1、考研数学二（重积分）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D： 2 y216，则 2y 24ddy 等于( )（A）40（B） 80（C） 20（D）602 设 D 是 Oy 平面上以(1 ，1) ，(1，1)，(1，1)为顶点的三角形区域，D 1 为区域 D 位于第一象限的部分，则 (ycossiny)d 等于( )（A）2 cossinyddy（B） 2 yddy（C） 4 (y cossiny)ddy（D）03 设平面区域 D：1 2y 24，f(，y)是区域 D 上的连续函数，则等于( )（A）2 12rf(r)dr（B） 21
2、2rf(r)dr 01rf(r)dr（C） 212rf(r2)dr（D）2 02rf(r2)dr 01rf(r2)dr4 设 2y 22ay(a0)，则 f(，y)ddy 在极坐标下的累次积分为 ( )（A） f(rcos， rsin)rdr（B） f(rcos，rsin)rdr（C） f(rcos，rsin)rdr（D） f(rcos，rsin)rdr5 极坐标下的累次积分 f(rcos，rsin)rdr 等于( )（A）（B）（C）（D）二、填空题6 (2y )ddy_ ，其中 D 由直线 y，y2 及 1 围成7 ( 2y)ddy_8 _9 设 f(，y) 连续，且 f(，y)y (，y
3、)d，其中 D 由 y0，y 2 及 1 围成，则 f(，y)_10 设 f(，y)在点(0 ，0)的邻域内连续，F(t) f(，y)d，则_11 _12 设 D： 2 y2R2，则 _13 设 f()在0，1上连续，且 01f()dA，则 01f()d1f(y)dy_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 改变积分次序15 改变积分次序16 改变积分次序 f(，y)dy(a 0)。17 改变积分次序并计算18 计算19 计算20 把二重积 (，y)ddy 写成极坐标下的累次积分的形式 (先 r 后 )，其中 D 由直线 y1， 1，y1 围成21 把 (，y)ddy 写成极坐
4、标的累次积分，其中 D(，y)01，0y 22 设 f()连续， f(0)1，令 F(t) f(2y 2)ddy(to)，求 F(0) 23 计算 I yddy，其中 D 由曲线 1 及 轴和 y 轴围成，其中a0，b024 设 D 是由点 0(0，0) ， A(1，2) 及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算ddy25 求 I ddy，其中 D(，y) 2y 21，0 ，y0 26 求 I cos(y) ddy，其中 D(，y)0 ，0y 27 计算二重积分 (y)ddy，其中 D： 2y 2y128 计算 (a0) ，其中 D 是由曲线 ya 和直线 y 所围成的区域29 计算 I
5、y2d，其中 D 由 2，y2， 轴及曲线 围成30 计算 (y) 2ddy，其中 D：ay 2y 22ay(a 0)31 计 y( y)d，其中 D 是由 2y 21 及 y0 ，y1 围成的平面区域32 计算 (3yy 2)曲，其中 D 由 y 2，y4 2 及 y1 围成33 设 f(，y) 求 f(， y)ddy，其中D(，y) ayb(0a b)34 求 ，其中 D： 2y 2235 求36 求 (22y)ddy考研数学二（重积分）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2y 24ddy 02dd04r
6、24rdr2 04r 24rdr 2024(4r 2)rdr 24(r24)rdr 80， 故选 B【知识模块】 重积分2 【正确答案】 A【试题解析】 令 A(1，1)，B(0，1)，C( 1，1)，D(1，0)，E(1，1)，记OAB， OBC，OCD、 ODE 所在的区域分别记为 D1，D 2，D 3，D 4， (ycossiny)d( )(ycossiny)d， 根据对称性，故选 A【知识模块】 重积分3 【正确答案】 A【试题解析】 02d12rf(r)dr2 12rf(r)dr 故选 A【知识模块】 重积分4 【正确答案】 B【试题解析】 今 其中 0，0r2asin， 则 f(，
7、y)ddyf(rcos，rsin)rdr 故选 B【知识模块】 重积分5 【正确答案】 D【试题解析】 累次积分所对应的二重积分的积分区域为 D： 2y 22(y0)， 则D(，y)02 ，0y ，选 D【知识模块】 重积分二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 重积分7 【正确答案】 【试题解析】 其中D1(，y)01 ，0y1，【知识模块】 重积分8 【正确答案】 sin1【试题解析】 改变积分次序得【知识模块】 重积分9 【正确答案】 y 【试题解析】 令 (，y)d k ，则 f(，y) yk ，两边在 D 上积分得 f(，y)d (yk)d， 即 k (k)dy，解得
8、 k ， 所以 f(，y) y 【知识模块】 重积分10 【正确答案】 2f(0，0)【试题解析】 F(t) f(，y)df(，).t 2，其中( ，)D，D： 2 y2t2【知识模块】 重积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 重积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 重积分13 【正确答案】 【试题解析】 令 F() 0f(t)dt，则 01f()d1f(y)dy 01f()F(1)F()d F(1)01f()d 01F()dF() 【知识模块】 重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为 D(，y)a y，0ya，所以【知识模
9、块】 重积分15 【正确答案】 D(，y)0 ， 2y，则【知识模块】 重积分16 【正确答案】 D 1(，y)a a ，ay0， D2(，y) 2a，0y2a ，则【知识模块】 重积分17 【正确答案】 改变积分次序得【知识模块】 重积分18 【正确答案】 令 D1(，y)12， y， D2(，y) 24 ， y2， D 1D 2D(，y)1y2，yy 2，则【知识模块】 重积分19 【正确答案】 改变积分次序得【知识模块】 重积分20 【正确答案】 【知识模块】 重积分21 【正确答案】 D(r，)0 ，0rsec ，则【知识模块】 重积分22 【正确答案】 令 rcos，yrsin，则
10、F(t) 02d0trf(r)dr2 0trf(r)dr， 因为f()连续，所以 F(t)2tf(t 2)且 F(0)0，于是 F (0)2f(0)2【知识模块】 重积分23 【正确答案】 令t1 ，则 a(1t) 2，d2a(1t)dt ， 于是 I【知识模块】 重积分24 【正确答案】 将区域向 轴投影， 令 D1(，y)01， y2，D2(，y) 12 ， y3， 则【知识模块】 重积分25 【正确答案】 由对称性得【知识模块】 重积分26 【正确答案】 直线 y 将区域 D 分为 D1， D2， 其中D1(，y) 0 ，0y ， D 2(，y) 0 ， y ，故 I cos( y) d
11、dy2【知识模块】 重积分27 【正确答案】 【知识模块】 重积分28 【正确答案】 【知识模块】 重积分29 【正确答案】 【知识模块】 重积分30 【正确答案】 (y) 2ddy (22yy 2)ddy (2y 2)ddy 令(0，asinr2asin)，则【知识模块】 重积分31 【正确答案】 【知识模块】 重积分32 【正确答案】 【知识模块】 重积分33 【正确答案】 令 D1(，y)0a ，ayb， D2(，y) ab，0yb，则 f(，y)ddy 0ae da-b-e ydy abe d0b-ey dy 0ae (e-ae -b)d abe (1e -b)d (a 1)(e a e b )(b a)eb 【知识模块】 重积分34 【正确答案】 令 (02，0r)，则【知识模块】 重积分35 【正确答案】 【知识模块】 重积分36 【正确答案】 由对称性得【知识模块】 重积分
