1、考研数学二（向量）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维列向量组 1， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组 1， m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（B）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（C）向量组 1， m 与向量组 1， m 等价（D）矩阵 A=(1， m)与矩阵 B=(1， m)等价2 设向量组(I) 1,2 s 的秩为 r1，向量组() 12 t 的秩为 r2，向量组()1,2 s， 12 t 的秩为 r3，则下列结论不正确的是( )（A）若(I)可
2、由()线性表示，则 r2=r3（B）若 ()可由(I)线性表示，则 r1=r3（C）若 r1=r3，则 r2r 1（D）若 r2=r3，则 r1r23 已知向量组(I) 1,2,3；() 1,2,3,4；() 1,2,3,5，如果各向量组的秩分别为r(I)=r()=3， r()=4，则向量组 1,2,3， 5（A）2（B） 3（C） 4（D）5二、填空题4 已知向量组 1=(1，2，3，4)， 2=(2，3，4，5) ， 3=(3，4，5，6)，4=(4， 5，6， 7)，则该向量组的秩是_5 已知向量组 1=(1，2，一 1，1)， 2=(2，0，t，0)， 3=(0，一 4，5，一 2)的
3、秩为2，则 t=_6 从 R2 的基 的过渡矩阵为_7 已知 3 维空间的一组基为 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T， 3=(0，1，1) T，则向量u=(2，0，0) T 在该组基下的坐标是_8 已知向量组 1=(1，1，1，1)， 2=(2，3，4，4) ， 3=(3，2，1，k)所生成的向量空间的维数是 2，则 k=_9 设 1,2,3 是 3 维向量空间 R3 的一组基，则由基 到基1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵为_.10 向量空间 V=x=(x1,x2 ,xn)Tx 1,x2 ,xn=0，x 1,x2 ,xnR的维数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
4、演算步骤。11 确定常数 使向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，n， 1)T， 3=(a，1，1) T 可由向量组1=(1，1，a) T， 2=(一 2， a，4) T， 3=(-2，a，a) T 线性表示，但向量组 1， 2， 3不能由向量组 1,2,3 线性表示12 设向量组(I)： 1=(2，4，一 2)T， 2=(一 1，a 一 3，1) T， 3=(2，8，b 一 1)T； () ： 1=(2，b+5，一 2)T， 2=(3，7，a 一 4)TT， 3=(1，2b+4，一 1)T问(1)a，b 取何值时， r(I)=r() ，且(I)与()等价?(2)a ， b 取何值时，r
5、(I)=r()，但(I)与()不等价?13 已知向量组 A： 1=(0， 1，2，3) T， 2=(3，0，1，2) T， 3=(2，3，0，1)T； B： 1=(2， 1，1，2) T， 2=(0，一 2，1，1) T， 3=(4，4，1，3) T试证 B 组能由A 组线性表示，但 A 组不能由 B 组线性表示14 已知向量组 A： 1=(0， 1，1) T， 2=(1，1，0) T；B： 1=(一 1，0，1)T， 2=(1，2，1) T， 3=(3，2，一 1)T试证 A 组与 B 组等价15 设 试证向量组 1,2 n 与向量组 12 n 等价16 设向量组 1=(1，3，2，0) T
6、， 2=(7，0，14，3) T， 3=(2，一 1，0，1)T， 4=(5，1，6，2) T， 5=(2，一 1，4，1) T，求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并把不是极大线性无关组的向量用此极大线性无关组线性表示17 设向量组 1=(a，3，1) T， 2=(2，b，3) T， 3=(1，2，1) T， 4=(2，3，1) T 的秩为2，求 a，b 的值及该向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示18 已知向量组(I) 1=(0，1，一 1)T， 2=(a，2，1) T， 3=(b，1，0) T 与向量组( )1=(1， 2，一 3)T， 2=(3，0，1)
7、T， 3=(a，b，一 7)T 有相同的秩，且 3 可由1,2,3 线性表示，求 a，b 的值19 求单位向量 3，使向量组 1=(1，1，0) T， 2=(1，1，1) T， 3 与向量组1=(0， 1，1) T， 2=(1，2，1) T， 3=(1，0，一 1)T 的秩相同，且 4 可由 1,2,3 线性表示20 验证 1=(1，一 1，0) T， 2=(2，1，3) T， 3=(3，1，2) T 为 R3 的一个基，并把1=(5，0，7) T， 2=(一 9，一 8，一 13)T 用这个基线性表示21 求一组向量 1， 2，使之与 3=(1，1，1) T 成为 R3 的正交基；并把 1,
8、2,3 化成R3 的一个标准正交基22 设 V 是向量组 1=(1， 1，2，3) T， 2=(一 1，1，4，一 1)T， 3=(5，一 1，一8，9) T 所生成的向量空间，求 V 的维数和它的一个标准正交基22 设 4 维向量空间 V 的两个基分别为(I) 1,2,3,4；()1=1+2+3， 2=2+3， 3=3+4， 4=4，求23 由基() 到基 (I)的过渡矩阵；24 在基(I)和基()下有相同坐标的全体向量25 设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1=(1，1，2，3) T， 2=(一 1，1，4，一 1)T， 3=(5，一 1，一 8，9) T 是齐次线性方程组 Bx=0
9、的解向量，求 Bx=0 的解空间的一个标准正交基26 设 i=(i1,i2 in)T(i=1，2，r，r n)是 n 维实向量，且 1,2 r 线性无关，已知 =(b1，b 2，b n)T 是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组 1,227 设 A=(1,2,3)是 53 矩阵 1， 2 是齐次线性方程组 ATx=0 的基础解系，试证1,2,3,1， 2 线性无关28 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 x，使 x，Ax，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax一 2A2x，令 P=(x，Ax， A2X) (1)求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP-1；(2)求A+E的值考研数学二（向量
10、）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查向量线性表示与等价向量组的概念以及对充分必要条件的理解要求考生掌握两个向量组等价充分必要条件是这两个向量组能互相线性表示；两个同型矩阵等价充分必要条件是它们的秩相等选项 A、B 、C 都不是向量组12 m 线性无关的必要条件例如 这两个向量组都线性无关，秩都为 2，但这两组向量不能互相线性表示，从而不等价所以选项 A、B、C 均不正确但是“矩阵 A、B 等价的充要条件是 r(A)=r(B)”，而所以 12 m 也线性无关的充分必要条件 r(A)=r(B)，即矩阵 A
11、 与 B 等价，故选 D【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查向量组的秩的概念和性质因为当(I)可由()线性表示时，则()可由()线性表示，而 ()又可由()线性表示，因此， ()和()等价，A 正确同理 B 也正确由于(I)与()均在() 中有 r1r3 和 r2r3，因此当 r1=r3 时，有r2r1；当 r2=r3 时，有 r1r2，故 D 正确，而 C 不正确，故选 C【知识模块】 向量3 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查向量组的线性相关、线性无关和线性表示以及向量组的秩的概念由题设知 1,2,3 线性无关， 1,2,3,4 线性相关，因而 4 可以 1,2
12、,3 线性表示，若 1,2,3， 5 一 4 线性相关，则 5 一 4 也可由 1,2,3 线性表示，从而有 5 可由 1,2,3 线性表示，即 1,2,3,5 线性相关，这与 r()=4 矛盾故选C【知识模块】 向量二、填空题4 【正确答案】 2【试题解析】 本题主要考查用矩阵的初等变换求向量组的秩要求考生掌握矩阵的秩等于其行(列) 向量组的秩，而矩阵进行初等变换后其秩不变令A=(1T,2T,3T,4T)，对 A 施以初等行变换：由行阶梯型矩阵的非零行有 2 行，所以 r(A)=2，从而向量组 1,2,3,4 的秩为 2【知识模块】 向量5 【正确答案】 3【试题解析】 本题主要考查向量组的
13、秩的概念，与前一题不同，本题向量组的秩为已知，要确定参数分析方法与前一题类似，借助矩阵进行分析由于矩阵的秩为 2，所以 A 的所有的 3 阶子式全为 0，可得 62t=0，于是 t=3，故应填 3注：本题也可以对矩阵 A 施以初等行变换化成行阶梯形，由于矩阵 A 的秩为 2，所以 t 一 3=0，故 t=3【知识模块】 向量6 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查向量空间两个基之间过渡矩阵的概念设所求的过渡矩阵为 A，则有( 12)=(1,2)A，即 于是【知识模块】 向量7 【正确答案】 (1，1，一 1)T【试题解析】 本题主要考查向量空间的基与坐标的概念，可以通过方程组求解，也可以用
14、矩阵运算求解设向量 u=(2，0，0) T 在给定基下的坐标是 x1，x 2，x 3，即有 u=x11+x22+x33，于是 解得 x1=1，x 2=1，x 3=一 1【知识模块】 向量8 【正确答案】 1【试题解析】 本题考查向量空间基的概念要求考生掌握向量空间基的定义；向量组与其所生成向量空间的向量组等价，向量空间的维数就是该向量组的秩由于向量组 1,2,3 所生成的向量空间的维数为 2，可知向量组的秩 r(1,2,3)=2，于是由于向量组的秩 r(1,2,3)=2，所以 k=1【知识模块】 向量9 【正确答案】 【试题解析】 本题考查过渡矩阵的概念和基变换公式，所涉及的知识点是过渡矩阵的
15、概念；基变换公式( 12 n)=(1,2 n)C，其中 12 n 和1,2 n 分别是 Rn 的两组基，C 是基 1,2 n 到基 12 n 的过渡矩阵【知识模块】 向量10 【正确答案】 n 一 1【试题解析】 本题考查向量空间、基及其维数的概念由向量空间中向量所满足的条件得 x1,x2 ,xn=0解得 其中k1,k2,，k n-1 为任意常数由向量空间的定义知， 1=(一 1，1，0，0)T， 2=(一 1， 0，1， 0)T， n-1=(一 1，0，0，1) T 是向量空间 V 的一个基故向量空间 V 的维数为 n1【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11
16、 【正确答案】 记 A=(1,2,3)，B=( 1， 2， 3)，由于 1， 2， 3 不能由 1,2,3线性表示，故 r(A)3，从而 A= 一(a 一 1)2(a+2)=0，所以 a=1 或 a=一 2当a=1 时， 1=2=3=1=(1， 1，1) T，故 1,2,3 可由 1， 2， 3 线性表示，但 =(一2，1，4) T 不能由 1,2,3 线性表示，所以 a=1 符合题意当 a=一 2 时，由于考虑线性方程组Bx=2，因为 r(B)=2，r(B， 2)=3，所以方程组 Bx=2 无解，即 2 不能由1， 2， 3 线性表示，与题设矛盾因此 a=1【试题解析】 本题考查向量组的线性
17、表示要求考生掌握矩阵 A=(1,2 s，)经初等行变换变为矩阵 B=(12 s，)，则 A 的列向量组 1,2 s， 与 B的列向量组 12 s， 对应的列有相同的线性相关性 方程组x11+x22+xss= 与方程组 x11+x22+xss= 同解【知识模块】 向量12 【正确答案】 以 1,2,3， 1， 2， 3 为列作矩阵，并对该矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵：由以上行阶梯形矩阵，得(1)当 a1，b一 1 时， 1,2,30， 1， 2， 30 ，故此时 r(I)=r()=r(I ，)=3，所以(I)与()等价当 a=1，b=一 1 时，r(I)=r()=r(I，)=2 ，故(I)
18、与()也等价(2)当 a=1，b一 1 时，r(I)=r()=2，但 r(I)r(I，)=3，故(I)与()不等价当 a1，b=一 1 时，仍有 r(I)=r()=2，但 r(I)r(I，)=3，故(I)与()也不等价综上可知，当 a1，且 b一 1，或 a=1，且 b=一 1 时，r(I)=r()，从而(I)与()等价；当 a=1，且 b一1 或 a1，且 b=一 1 时，r(I)=r()，但(I)与() 不等价【试题解析】 本题考查在秩相等的条件下判断两向量组是否等价，需要从等价定义出发，即从(I)可由( ) 线性表示，且( )又可由(I) 线性表示来考虑，也就是 r(I)=r()=r(I
19、，)【知识模块】 向量13 【正确答案】 对由两组向量构成的矩阵施初等行变换：由此可知 r(A)=r(A，B)=3，所以向量组 B 能由向量组 A 线性表示又由于得 r(B)=2r(A，B)，所以向量组 A不能由向量组 B 线性表示【试题解析】 本题考查两向量组的线性表示要求考生掌握 B 组能由 A 组线性表示的充分必要条件 r(A)=r(A，B)【知识模块】 向量14 【正确答案】 由 知 r(B)=r(B，A)=2显然 r(A)=2，从而 r(A)=r(B)=r(A，B)=2因此向量组 A 与向量组 B等价【试题解析】 本题考查向量组等价的概念，A 组与 B 组等价的充分必要条件是r(A)
20、=r(B)=r(A，B)【知识模块】 向量15 【正确答案】 将已知关系式写成记为 B=AK，其中B=(12 n)，A=( 1,2 n)因为所以 K 可逆，故有 A=BK 一 1由B=AK 及 A=BK 一 1 可知两个向量组可以互相线性表示，因此向量组 1,2 n 与向量组 12 n 等价【试题解析】 本题考查向量组等价的概念要求考生掌握向量组 A 与 B 等价的充分必要条件是两向量组能互相线性表示【知识模块】 向量16 【正确答案】 令 A=(1,2,3,4,5)，对矩阵 A 作初等行变换，得由此可得，r(A)=r( 1,2,3,4,5)=3， 1,2,3 是该向量组的一个极大线性无关组，
21、于是【试题解析】 本题考查向量组的线性相关性与极大线性无关组，解题时将向量组转化矩阵 A，利用 r(A)=A 的列秩=A 的行秩【知识模块】 向量17 【正确答案】 令 A=(1,2,3,4)，对矩阵作初等行变换，得由于 r(1,2,3,4)=2，即 r(A)=2，由上面行阶梯形结果可知第 1，2 两行必是非零行，要使 r(A)=2，第 3 行应为零，即 2-a=0，6a+bab 一 7=0，解得 a=2，b=5 ，此时向量组的秩为 2取 1,3 为向量组的极大线性无关组，为把 2,4 用该极大线性无关组线性表示，进一步将 A 化为于是得 2=一 1+44， 4=1【试题解析】 本题考查向量组
22、的极大线性无关组和秩的概念及一个向量用一组向量线性表示【知识模块】 向量18 【正确答案】 显然 1， 2 线性无关，且 31+22=3，所以向量组 1,2,3 的秩r(1,2,3)=2，且 1， 2 是向量组 1,2,3 的一个极大线性无关组，于是r(1， 2， 3)=2，从而 1， 2， 3=0，即 又3 可由 1,2,3 线性表示，所以 3 可由其极大线性无关组 1， 2 线性表示，从而3， 1， 2 线性相关，于是 解得 a=15，b=5 【试题解析】 本题考查向量线性表示和向量组秩的概念要求考生掌握“向量组线性相关 向量组中至少有一个向量能由其余的向量线性表示”，“向量组线性相关由它
23、们排成的行列式等于零”，“一个向量能由一组向量线性表示，则该向量就能由其极大线性无关组线性表示”【知识模块】 向量19 【正确答案】 设 A=(1,2,3)，则 由此可知，r( 1,2,3)=2，所以 1,2,3 线性相关，并且 1,2 是 1,2,3 的一个极大线性无关组设 3=(x1，x 2，x 3)T，由于 3 可由 1,2,3 线性表示，从而可由 1,2 线性表示，所以 1,2,3 线性相关，于是即 x1 一 x2+x3=0又因为 r(1， 2， 3)=r(1,2,3)=2，所以 1， 2， 3 也线性相关，于是即 x1 一 x2=0由已知 3 为单位向量，则 3=x12+x22+x3
24、2=1于是， 解得 故可取【试题解析】 本题考查向量组的秩的概念和向量的线性表示，应先求 1,2,3 的秩，来确定 1， 2， 3 的秩，再根据题设建立相应的线性方程组【知识模块】 向量20 【正确答案】 设 A=(1,2,3)，要证 1,2,3 是 R3 的一个基只需证明 A 等价于E 即可且 x11+x22+x33=1，x 121+x222+x323=2于是，以 1,2,3， 1， 2 为列向量作矩阵，并对该矩阵施初等行变换，得显然 A 等价 E，故1,2,3 是 R3 的一个基，且 21+32 一 3=1，3 1 一 3223=2【试题解析】 本题考查向量空间的基的概念和向量线性表示的概
25、念【知识模块】 向量21 【正确答案】 依题意，设所求向量为 x，于是(x， 3)=0即得方程组x1+x2+x3=0，解得方程组的基础解系 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 1，0，1) T，将1， 2 正交化得 则 1=(一 1，1，0)T, 3=(1，1，1) T 为 R3 的一个正交基将 1,2,3 单位化，得故 e1,e2,e3 为所求 R3 的一个标准正交基【试题解析】 本题考查向量空间的基、标准正交基的概念和正交基的化法【知识模块】 向量22 【正确答案】 由于显然 1， 2 线性无关且 3=21 一 32，因此向量空间 V 的维数是 2，且 1,2 为它的一个基为了求 V
26、的一个标准正交基，先将 1， 2 正交化，令 1=1=(1，1，2，3) T，再将 1， 2 单位化，得 故 e1，e 2 就是 V 的一个标准正交基【试题解析】 本题考查由一组向量所生成的向量空间的概念和标准正交基的化法由于 V 是由 1,2,3 所生成的向量空间，所以 V 的维数等于向量组 1,2,3 的秩，且 1,2,3 的任一极大线性无关组便是 V 的一个基【知识模块】 向量【知识模块】 向量23 【正确答案】 由题设条件可得 因此，由基()到基(I)的过渡矩阵为【试题解析】 本题考查基变换公式和坐标变换公式【知识模块】 向量24 【正确答案】 设向量 x 在基(I)和基( )下有相同
27、的坐标，且坐标为x1，x 2,x3，x 4，则由坐标变换公式得 即解得 于是得在基(I)和基()下有相同坐标的全体向量为 x=01+02+03+k4，其中 k 为任意常数【知识模块】 向量25 【正确答案】 由于 B 是秩为 2 的 54 矩阵，故方程组 Bx=0 解空间的维数为nr(B)=42=2又 1,2 线性无关，所以 1,2 是解空间的基先将 1,2 正交化，令 再单位化得故 e1，e 2 即是解空间的一个标准正交基【试题解析】 本题考查方程组解空间的基及 Schmidt 正交化注意解空间的基即方程组的基础解系，不唯一【知识模块】 向量26 【正确答案】 设有一组数 x1,x2 ,xx
28、+1，使得 x11+x22+x+x rr+xr+1=0， (*) 用 T 左乘(*)式两端，由于 是方程组的非零解，所以 Ti=0(i=1，2，r)，从而得 xr+1T=0，而 0，故 T0，从而 xr+1=0，代入(*)式并注意到向量组1,2 r 线性无关，可得 x1=0，x 2=0，x r=0，所以向量组 1,2 r， 线性无关【试题解析】 本题是向量与方程组的综合题注意 =(b1，b 2，b n)T 是线性方程组的解，则有 即 Ti=0(i=1，2，r)【知识模块】 向量27 【正确答案】 因 1， 2 是齐次线性方程组 ATx=0 的基础解系，所以有 5-r(AT)=2，即 r(A)=
29、3，故 1,2,3 线性无关又 有 jTi=0(i=1，2，j=1 ，2，3)设 k 11+k22+k33+k41+k52=0，令 =k 11+k22+k33=一 k41+k52，则 (k 11+k22+k33，-k 41k 52)=(，)=0 因而 k11+k22+k33=0，一 k41k 52=0，而 1,2,3 及 12 是线性无关的，故 k1=k2=k3=0，k 4=k5=0，从而1,2,3， 12 线性无关【试题解析】 本题是向量与方程组的综合题注意齐次线性方程组的基础解系是线性无关的【知识模块】 向量28 【正确答案】 (1)设 则由 AP=PB 得上式可写为 Ax=a1x+b1A
30、x+c1A2x， (1)A2x=a2x+b2Ax+c2A2x， (2)A 3x=a3x+b3Ax+c3A2x (3)将 A3x=3Ax 一 2A2x 代入(3)式得 3Ax-2A2x=a3x+b3Ax+c3A2x (4)整理得 a1x+(b1-1)Ax+c1A2x=0，a 2x+b2Ax+(c21)A2x=0，a 3x+(b3-3)Ax+(c3+2)A2x=0由于 x，Ax ，A 2x 线性无关，故a1=c1=0，b 1=1；a 2=b2=0，c 2=1；a 3=0，b 3=3，x 3=-2从而 (2)由(1)知A 与 B 相似，故 A+E 与 B+E 也相似，从而【试题解析】 本题是向量与矩阵的综合题，主要考查向量组的线性相关性【知识模块】 向量
