1、考研数学（数学二）-试卷 4 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知当 x0 时，函数 f(x)=x 2 -tanx 2 与 cx k 是等价无穷小量，则( )（分数：2.00）A.c=1，k=3。B.c=-1，k=3。C.c=D.c=3.函数 （分数：2.00）A.连续。B.可导。C.有可去间断点。D.有跳跃间断点。4.设 D 是由抛物线 y=x 2 与曲线 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 =( ) （分数：2.00）A.B.
2、C.D.5.函数 （分数：2.00）A.不连续且不可偏导。B.连续但不可偏导。C.可偏导且可微。D.可偏导但不可微。6.设函数 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处的左、右极限均存在。B.f(x)在 x=0 处的左、右极限均不存在。C. -1 1 f(x)dx 收敛。D. -1 1 f(x)dx 发散。7.函数 （分数：2.00）A.有一个驻点。B.有两个极值点。C.有一个拐点。D.在整个定义域上凹凸性不变。8.设三维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，k，l 为任意实数，则向量组后 k 1 -l 2 ，k 2 -l 3 ，k 3 -l 1 ( )（分数：2.00）A.线性相关性只与
3、 k 有关。B.线性相关性只与 l 有关。C.线性相关性与 k 和 l 都有关。D.无论 k 和 l 取何值，总是线性相关。9.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 是正定的，则( )（分数：2.00）A.a-2。B.-2a-1。C.a0。D.a1。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设函数 f(x)在 x=4 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f 具有二阶连续偏导数，u=f(x，xy，xyz)，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设微分方程
4、的通解为 （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是三阶矩阵，且特征值为 1 =1， 2 =-1， 3 =2，A * 是 A 的伴随矩阵，E 是三阶单位阵，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)连续 f(0)=0,f(0)0，F(x)= 0 x tf(t 2 -x 2 )dt，且当 x0 时，F(x)x n ，求 n及 f(0)。（分数：2.00）_18.求函数 f(x，y)
5、=sinx+siny-sin(x+y)在闭区域 D=(x，y)x0，y0，x+y2上的最值。（分数：2.00）_19.计算 ，其中区域 D 由曲线 （分数：2.00）_20.设 f(x)=kx-arctanx(0k1)。证明：存在唯一的 x 0 (0，+)，使 f(x 0 )=0。（分数：2.00）_21.设函数 =f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 。试确定 m，n 的值，使等式在变换=x+my，=x+ny 下简化为 （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内有 f(x)0 恒成立且 xf(x)=f(x)+ （分数：2.00）_23.设 f(x)在a，b上连
6、续且单调增加，证明 （分数：2.00）_24.线性方程组 （分数：2.00）_25.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (a0)，若二次型 f 的标准形为f=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求 a 的值及所使用的正交变换矩阵。（分数：2.00）_考研数学（数学二）-试卷 4 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知当 x0 时，函数 f(x)=x 2 -t
7、anx 2 与 cx k 是等价无穷小量，则( )（分数：2.00）A.c=1，k=3。B.c=-1，k=3。C.c= D.c=解析：解析：由麦克劳林公式 可知 比较分子、分母的系数可知，c=3.函数 （分数：2.00）A.连续。B.可导。C.有可去间断点。 D.有跳跃间断点。解析：解析：注意到当 x0 时，函数 f(x)是连续的，此时也是可导的；但函数 f(x)在 x=0 处无意义，所以在 x=0 处，f(x)不连续，也不可导，且只有 x=0 是其间断点，而4.设 D 是由抛物线 y=x 2 与曲线 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 =( ) （分数：2.00）A.B.
8、C.D.解析：解析：积分区域 D 如右图所示： 可知两曲线的交点为(-1，1)和(1，1)。 若先对 y 积分，再对 x 积分，则 虽然积分区域关于 y 轴对称，但 f(x，y)的奇偶性并不清楚，故选项 A 不对。 若先对x 积分，再对 y 积分，则5.函数 （分数：2.00）A.不连续且不可偏导。B.连续但不可偏导。C.可偏导且可微。D.可偏导但不可微。 解析：解析：由于 ， 所以 f(x，y)在(0，0)点连续。 由定义可知 同理可得 f y (0，0)=0，故 f(x，y)在(0，0)处可偏导。 因 f(x，y)-f(0，0)-f x (0，0)x-f y (0，0)y=f(x，y)，
9、但 6.设函数 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处的左、右极限均存在。B.f(x)在 x=0 处的左、右极限均不存在。C. -1 1 f(x)dx 收敛。D. -1 1 f(x)dx 发散。 解析：解析： 7.函数 （分数：2.00）A.有一个驻点。B.有两个极值点。 C.有一个拐点。D.在整个定义域上凹凸性不变。解析：解析：函数 的定义域是除了 x=-1 的全体实数，对其求导， 可知导函数有两个零点，即x=1 和 x=-3，故函数有两个驻点。 函数二阶导函数是8.设三维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，k，l 为任意实数，则向量组后 k 1 -l 2 ，k 2 -l 3 ，k
10、3 -l 1 ( )（分数：2.00）A.线性相关性只与 k 有关。B.线性相关性只与 l 有关。C.线性相关性与 k 和 l 都有关。 D.无论 k 和 l 取何值，总是线性相关。解析：解析：由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，可以把 1 ， 2 ， 3 看作一组基，则 (k 1 -l 2 ，k 2 -l 3 ，k 3 -l 1 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 且 9.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 是正定的，则( )（分数：2.00）A.a-2。B.-2a-1。C.a0。
11、D.a1。 解析：解析：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵为 ， 因其是正定的，所以其顺序主子式全大于零，即 一阶顺序主子式 a0； 二阶顺序主子式 =a 2 -10，即 a1 或 a-1； 三阶顺序主子式 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设函数 f(x)在 x=4 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=4x-12）解析：解析：令 5-x=4+x，则x=1-x，代入可得11.设 f 具有二阶连续偏导数，u=f(x，xy，xyz)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf 3 +x 2 yf” 32 +x 2
12、 yzf” 33）解析：解析：由 u=f(x，xy，xyz)可知 =xyf 3 ，则 12.设微分方程 的通解为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由方程的通解 ，将其代入原微分方程得13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由旋转曲面面积的计算公式可得15.设 A 是三阶矩阵，且特征值为 1 =1， 2 =-1， 3 =2，A * 是 A 的伴随矩阵，E 是三阶单位阵，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 1
13、1）解析：解析：由 A 的特征值 1 =1， 2 =-1， 3 =2，可知 A= =-2，A * =A 3-1 =4。 注意到 是六阶方阵，所以 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)连续 f(0)=0,f(0)0，F(x)= 0 x tf(t 2 -x 2 )dt，且当 x0 时，F(x)x n ，求 n及 f(0)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=t 2 -x 2 ，则 F(x)= 0 x tf(t 2 -x 2 ) = 0 x f(t 2 -x 2 )d(t 2 -x
14、2 ) 由洛必达法则得 因为 f(0)=0，故当 n=4 时，由导数的定义有 )解析：18.求函数 f(x，y)=sinx+siny-sin(x+y)在闭区域 D=(x，y)x0，y0，x+y2上的最值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得到 cosx=cosy=cos(x+y)。 在闭区域的内部考虑，可得 x=y=2-x-y，即 是函数在闭区域内部唯一的驻点，且 。 在闭区域的边界上，当 x=0 或 y=0 或 x+y=2 时，都有 f(x，y)=0。 由闭区域上连续函数必存在最值的性质，可知函数的最大值为 )解析：19.计算 ，其中区域 D 由曲线 （分数：2.00）_正确答案
15、：(正确答案：积分区域 D 如图中阴影部分： 单位圆 x 2 +y 2 =1 将区域 D 分成两部分，单位圆 x 2 +y 2 =1 内的部分记作 D 1 ，单位圆 x 2 +y 2 =1 外的部分记作 D 2 ，则 )解析：20.设 f(x)=kx-arctanx(0k1)。证明：存在唯一的 x 0 (0，+)，使 f(x 0 )=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设函数 =f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 。试确定 m，n 的值，使等式在变换=x+my，=x+ny 下简化为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)在0，1
16、上连续，在(0，1)内有 f(x)0 恒成立且 xf(x)=f(x)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()将 ，这是一阶线性微分方程，由一阶线性微分方程的通解公式得 由 y=f(x)与 x=1，y=0 围成的平面图形的面积为 2 可知， 注意到在(0，1)内需 f(x)0 成立，故还需确定 a 的取值范围。 当 a=0 时，f(x)=4x，满足题意； 当 a0 时，函数 f(x)开口向上，只需对称轴 即可，即 0a4； 当 a0 时，函数 f(x)开口向下，对称轴 ，只需 f(1)0，即-8a0； 综上所述，f(x)= ax 2 +(4-a)x 且-8a4。 ()y=f(x)绕 x
17、 轴旋转一周而成的旋转体体积为 V(a)= 0 1 f 2 (x)dx 由 )解析：23.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于 f(x)单调增加，所以 f( 2 )f( 1 )，故 I0，得证。 )解析：24.线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将增广矩阵 施以初等行变换得 因系数矩阵的秩为 2， 所以 ， 即 c=6。此时，增广矩阵可化为 得到同解方程组 )解析：25.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (a0)，若二次型 f 的标准形为f
18、=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求 a 的值及所使用的正交变换矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f 的矩阵 ， 特征方程为 E-A=(-2)( 2 -6+9-a 2 )=0， 由标准形可知，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =5。 将 =1 代入特征方程，得 a 2 -4=0，由 a0 可知 a=2，此时 解( i E-A)x=0，得到特征值 i (i=1，2，3)对应的特征向量分别为 1 =(0，1，-1) T ， 2 =(1，0，0) T ， 3 =(0，1，1) T 。 由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交，故只需将 1 ， 2 ， 3 单位化， 故所用的正交变换矩阵为 )解析：
