2， n)Q1 ，表明向量组1， 2， n 可由向量组 1， 2， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确。类似地，对于 PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确。下例可表明选项 C 的命题不正确。设，则 P、Q 均为可逆矩阵，且 B=PAQ= 。但 B 的行( 列)向量
13、组与 A 的行(列)向量组不等价。对于选项 D，若 A 的行(列) 向量组与 B 的行(列)向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵 A 与 B 的秩相同，故矩阵 A 与 B 等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是是秩相等)。【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B。 由于(1，0， 0)T，(0 ，2，0) T，(0 ，0，3) T 线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关。所以应排除 C。 向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1， 2， 4 线性相关，那么添加 3 后，向量组 必线性相关。应排除
14、 A。 由排除法，所以应选 D。【知识模块】 向量4 【正确答案】 B【试题解析】 对于，线性相关的定义是：存在不全为零的常数k1，k 2，k n，使得 k11+k22+knn=0。不全为零与全不为零不等价，故 错。 和都是向量组线性无关的等价描述，正确。 对于，线性相关性只是强调不全为零的常数 k1， k2，k n 的存在性，并不一定要对任意不全为零的k1，k 2，k n 都满足 k11+k22+knn=0，故错误。事实上，当且仅当1， 2， n 全为零向量时，才能满足对任意不全为零的常数 k1，k 2，k n，都有 k11+k22+knn=0。 综上所述，正确的只有两个，故选 B。【知识模
15、块】 向量5 【正确答案】 D【试题解析】 方法一：通过已知选项可知( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=0，( 1 一2)+(2+3)一 (3+1)=0，因此选项 A、B 中的向量组均线性相关。对于选项 C，可设 1=1+2， 2=3152， 3=51+92，即 1， 2， 3 三个向量可由 1， 2 两个向量线性表示，所以 1， 2， 3 必线性相关，即 1+2，3 1 一 52，5 1+92 必线性相关。因而用排除法可知应选 D。方法二：利用矩阵运算。选项 A 中，( 1 一2， 2 一 3， 3 一 1)=(1， 2， 3) ，因为 =0，所以 1 一 2， 2 一 3，
16、3 一 1 线性相关。同理，可知选项 B 和 C 中的向量组也线性相关。选项 D 中的向量组线性无关。故选 D。【知识模块】 向量6 【正确答案】 C【试题解析】 设存在常数 k1，k 2，k 3 使得 k1(12)+k2(2 一 3)+k3(3 一 1)=0，即(k 1k3)1+(k2 一 k1)2+(k3 一 k2)3=0。因为向量组 1， 2， 3 线性无关，所以该齐次线性方程组系数矩阵的行列式 =0，因此方程组有非零解，所以 1 一 2， 2 一 3， 31 线性相关。故选 C。【知识模块】 向量7 【正确答案】 B【试题解析】 由 1， 2， 3 线性无关，且 2 不能由 1， 2，
17、 3 线性表示知，1， 2， 3， 2 线性无关，从而部分组 1， 2， 2 线性无关，故 B 为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。 取 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0)T， 3=(0，0， 1，0) T， 2=(0，0，0，1) T， 1=1，知选项 A 与 C 错误。 对于选项D，由于 1， 2， 3 线性无关，若 1， 2， 3， 1+2 线性相关，则 1+2 可由1， 2， 3 线性表示，而 1 可由 1， 2， 3 线性表示，从而 2 可由 1， 2， 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误。【知识模块】 向量8 【正确答案】 D【试题解析】 例如，令 1=
18、(1，1) ， 2=(0，2)，=(一 1，一 1)，则 1， 2 线性无关，而 1+=(0，0) 与 2+=(一 1，1) 线性相关。如果设 =(0，0)，那么 1+ 与2+ 却是线性无关的。故选 D。【知识模块】 向量9 【正确答案】 D【试题解析】 向量组 1， 2， s 线性相关的充要条件是 1， 2， s 中至少存在一个向量能用其余向量线性表示，所以 1， 2， s 线性无关的充要条件是 1， 2， s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。故选 D。【知识模块】 向量10 【正确答案】 C【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行变换，有( 1， 2， 3， 4， 5)=可见秩r(
19、1， 2， 3， 4， 5)=3。又因为三阶子式 0，所以 2， 3， 4 是极大线性无关组，所以应选 C。【知识模块】 向量二、填空题11 【正确答案】 5【试题解析】 可以由向量组 1， 2， 3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 x11+x22+x33= 有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得，而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此 t 一5=0，即 t=5。【知识模块】 向量12 【正确答案】 a3【试题解析】 任意一个三维向量都可以用 1=(1，0，1) T， 2=(1，一 2，3)T， 3=(a，1， 2)T 线性表示，则 1， 2， 3 必线性无
20、关。又 1， 2， 3 为 3 个三维向量，故可考虑其行列式，即 1， 2， 3= =2(a3)0，即 a3。【知识模块】 向量13 【正确答案】 (一，+)【试题解析】 由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析。令 A=(1， 2， 3)=，则对任意的 t，r(A)=3 是恒成立的，即向量组线性无关。【知识模块】 向量14 【正确答案】 一 2【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行交换，已知秩为 2，故得 t=一 2。【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 记 A=(1， 2，
21、3)，考虑线性方程组 Ax=。对其系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换，即。由题意可知，线性方程组有无穷多解，所以 r(A)=r(A)3，从而 t=4。当 t=4 时，线性方程组 Ax= 的通解为 k(一 3，一1，1) T+(0，4，0) T，k R。所以 =一 3k1+(4 一 k)2+k3，kR。【知识模块】 向量【知识模块】 向量16 【正确答案】 由于 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 表示，且由 1， 2， 3=10，知 1， 2， 3 线性无关，所以， 1， 2， 3 线性相关，即 1， 2， 3= =a 一 5=0，解得 a=5。【知识模块】 向量17 【正确答案】 本题等价
22、于求三阶矩阵 C，使得( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C。所以 C=(1， 2， 3)1 (1， 2， 3)= 。因此(1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，所以 1=21+42 一3， 2=1+22， 3=51+10223。【知识模块】 向量18 【正确答案】 记 A=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)。因为 1， 2， 3 不能由1， 2， 3 线性表示，所以 r(A)3(若 r(A)=3，则任何三维向量都可以由1， 2， 3 线性表示)，从而A= 39=一(a+2)(a 一 1)2=0，即 a=一 2 或1。当 a=一 2 时，(B，A)=40 考虑线性方程组 Bx=
23、2。因为系数矩阵的秩为 2，增广矩阵的秩为 3，所以线性方程组 Bx=2 无解，即 2 不能由 1， 2， 3 线性表出，这与题中的已知条件矛盾，故 a=一 2 不合题意。当 a=1 时， 1=2=3=1=(1，1，1) T，则 1=2=3=1+0 2+0 3，说明1， 2， 3，可由 1， 2， 3 线性表示；而方程组 x11+x22+x33=2 无解( 系数矩阵的秩为 1，增广矩阵的秩为 2)，所以 2 不能由 1， 2， 3 线性表示。故 a=1 符合题意。【知识模块】 向量19 【正确答案】 必要性： a 1，a 2，a n 是线性无关的一组 n 维向量，因此(a1， a2， an)=
24、n。对任一 n 维向量 b，因为 a1，a 2，a n，b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故 a1，a 2，a n，b 线性相关。 综上所述 r(a1，a 2，a n，b)=n。 又因为 a1，a 2，a n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a1，a 2，a n 线性表示。 充分性： 已知任一 n 维向量 b 都可由 a1，a 2， ，a n 线性表示，则单位向量组： 1， 2， n 可由 a1，a 2，a n 线性表示，即 r( 1， 2， n)=nr(a1，a 2，a n)， 又 a1，a 2，a n 是一组凡维向量，有 r(a1，a 2，a n)n。 综上，r(a 1，a 2
25、， an)=n。所以 a1，a 2，a n 线性无关。【知识模块】 向量20 【正确答案】 必要性： 因为 1， 2， n 线性无关，且 1， 2， n 可由1。 2， n 线性表示，所以 nr( 1， 2， n)r(1， 2， n)n， 即r(1， 2， n)=n，则 1， 2， n 线性无关。 充分性： 因为 1， 2， n是线性无关的 n 维向量组，所以 1， 2， n 可以表示 n 维向量空间中所有的向量，故 1， 2， n 可由 1， 2， n 线性表示。【知识模块】 向量【知识模块】 向量21 【正确答案】 假设存在某个 ki=0，则由 k11+kmm=0 可得 k11+ki1 i
26、1 +ki1 i1 +kmm=0。 (1) 因为任意 m 一 1 个向量都线性无关，所以必有 k1=ki1 =ki1 =km=0，即系数 k1，k m 全为零。 所以系数k1，k m 或者全为零，或者全不为零。【知识模块】 向量22 【正确答案】 由() 可知，当 l10 时，系数 l1，l m 全不为零，所以 1=，将其代入(1)式得 k1( )+k22+kmm=0，即( 一 k1+k2)2+(一 k1+km)m=0。又因为任意 m 一 1 个向量都线性无关，所以 k1+k2=一 k1+km=0，即 。【知识模块】 向量23 【正确答案】 由 Ai=ii(i=1，2，3)，且 i(i=1，2
27、，3)非零可知， 1， 2， 3 是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，故 1， 2， 3 线性无关。又A=1+22+33，A 2=1+42+93，所以(，A，A 2)=(1， 2， 3)=(1， 2， 3)P，而矩阵 P 是范德蒙德行列式，故P=20，所以，A，A 2 线性无关。【知识模块】 向量【知识模块】 向量24 【正确答案】 令 A=(1， 2， n1 )T，则 A 是(n 一 1)n 矩阵，且 r(A)=n 一1。由已知条件可知 iTi=0(i=1，2，n 一 1；j=1，2)，即 Ai=0(j=1，2)， 这说明 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个解向量。但 Ax=0
28、 的基础解系中所含向量的个数为 nr(A)=n 一(n 一 1)=1，所以解向量 1， 2 必定线性相关。【知识模块】 向量25 【正确答案】 设 k11+k22+kn1 n1 +k01=0，两边取转置得 k11T+k22T+kn1 n1 T+k01T=0， 上式两端同时右乘 1 得 k11T1+k22T1+kn1 n1 T1+k01T1=0， 注意到 iT1(i=1，2，n 一 1)，所以 k01T1=0。由 10 可得 1T10，于是 k0=0，从而 有k11+k22+kn1 n1 =0。 又因为 1， 2， n1 线性无关，所以k1=k2=kn1 =k0=0，故 1， 2， n1 ， 1
29、 线性无关。【知识模块】 向量26 【正确答案】 必要性：令 B=(b1，b r)，A=(a 1，a s)，则有 B=AK，由定理 r(B)=r(AK)minr(A)，r(K)，结合向量组(I) ：b 1，b 2，b r 线性无关知 r(B)=r，故 r(K)r。又因为 K 为 rs 阶矩阵，则有 r(K)minr，sr。综上所述 rr(K)r，即 r(K)=r。充分性：已知 r(K)=r，向量组()线性无关，r(A)=s，因此 A 的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵 P 使 PA= ，于是有PB=PAK= 。由矩阵秩的性质 r(B)=r(PB)= =r(K)，即 r(B)=r(K)=r，因此向量组(I)线性无关。【知识模块】 向量
