1、考研数学二（二次型）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 ，则矩阵 A 与 B( )（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似2 下列二次型中是正定二次型的是( )（A）f 1=(x1 一 x2)2+(x2 一 x3)2+(x3 一 x1)2（B） f2=(x1+x2)2+(x2 一 x3)2+(x3+x1)2（C） f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3 一 x4)2+(x4 一 x1)2（D）f 4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4 一 x1)23 设
2、 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对换得到 C，则 A 与 C( )（A）等价但不相似（B）合同但不相似（C）相似但不合同（D）等价，合同且相似4 下列矩阵中，正定矩阵是( )（A）（B）（C）（D）5 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）二次型 xTAx 的负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P 使 P 一 1AP=E（C）存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 一 1C（D）A 的伴随矩阵 A*与 E 合同6 下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( )（A）（B）（C）（D）7 n 元实二次型正定的充分必要条件是( )（
3、A）该二次型的秩=n（B）该二次型的负惯性指数=n（C）该二次型的正惯性指数=官的秩（D）该二次型的正惯性指数=n8 下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 为正定的是( )（A）A 一 1 正定（B） A 没有负的特征值（C） A 的正惯性指数等于 n（D）A 合同于单位阵9 关于二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是( )（A）是正定的（B）其矩阵可逆（C）其秩为 1（D）其秩为 210 设 f=XTAX，g=X TBX 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（A）X T(A+B)X（B） XTA
4、一 1X（C） XTB 一 1X（D）X TABX11 设 A，B 为正定阵，则( )（A）AB，A+B 都正定（B） AB 正定， A+B 非正定（C） AB 非正定， A+B 正定（D）AB 不一定正定，A+B 正定12 实对称矩阵 A 的秩等于 r，它有 t 个正特征值，则它的符号差为( )（A）r（B） t 一 r（C） 2t 一 r （D）r 一 t13 f(x1，x 2， x3)=x12 一 2x1x2+4x32 对应的矩阵是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题14 设 f=x12+x22+5x32+2ax1x22x1x3+4x2x3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是_1
5、5 二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=2x2+2x32+4x1x2+8x2x34x1x3 的规范形是_16 若二次曲面的方程为 x2+3y2+x2+2axy+2xz+2yx=4，经正交变换化为 y12+4z12=4，则 a=_17 设 则二次型的对应矩阵是_18 二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)=x32+4x42+2x1x2+4x3x4 的规范形是_19 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3 是正定的，则 a 的取值范围是_20 设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A3=2A2+5A 一 6E，且 kE+A 是正定阵，
6、则 k 的取值范围是_21 设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=一 aE+ATA 是正定阵，则 a 的取值范围是_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 f(x1，x 2， x3)=5x12+5x22+cx32 一 2x1x2+6x1x36x2x3 的秩为 222 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值；23 指出方程 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种二次曲面24 n 阶对称矩阵的全体 V 对于矩阵的线性运算构成一个 维线性空间给出n 阶可逆矩阵 P，以 A 表示 V 中的任一元素，试证合同变换 TA=PTAP，是 V 中的线性变换25 设 A 为
7、 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵，试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n25 写出下列二次型的矩阵：26 27 28 设二次型 x12+x22+x32 一 4x1x24x1x3+2ax2x3 经正交变换化为 3y12+3y22+6y32，求a，b 的值及所用正交变换28 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1 一 a)x12+(1a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 229 求 a 的值；30 求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形；31 求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解31 设
8、 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵32 计算 PTDP，其中33 利用(1)的结果判断矩阵 BCTA 一 1C 是否为正定矩阵，并证明结论34 设矩阵 有一个特征值是 3，求 y，并求可逆矩阵 P，使(AP)T(AP)为对角矩阵35 求一个正交变换把二次曲面的方程 3x2+5y2+5z2+4xy 一 4xz10yz=1 化成标准方程36 证明对称阵 A 为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵 U，使 A=UTU，即 A与单位阵 E 合同36 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a 一 1)x32+2x1x32x2x337 求二次型
9、 f 的矩阵的所有特征值；38 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值38 已知 二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 2，39 求实数 a 的值；40 求正交变换 x=Qy，将 f 化为标准形40 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，设41 证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T；42 若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y22+y22考研数学二（二次型）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确
10、答案】 B【试题解析】 由E A=0，得矩阵 A 的特征值为 0，3，3同理可知矩阵 B的特征值为 0，1，1，因此矩阵 A 与 B 不相似又 r(A)=r(B)=2，且矩阵 A、B 有相同的正惯性指数，因此矩阵 A 与 B 合同故选 B【知识模块】 二次型2 【正确答案】 D【试题解析】 由定义 f=xTAx 正定 对任意的 x0，均有 xTAx0反之，若存在x0，使得 f=xTAx0，则 f 或 A 不正定A 选项因 f1(1，1，1)=0，故 A 不正定B 选项因 f2(一 1，1，1)=0，故 B 不正定C 选项因 f3(1，一 1，1，1)=0，故C 不正定由排除法，故选 D【知识模
11、块】 二次型3 【正确答案】 D【试题解析】 对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等阵表示，由题设AEij=B，E ijB=C，故 C=EijB=EijAEij因 Eij=EijT=Eij 一 1，故 C=EijAEij=Eij 一1AEij=EijTAEij，故即 AC，CA 且 CA，故应选 D【知识模块】 二次型4 【正确答案】 C【试题解析】 二次型正定的必要条件是：a ij0在选项 D 中，由于 a33=0，易知f(0，0，1)=0 ，与 X0，X TAX0 相矛盾因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，2 阶主子式 在选项 B 中，3 阶主子式 3=A=
12、一 1因此选项 A、B、D 均不是正定矩阵故选 C【知识模块】 二次型5 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是必要不充分条件这是因为 r(f)=p+qn，当 q=0 时，有r(f)=pn此时有可能 p n，故二次型 xTAx 不一定是正定二次型因此矩阵 A 不一定是正定矩阵例如 f(1，x 2，x 3)=x12+5x32选项 B 是充分不必要条件这是因为 P 一 1AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是 1，此时 A 是正定的但只要A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的选项 C 中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=CTC 不能说 A
13、 与 E 合同，也就没有 A 是正定矩阵的结论例如 显然矩阵不正定关于选项D，由于 A 正定 正定 A*正定 A*与 E 合同所以 D 是充分必要条件【知识模块】 二次型6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 不是对称阵，故它不可能是二次型的矩阵【知识模块】 二次型7 【正确答案】 D【试题解析】 二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数=n【知识模块】 二次型8 【正确答案】 B【试题解析】 A 一 1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 CTA 一 1C=In 两边求逆得到 C 一1A(CT)一 1=C 一 1A(C 一 1)T=In即 A 合同于 In，A 正定，因此不应选 AD 是 A
14、正定的定义，也不是正确的选择C 表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵由排除法，故选 B事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数【知识模块】 二次型9 【正确答案】 C【试题解析】 二次型的矩阵 所以 r(A)=1，故选项 C正确，而选项 A，B，D 都不正确【知识模块】 二次型10 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的 n 个特征值1， 2， n 都大于零，A0，设 APj=jPj，则 ，A 一 1 的 n 个特征值 (j=1，2，n)必都大于零，这说明 A 一 1 为正定阵，X TA 一 1
15、X 为正定二定型同理，X TB 一 1X 为正定二次型，对任意 n 维非零列向量 X 都有 XT(A+B)X=XTAX+XTBX0，这说明 XT(A+B)X 为正定二次型由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以 XTABX 未必为正定二次型【知识模块】 二次型11 【正确答案】 D【试题解析】 由于 A、B 正定，所以对任何元素不全为零的向量 X 永远有XTAX0，同时 XTBX0因此 A+B 正定，AB 不一定正定，AB 甚至可能不是对称阵【知识模块】 二次型12 【正确答案】 C【试题解析】 A 的正惯性指数为 t，负惯性指数为 rt，因此符号差等于 2t 一r【知识模块】 二次型13
16、【正确答案】 C【试题解析】 x 1，x 2，x 3 平方项系数对应主对角线元素：1，0，4，x 1x2 系数的一2 对应 a12 和 a21 系数的和，且 a12=a21，故 a12=一 1，a 21=一 1因此选 C【知识模块】 二次型二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 二次型的矩阵为 其各阶主子式为因为 f 为正定二次型，所以必有 1a20 且一 a(5a+4)0，因此 故当 时，A 正定，从而 f 正定【知识模块】 二次型15 【正确答案】 z 12+z22 一 z32【试题解析】 按照定义，二次型的矩阵 ，由特征多项式因此矩阵 A 的特征值是 2，6，一 4，即正交变换下的二
17、次型的标准形是 2y12+6y22 一 4y32，因此其规范形是 z12+z22 一 z32【知识模块】 二次型16 【正确答案】 1【试题解析】 本题等价于将二次型 f(x，y，z)=x 2+3y2+z2+2axy+2xz+2z 经正交变换后化为了 f=y12+4z12由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为 1，4，0由于矩阵的行列式值是对应特征值的乘积，且该二次型的矩阵为 即可得A=一(a1) 2=0，因此 a=1【知识模块】 二次型17 【正确答案】 【试题解析】 把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式【知识模块】 二次型18 【正确答案】 y 12+y22 一 y32【试题解析】
18、二次型的矩阵 则EA =( 2 一 1)(2 一 5)，因此矩阵 A 的特征值分别为一 1，0，1，5，故该二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=1于是可得该二次型的规范形是 y12+y22 一 y32【知识模块】 二次型19 【正确答案】 【试题解析】 二次型 f 的矩阵为 因为 f 是正定的，因此矩阵 A 的顺序主子式全部大于零，于是有解以上不等式，并取交集得【知识模块】 二次型20 【正确答案】 k2【试题解析】 根据题设条件，则有 A3 一 2A2 一 5A+6E=O，设 A 有特征值 ，则满足条件 3 一 22 一 5+6=0，将其因式分解可得 3 一 22 一 5+6=(一
19、1)(+2)(一 3)=0，因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，一 2，3，故 kE+A 的特征值分别为 k+1，k 一 2，k+3，且当 k2 时，kE+A 的特征值均为正数故 k2【知识模块】 二次型21 【正确答案】 a 0【试题解析】 B T=(一 aE+ATA)T=一 aE+ATA=B，故 B 是一个对称矩阵B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0，都有 xTBx=xT(一 aE+ATA)x=一 axTx+xTATAx=一 axTx+(Ax)TAx0，其中(Ax) T(Ax)0，x Tx0，因此 a 的取值范围是一 a0，即 a0【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证
20、明过程或演算步骤。【知识模块】 二次型22 【正确答案】 二次型对应的矩阵为 由二次型的秩为 2，因此A=0，由此解得 c=3，容易验证，此时 A 的秩为 2又因所求特征值为1=0， 2=4， 3=9【知识模块】 二次型23 【正确答案】 由特征值可知 f(x1，x 2，x 3)=1 表示椭球柱面【知识模块】 二次型24 【正确答案】 设 A，BV，那么有 AT=A，B T=B，则TA T=(PTAP)T=PT(PTA)T=PTAP=TA 因此 TAV.又因 T(A+B)=PT(A+B)P=PTAP+PTBP=TA=+TA；T(kA)=PT(kA)P=kPTAP=kTA 由线性变换的定义可知，
21、合同变换 T 是 V 中的线性变换【知识模块】 二次型25 【正确答案】 必要性：设 BTAB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的 n 维实列向量 x0，有 xT(BTAB)x0，即(Bx) TA(Bx)0于是， Bx0因此，Bx=0 只有零解，故有 r(B)=n.充分性：因 (BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵若 r(B)=n，则线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量 x0，有 Bx0又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx) TA(Bx)0于是当 x0，有xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx) 0，故 BTAB 为正定矩阵【知
22、识模块】 二次型【知识模块】 二次型26 【正确答案】 由题干可知：【知识模块】 二次型27 【正确答案】 由题干可知：【知识模块】 二次型28 【正确答案】 二次型及其标准形的矩阵分别是由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B不仅合同而且相似那么有 1+1+1=3+3+b 得 b=一 3对 =3，则有由(3EA)x=0 ，得特征向量 1=(1，一 1，0) T， 2=(1，0，一 1)T对 =一 3，由(一 3EA)x=0，得特征向量 3=(1，1，1) T因为 =3 是二重特征值，对 1， 2 正交化有经正交交换 x=Cy，二次型化为 3y12+3y22 一 3y32【知识模块】 二次型
23、【知识模块】 二次型29 【正确答案】 二次型矩阵 二次型的秩为 2，则二次型矩阵A 的秩也为 2，从而 因此 a=0【知识模块】 二次型30 【正确答案】 由(1)中结论 a=0，则 由特征多项式得矩阵 A 的特征值 1=2=2， 3=0当 =2，由(2EA)x=0，系数矩阵得特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1) T当 =0，由(0EA)x=0，系数矩阵 得特征向量 3=(1，一 1，0)T容易看出 1,2,3 已两两正交，故只需将它们单位化：那么令，则在正交变换 x=Qy 下，二次型 f(x1，x 2，x 3)化为标准形 f(x1， x2，x 3)=xTAx=yTAy=2
24、y12+2y22【知识模块】 二次型31 【正确答案】 由 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，得所以方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的通解为：k(1 ，一 1，0) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型32 【正确答案】 【知识模块】 二次型33 【正确答案】 由(1)中结果知，矩阵 D 与矩阵 合同，又因D 是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 B 一CTA 一 1C 是对称矩阵对 m 维向量 X=(0，0，0) T 和任意 n 维非零向量y=(y1，y 2，y
25、n)T0，都有 依定义，YT(B 一 CTA 一 1C)Y 为正定二次型，所以矩阵 B 一 CTA 一 1C 为正定矩阵【知识模块】 二次型34 【正确答案】 因为 3 是 A 的特征值，故3EA=8(3 一 y 一 1)=0，解得y=2于是 由于 AT=A，要(AP) T(AP)=PTA2P=A，而是对称矩阵，即要 A2A，故可构造二次型 xTA2x，再化其为标准形，由配方法，有【知识模块】 二次型35 【正确答案】 记二次曲面为 f=1，则 f 为二次型，二次型的矩阵为使原二次方程变为标准方程 2u2+11v2=1【知识模块】 二次型36 【正确答案】 必要性：因为对称阵 A 为正定的，所
26、以存在正交矩阵 P 使PTAP=diag(1， 2， n)=A，即 A=PAPT，其中 1， 2， n 为 A 的全部特征值，A 是正定矩阵， 1， 2， n 均为正数令A=A1A1，A=PA 1A1TPT再令 U=A1TPT，则 U 可逆，且 A=UTU 故 A 与单位矩阵合同充分性：若存在可逆矩阵 U，使 A=UTU，则对任意的 xRn 且 x0，有Ux 20，即 f(x)=xTAx=xTUTUx=Ux20，矩阵 A 是正定矩阵【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型37 【正确答案】 二次型的矩阵为 则有所以所有特征值是1=a， 2=a2， 3=a+1【知识模块】 二次型38 【正确答案
27、】 若规范形为 y12+y22，说明有两个特征值为正，一个为 0则由于a 一 2aa+1，所以 a2=0，即 a=2【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型39 【正确答案】 由 r(ATA)=2 可得，可得 a=一 1【知识模块】 二次型40 【正确答案】 由(1)中结果，则解得 B 矩阵的特征值为：1=0， 2=2， 3=6对于 1=0，解( 1EB)x=0，得对应的特征向量为：对于 2=2，解( 2EB)x=0，得对应的特征向量为： 对于3=6，解( 3EB)x=0，得对应的特征向量为： 将 1， 2， 3 单位化可得则正交变换 x=Qy，可将原二次型化为 2y22+6y32【知识模块】
28、 二次型【知识模块】 二次型41 【正确答案】 由题设，f(x 1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2所以二次型 f 对应的矩阵为 2T+T【知识模块】 二次型42 【正确答案】 设 A=2T+T，由已知=1， T=0，则 A=(2T+T)=2 2+T=2，所以 为矩阵对应特征值 1=2 的特征向量；A=(2+ T)=2T+ 2=，所以 为矩阵对应特征值 2=1 的特征向量而矩阵 A 的秩r(A)=r(2T+T)r(2T)+r(T)=2，所以 3=0 也是矩阵的一个特征值故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22【知识模块】 二次型
