1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0，y=f(x+x)-f(x)，其中xdy0（B） yy0（D）dy0) ，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=ef()ln19 20 21 设 f(x)= 求 02f(x-1)dx22 求23 求曲 y=x2-2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V24 设 u=f(x， y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 exy-y=0 与 e
2、z-xz=0确定，求25 求 ，其中 D：x 2+y2226 求微分方程 y“-y-6y=0 的通解考研数学二（高等数学）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据微分中值定理，y=f(x+ x)=f(x)=f()x0，所以 f(x)单调增加，而 f(x)x，即 dy0y(a)= ，过 P 点的法线方程为 设 ，因为 Q 在法线上，所以，解得 b=-a- PQ 的长度的平方为 L(a)=(b-a)2+ (b2-a2)2=4a2(1+ )3，由 L(a)=8a(1+ )2(1- )=0 得 a= 为唯一驻点，从而为
3、最小点，故 PQ 的最小距离为【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 令 F(x)=lnx，F(x)= 0，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得即 ，整理得 f(b)-f(a)=f()ln【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 02f(x-1)dx=02f(x-1)d(x-1)=-11f(x)dx=-10 +01ln(1+x)dx【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 区域面积为 S=13f(x) dx= 12(2x-x2)dx+23(x2-2x)dx=Vy=213xf(x)dx=2 12x(2x-x2)dx+23x(x2-2x)dx= =9【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 ，方程 exy-y=0 两边对 x 求导得方程 ez-xz=0 两边对 x 求导得则【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 令 (02，0r)，则【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 特征方程为 2-6=0，特征值为 1=-2， 2=3，则原方程的通解为y=C1e-2x+C2e3x【知识模块】 高等数学部分
