1、考研数学二（向量）模拟试卷 14 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性表示B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线性表示3.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无
2、关B. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关C. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关D. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关4.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，使得 k 1 1 k 2 2 k m m 0C.向量组 1 ， 2 ， m 的维数大于其个数D.向量组 1 ， 2 ， m 的任意一个部分向量组线性无关5.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但
3、2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性相关B. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 线性相关C. 1 ， 2 ， m ， 1 2 线性相关D. 1 ， 2 ， m ， 1 2 线性无关6.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1
4、， 2 ， m 等价D.矩阵 A( 1 ， 2 ， m )与矩阵 B( 1 ， 2 ， m )等价7.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 k 2 线性相关8.设 n 阶矩阵 A( 1 ， 2 ， n )，B( 1 ， 2 ， n )，AB( 1 ， 2 ， n )，记向量组()： 1 ， 2
5、 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则( )（分数：2.00）A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关9.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 1 ， 2 2 ， s s 的秩为 r 1 r 2B.向量组 1 1 ， 2 2 ， s s 的秩为 r 1 r 2C.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 r 2D.向量组 1
6、， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 110.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 都不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示D. 1 ， 2 ， s 中有一个部分向量组线性无关11.设 A 为 n 阶矩阵，且A0，则 A( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13
7、.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 1 a 2 4 3 ，2 1 2 3 ， 2 3 线性相关，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_15.设 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX0 的通解为 Xk(1，1，2，3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 2 3 ， 1 2 2 3
8、 3 ， 1 4 2 9 3 线性无关（分数：2.00）_18.设 1 ， m ， 为 m1 个 n 维向量， 1 m (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 1 ， m 线性无关（分数：2.00）_19.设 1 ， 2 ， n (n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时， 1 2 ， 2 3 ， n 1 线性无关（分数：2.00）_20.设 1 ， n 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1 ， n 线性相关（分数：2.00）_21.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关（分数：2.00）_22.n 维列向量组 1 ， n-1 线性无关且与非零向量
9、正交证明： 1 ， n-1 ， 线性无关（分数：2.00）_23.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立（分数：2.00）_24.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 ABE证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_25.设 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关证明：向量 ，可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_26.设向量组 （分数：2.00）_27.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量
10、，且与向量 正交证明：向量 为零向量（分数：2.00）_28.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 1 ，A 2 1 2 ，A 3 2 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_考研数学二（向量）模拟试卷 14 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性表示
11、B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线性表示解析：解析：因为 2 ， 3 ， 4 线性无关，所以 2 ， 3 线性无关，又因为 1 ， 2 ， 3 线性相关，所以 1 可由 2 ， 3 线性表示，选 A3.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关B. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关C. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关 D. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关解析：解
12、析：因为( 1 2 )( 2 3 )( 3 4 )( 4 1 )0， 所以 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性相关； 因为( 1 2 )( 2 3 )( 3 4 )( 4 1 )0， 所以 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性相关； 因为( 1 2 )( 2 3 )( 3 4 )( 4 1 )0， 所以 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法 得 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关，选 C4.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ，
13、 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，使得 k 1 1 k 2 2 k m m 0C.向量组 1 ， 2 ， m 的维数大于其个数D.向量组 1 ， 2 ， m 的任意一个部分向量组线性无关 解析：解析：A 项不对，因为 1 ， 2 ， m ， 线性无关可以保证 1 ， 2 ， m 线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无关不能保证 1 ， 2 ， m ， 线性无关； B 项不对，因为 1 ， 2 ， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k 1 ，k 2 ，k m 有 k 1 1 k 2 2 k m m 0，但存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m
14、 使得 k 1 1 k 2 2 k m m 0 不能保证 1 ， 2 ， m 线性无关； C 项不对，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 1 ， 2 5.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性相关B. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 线性相关C. 1 ， 2 ， m ， 1 2 线性相关D. 1 ， 2 ， m ， 1 2 线性无关 解析：解析：选项 A 不对，因为 1 可由向量组 1 ， 2 ， 3
15、 线性表示，但不一定能被 1 ， 2 ， m-1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m-1 ， 1 不一定线性相关； 选项 B 不对，因为 1 ， 2 ， m-1 ， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 不一定线性相关； 选项 C 不对，因为 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，所以 1 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，于是 1 ， 2 ， m ， 1 2 线性无关，选 D6.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向
16、量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A( 1 ， 2 ， m )与矩阵 B( 1 ， 2 ， m )等价 解析：解析：因为 1 ， 2 ， m 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 的秩为 m，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选 D7.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3
17、线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性无关 B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 k 2 线性相关解析：解析：因为 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 k 1 2 一定不可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ，k 1 2 线性无关，选 A8.设 n 阶矩阵 A( 1 ， 2 ， n )，B( 1 ， 2 ， n )
18、，AB( 1 ， 2 ， n )，记向量组()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则( )（分数：2.00）A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关 解析：解析：若 1 ， 2 ， n 线性无关， 1 ， 2 ， n 线性无关，则 r(A)n，r(B)n，于是 r(AB)n 因为 1 ， 2 ， n 线性相关，所以 r(AB)r( 1 ， 2 ， n )n，故 1 ， 2 ， n ，与 1 ， 2 ， n 至少有一个线性相关，选D9.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为
19、 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 1 ， 2 2 ， s s 的秩为 r 1 r 2B.向量组 1 1 ， 2 2 ， s s 的秩为 r 1 r 2C.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 r 2D.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 解析：解析：因为向量组 1 ， 2 ， s 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，所以向量组 1 ， 2 ， s 与向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 等价，选D10.向量组 1
20、 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 都不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示 D. 1 ， 2 ， s 中有一个部分向量组线性无关解析：解析：若向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1 ， 2 ， s 一定线性无关，因为若 1 ， 2 ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选 C11.设 A 为 n 阶矩阵，且A0，则 A( )（分
21、数：2.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合 D.任一列都是其余列向量的线性组合解析：解析：因为A0，所以 r(A)n，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选 C二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关的充分必要条件是 1 ， 2 ， 3 0，从而 A 13.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 1 a 2 4 3 ，2 1 2 3 ， 2 3 线性相关，则 a 1（分数：2.
22、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：( 1 a 2 4 3 ，2 1 2 3 ， 2 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) ， 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 a 2 4 3 ，2 1 2 a 3 ， 2 3 线性相关，所以 14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）填空项 1:_ （正确答案：13）解析：解析：因为 ， 正交，所以15.设 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX0 的通解为 Xk(1，1，2，3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
23、案：正确答案： 2 1 2 3 3 4）解析：解析：因为(1，1，2，3) T 为 AXO 的解，所以 * 2 2 3 3 4 0，故 2 * 2 3 3 4 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 2 3 ， 1 2 2 3 3 ， 1 4 2 9 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 ( 1 2 3 )k 2 ( 1 2 2 3 3 )k 3 ( 1 4 2 9 3 )0，即 (k 1 k 2 k 3 ) 1 (k 1 2k
24、 2 4k 3 ) 2 (k 1 3k 2 9k 3 ) 3 0， 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以有 而 D )解析：18.设 1 ， m ， 为 m1 个 n 维向量， 1 m (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 1 ， m 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 ( 1 )k m ( m )0，即 k 1 ( 2 3 m )k m ( 1 2 m-1 )0 或 (k 2 k 3 k m ) 1 (k 1 k 3 k m ) 2 (k 1 k 2 k m-1 ) m 0， 因为 1 ， m 线性无关，所以 因为 )解析：19.设 1 ， 2 ， n (
25、n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时， 1 2 ， 2 3 ， n 1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 ， 2 ， n ，使 1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) n ( n 1 )0，即 ( 1 n ) 1 ( 1 2 ) 2 ( n-1 n ) n 0， 因为 1 ， 2 ， n 线性无关，所以有 该方程组系数行列式 D n 1(1) n+1 ，n 为奇数 D n 1 n 0 )解析：20.设 1 ， n 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1 ， n 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：向量组 1 ， n 线性相关的充分必要条件是方程
26、组 1 1 n n 0 有非零解，因为方程组 1 1 n n 0 中变量有 n 个，约束条件最多有 m 个且mn，所以方程组 1 1 n n 0 一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组 1 ， n 线性相关)解析：21.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 ， n 为一个向量组，且 1 ， r (rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k 1 ，k r ，使得 k 1 1 k r r ，于是 k 1 1 k r r 0 r+1 0 n 0，因为 k 1 ，k r ，0，0 不全为零，所以 1 ， n 线性相关)解
27、析：22.n 维列向量组 1 ， n-1 线性无关且与非零向量 正交证明： 1 ， n-1 ， 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 0 k 1 1 k n-1 n-1 0，由 1 ， n-1 与非零向量 正交及(，k 0 k 1 1 k n-1 n-1 )0 得 k 0 (，)0，因为 为非零向量，所以(，) 2 0，于是 k 0 0，故 k 1 1 k -1 n-1 0，由 1 ， n-1 线性无关得 k 1 k n-1 0，于是 1 ， n-1 ， 线性无关)解析：23.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立（
28、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令走 k 1 1 k n n 0，由 1 ， n 两两正交及( 1 ，k 1 1 k n n )0，得 k 1 ( 1 ， 1 )0，而( 1 ， 1 ) 1 2 0，于是 k 1 0，同理可证 k 2 k n 0，故 1 ， n 线性无关 令 1 ， 2 )解析：24.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 ABE证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 r(B)minm，nn，由 ABE 得 r(AB)n，而 r(AB)r(B)，所以r(Bn，从而 r(B)n，于是 B；的列向量组线性无关)解析：25
29、.设 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关证明：向量 ，可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 也线性无关，又向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关，所以向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，从而 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示)解析：26.设向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关
30、的充分必要条件是 1 ， 2 ， 3 0， 而 1 ， 2 ， 3 )解析：27.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 0，令 k 1 1 k 2 2 k n n k 0 0，上式两边左乘 T 得 k 1 T 1 k 2 T 2 k n T n k 0 T 0 因为 1 ， 2 ， n 与 正交，所以 k 0 T 0，即 k 0 2 0，从而 k 0 0，于是 k 1 1 k 2 2 k n n 0，再由 1 ， 2 ， n 线性无关，得走 k 1 k 2 k n 0，故 1 ， 2 ， n
31、 ， 线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以 0)解析：28.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 1 ，A 2 1 2 ，A 3 2 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 1 得(AE) 1 0； 由 A 2 1 2 得(AE) 2 1 ；由 A 3 2 3 得(AE) 3 2 ， 令 k 1 1 k 2 2 k 3 3 0， (1) (1)两边左乘 AE 得 k 2 1 k 3 2 0， (2) (2)两边左乘 AE 得 k 3 1 0，因为 1 0，所以 k 3 0，代入(2)、(1)得 k 1 0，k 2 0，故 1 ， 2 ， 3 线性无关)解析：
