1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为三阶方阵，A*；为 A 的伴随矩阵， ，则4A 一(3A*) 一 1=( )（A） （B） 3（C） 6（D）92 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A） （B） （C） （D） 3 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2=E，则(E+BA 一 1)一 1=( )（A）(A+B)B（B） B+AB 一 1（C） A(A+B)（D）(A+B)A4 下列命题中，(1)如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A 一 1=B (2)如果 n 阶矩阵 A，B
2、满足(AB) 2=E，则(BA) 2=E (3) 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆 (4)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆正确的是( )（A）(1)(2)（B） (1)(4)（C） (2)(3)（D）(2)(4)5 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则(1)若 A 可逆，则 B 可逆(2)若 B 可逆，则 A+B 可逆(3)若 A+B 可逆，则 AB 可逆(4)AE 恒可逆上述命题中，正确的命题共有( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个6 设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是 ( )（
3、A）A+B 是对称矩阵（B） AB 是对称矩阵（C） A*+B*是对称矩阵（D）A 一 2B 是对称矩阵7 设 则B=( )（A）P 1P3A（B） P2P3A（C） AP3P2（D）AP 1P38 设 B 是 42 的非零矩阵，且 AB=0，则( )（A）a=1 时， B 的秩必为 2（B） a=1 时，B 的秩必为 1（C） a1时，B 的秩必为 1（D）a1 时，B 的秩必为 29 已知 A 是 A*的伴随矩阵，若 r(A*)=1则 a=( )（A）3（B） 2（C） 1（D）1 或 3二、填空题10 设 A 为 4 阶矩阵，且A=2，则A *=_11 设 A，B 是 3 阶矩阵，满足
4、AB=A 一 B，其中则A+E=_ 。12 设矩阵 ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B=_13 已知矩阵 则 AB 一 BA=_14 设 则 AB=_15 设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 ，则=_.16 设方阵 A 满足 A2 一 A 一 2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则(A+2E) -1=_?17 设矩阵 ，B=A 2+5A+6E，则 =_.18 设 B=(E+A)-1(EA)，则 (E+B)-1=_?19 设 ，则 A-1=_20 如果 且 B2=E，则 A2=_三、解答题解答应写出文字说明
5、、证明过程或演算步骤。20 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B21 证明 B 可逆；22 求 AB 一 123 设矩阵 A 的伴随矩阵 且 ABA 一 1=BA 一 1+3E，其中 E 为4 阶单位矩阵，求矩阵 B23 已知 3 阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax一 2A2x24 记 P=(x，Ax ，A 2x)求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP 一 1；25 计算行列式A+E25 设 A，B 为同阶方阵，26 若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；27 举一个二阶方阵的例子说明(
6、1)的逆命题不成立；28 当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立29 设 求一个 42 矩阵 B，使 AB=O，且 r(B)=230 设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A 为 A*的伴随矩阵，证明考研数学二（矩阵）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 ，则(3A *)一 1=(3AA 一 1)一 1=A，所以4A 一(3A *)一1= 4AA= 3A=3 3A=9 所以应选 D【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 由AB=AB=0 ，且行列式是数值，故有A=0或B =0 ，反之亦成立
7、，故应选 C取 ，但AO，BO，选项 A 不成立所以应选 C【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 因为(E+BA 一 1)一 1=(AA 一 1+BA 一 1)一 1 =(A+B)A 一 1一 1 =(A 一 1)一1(A+B)一 1 =A(A+B)，所以应选 C注意，由(A+B) 2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B) 一 1=(A+B)【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题(1)当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故(1)不正确例如 显然 A 不可逆若A、B 为 n 阶矩阵，(AB) 2=E，
8、即(AB)(AB)=E，则可知 A、B 均可逆，于是ABA=B 一 1，从而 BABA=E即(BA) 2=E因此(2)正确若设显然 A、B 都不可逆，但 可逆，可知(3)不正确由于 A、B 均为 n 阶不可逆矩阵，知A= B=0，且结合行列式乘法公式，有AB=AB=0 ，故 AB 必不可逆(4)正确所以应选D【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=A+B，有(A E)B=A若 A 可逆，则(A E)B=A EB=A0，知B0即矩阵 B 可逆，从而命题(1)正确应用命题(1)，由 B 可逆可得出 A 可逆，从而 AB 可逆，那么 A+B=AB 也可逆，故命题 (2)正确因为
9、 AB=A+B，若 A+B 可逆，则有 AB 可逆，即命题(3)正确对于命题(4)，用分组因式分解，即 AB 一 AB+E=E，则有(AE)(B 一 E)=E，所以得 AE 恒可逆，命题(4)正确所以应选 D【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，则(A+B) T=AT+BT=A+B，及 (kB) T=kBT=kB，所以有 (A 一 2B)T=AT 一(2B T)=A 一 2B，从而选项 A、D 的结论是正确的首先来证明(A*)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j) 位置元素相等(A *)T 在位置(i，j)的元素等于 A*在(j，i)位置的元素，且为元素 aii
10、 的代数余子式 Aij 而矩阵(A T)*在(i，j)位置的元素等于 AT 的(j ，i) 位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 aii=aij 则该元素仍为元素 aij 的代数余子式 Aij 从而(A *)T=(AT)*=A*，故 A*为对称矩阵，同理，B *亦为对称矩阵结合选项 A 的结论，则选项 C 的结论是正确的因为(AB)T=BTAT=BA，从而选项 B 的结论不正确注意：当 A，B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是 AB=BA所以应选 B【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 A 作两次行变换可得到矩阵 B，而 AP3P2，AP 1P3 描述
11、的是矩阵 A 作列变换，故应排除该变换或者把矩阵 A 第 1 行的 2 倍加至第三行后，再1、2 两行互换可得到 B；或者把矩阵 A 的 1、2 两行互换后，再把第 2 行的 2 倍加至第 3 行亦可得到 B而 P2P3A 正是后者，所以应选 B【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 当 a=1 时，易见 r(A)=1；当 a1 时，则即 r(A)=3由于 AB=O，A 是34 矩阵，有 r(A+B)4那么当 a=1 时，r(A)=1，1r(B)3而 B 是 42 矩阵，所以 B 的秩可能为 1 也可能为 2，因此选项 A、B 均不正确当 a1 时，r(A)=3，所以必有 r(B)
12、=1，选项 D 不正确所以应选 C【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 D【试题解析】 A 是四阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式【知识模块】 矩阵二、填空题10 【正确答案】 8【试题解析】 因为A0 时，有 ，因此 A*=A-1A，因为矩阵前面的系数相当于矩阵的每一个元素均乘以这个系数，因此，A *=A -1( A -1) n=A n-1=A 3=23=8【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 由题设，AB=AB，则(A+E)(EB)=E，因此【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 由于 ，又因为 AA*=A*A=A E，则对题中的矩阵方程右乘矩阵 A 得 3AB 一 6
13、B=A，即 3(A 一 2E)B=A，该等式两端同时取行列式有3(A 一 2E).B=A=3，即 27A 一 2E.B= A =3 【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 根据矩阵乘积的计算方法【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 5【试题解析】 设 =(a1，a 2，a 3)T，=(b 1，b 2，b 3)T，则可以看出 T 也就是矩阵 T 的主对角线元素的和，所以 T=1+6+(一 2)=5【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 由 A2 一 A 一 2E=O，即可得(A+2E)(A 一 3E)=一 4E，于是有(
14、A+2E)-1(A+2E)(A 一 3E)=一 4(A+2E)-1，因此【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 由于 B+E=(E+A)一 1(E 一 A)+E=(E+A)一 1(EA)+(E+A)一 1(E+A)=(E+A)一 1(EA)+(E+A)=2(E+A)一 1，【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 【试题解析】 根据逆矩阵的求法，对已知矩阵和单位矩阵，用相同初等行变换把已知矩阵变为单位矩阵，则单位矩阵在相同的变换下变为已知矩阵的逆矩阵，即【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 A【试题解析】 已知 且 B2=E，因此【知
15、识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 设 E(i，j)是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有 B=E(i,j)A，因此有 B= E(i，j)A =一A 0，所以矩阵 B可逆【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 AB 一 1=A E E(i,j)A一 1=AA 一 1E 一 1(i，j)=E 一 1(i,j)=E(i，j)【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 由 AA*=A*A=AE，知A *=A n 一 1，因此有8=A *= A 3，于是A=2在等式 ABA 一 1=BA 一 1+3E，两边先右乘
16、 A，再左乘 A*，得 2B=A*B+3A*A由上述结论，则有 (2EA *)B=6E 于是【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 令等式 A=PBP 一 1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即A(x，Ax ，A 2x)=(Ax，A 2x，A 3x)=(Ax，A 2x，3Ax 一 2A2x)所以【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 由(1)知 AB，那么 A+EB+E，从而【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 PAP=B，则E 一B=E 一 P 一 1AP= P 一 1EP一 P 一 1AP=P 一 1(EA)
17、P=P 一1EA P=E 一 A所以 A、B 的特征多项式相等【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 令 那么EA = 2=E 一 B但是A，B 不相似否则，存在可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=B=O，从而 A=POP-1=O(与已知矛盾)也可从 r(A)=1，r(B)=0，知 A 与 B 不相似【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 因 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， n，则有也就是，存在可逆矩阵 P，Q ，使因此有(PQ 一 1)一 1A(PQ 一 1)=B由 P，Q 一 1 为可逆矩阵知，矩阵 A 与 B 相似【知识
18、模块】 矩阵29 【正确答案】 r(B)=2 ，因此可设 由 AB=O，即可得 解此非齐次线性方程组，得唯一解 故所求矩阵为【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 (1)当 r(A)=n 时，A0，则有 A*=A n-10从而 A*可逆，即 r(A*)=n (2) 当 r(A)=n 一 1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个 n 一1 阶子式不为零，即 A*中至少有一个元素不为零，故 r(A*)1又因 r(A)=n 一 1 时，有A=0，且由 AA*=AE 知，AA *=O因此根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A*)n，把 r(A)=n 一 1 代入上式，得 r(A*)1综上所述，有 r(A*)=1 (3) 当 r(A)n一2 时，A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，也就是 A*的任一元素均为零，即 A*=O，从而 r(A*)=0【知识模块】 矩阵
