1、考研数学二（向量）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知向量组 1,2,3,4 线性无关，则向量组 ( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关。（B） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关。（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关。（D） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关。2 设向量组 1,2,3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1+2， 2+3， 3+1。（B） 1， 1+2， 1+2+3。（C） 1 一 2， 2 一 3， 3 一
2、1。（D） 1+2， 22+3，3 3+1。3 已知四维向量组 1,2,3,4 线性无关，且向量 1=1+3+4， 2=2 一4， 3=3+4， 4=2+3， 5=21+2+3。则 r(1， 2， 3， 4， 5)=( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。4 设向量组 1,2,3 线性无关，向量 1，可由 1,2,3 线性表示，向量 2 不能由1,2,3 线性表示，则必有( )（A） 1， 2， 1 线性无关。（B） 1， 2， 2 线性无关。（C） 2， 3， 1， 2 线性相关。（D） 1,2,3， 1+2 线性相关。5 已知 1,2,3,4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4
3、 不能由 1,2,3 线性表出，则 1,2,3 线性相关； 若 1,2,3 线性相关， 2,3,4 线性相关，则 1,2,4 也线性相关； 若 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 可以由1,2,3 线性表出。 其中正确的个数是( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。6 若 1， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1+ 与 2+( )（A）线性无关。（B）线性相关。（C）既线性相关又线性无关。（D）不确定。7 设 1,2 s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（A）若 1,2 s 线性相关，则 A1，A 2， As
4、 线性相关。（B）若 1,2 s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关。（C）若 1,2 s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关。（D）若 1,2 s 线性无关，则 A1，A 2， As 线性无关。8 n 维向量组 1,2 s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )（A）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k1s+k2s+kss0。（B） 1,2 s 中任意两个向量都线性无关。（C） 1,2 s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示。（D） 1,2 s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。9 设 A=(1,2 n)，B=( 12 n)，AB=( 1， 2， n)
5、。记向量组(I)1,2 n，向量组() 12 n，向量组( ) 1， 2， n。已知向量组()线性相关，则有( )（A）向量组(I)、()均线性相关。（B）向量组(I)、()中至少有一个线性相关。（C）向量组(I)一定线性相关。（D）向量组() 一定线性相关。10 向量组 1=(1，3，5，一 1)T， 2=(2，一 1，一 3，4) T， 3=(6,4，4，6)T， 4=(7，7，9，1) T， 5=(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（A） 1,2,5。（B） 1,3,5。（C） 2,3,4。（D） 3,4,5。11 假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的
6、n 个行向量中( )（A）必有 r 个行向量线性无关。（B）任意 r 个行向量线性无关。（C）任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组。（D）任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示。二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设向量组(I) 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，一 1，a+2) T 和向量组()1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2，1，a+4) T。 试问：当 a 为何值时，向量组(I)与( )等价?当 a 为何值时，向量组(I) 与()不等价?13 确定常数 a，使向量组 1=(1，1，a) T
7、， 2=(1，a ，1) T， 3=(a，1，1) T 可由向量组 1=(1，1，a) T， 2=(一 2，a ，4) T， 3=(一 2，a，a) T 线性表示，但向量组1， 2， 3 不能由向量组 1,2,3 线性表示。14 设向量组 a1，a 2， am 线性相关，且 a10，证明存在某个向量 ak(2km)，使ak 能由 a1，a 2，a k-1 线性表示。15 设 a1，a 2，a n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n维向量都可由它们线性表示。15 已知 r(a1，a 2，a 3)=2， r(a2，a 3，a 4)=3，证明：16 a1 能由 a2，a 3
8、 线性表示；17 a4 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示。18 设向量组 a1，a 2 线性无关，向量组 a1+b，a 2+易线性相关，证明：向量 b 能由向量组 a1，a 2 线性表示。19 设 1,2 n 为 n 个线性无关的 n 维列向量， 1， 2， n 为任意 n 个 n 维列向量。证明： 1,2 n 可由 12 n 线性表示的充要条件是 12 n 线性无关。19 已知 m 个向量 1， m 线性相关，但其中任意 m 一 1 个向量都线性无关，证明：20 如果等式 k11，+k mm=0 成立，则系数 k1，k m 或者全为零，或者全不为零；21 如果等式 k11+kmm=0
9、和等式 l11+lmm=0 都成立，则 ，其中 l10。22 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Akx=0 有解向量 2，A k-10.证明：向量组 ，A ， ，A k-1 是线性无关的。23 已知 A 是三阶矩阵， i(i=1，2，3)是三维非零列向量，令 =1+2+3。若Ai=ii(i=1，2，3)，证明：，A ，A 2 线性无关。23 *是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1， ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：24 *， 1， n-r 线性无关；25 *， *+1， *+n-r 线性无关。26 设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的
10、秩为 r， 1， n-r+1 是它的 nr+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k11+kn-r+1n-r+1，其中 k1+kn-r+1=1。26 设向量 1,2， n-1 是 n1 个线性无关的 n 维列向量， 1， 2 是与1,2， ， n-1 均正交的 n 维非零列向量。证明：27 1， 2 线性相关；28 1,2， n-1 线性无关。29 设向量组(I)：b 1，b r 能由向量组()：a 1，a s 线性表示为(b 1，b r)=(1，a s)K，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组()线性无关。证明向量组()线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r。考研数学二（
11、向量）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 排除法。通过观察可知 ( 1 一 2)+(2 一 2)+(3 一 4)+(4 一 1)=0， (1+2)一( 2+3)+(3+4)一 (4+1)=0， ( 1+2)一( 2+3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0，即选项 A，B，D 中的向量组均线性相关，所以选 C。【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【试题解析】 设存在常数 k1，k 2，k 3 使得 k1(1 一 2)+k2(2 一 3)+k3(3 一 1)=0，即 (k 1 一 k3)1+(k2 一 k1)
12、2+(k3 一 k2)3=0。因为向量组 1， 2， 3 线性无关，所以 该齐次线性方程组系数矩阵的行列式 因此方程组有非零解，所以 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1 线性相关。故选 C。【知识模块】 向量3 【正确答案】 C【试题解析】 将表示关系合并成矩阵形式有因四个四维向量 1,2,3,4 线性无关，故 1,2,3,40 ，即 A=(1,2,3,4)是可逆矩阵。A 左乘 C，即对 C 作若干次初等行变换，故有 r(C)=r(AC)=r(1， 2， 3， 4， 5)，而 故知 r(1， 2， 3， 4， 5)=r(C)=3，因此应选 C。【知识模块】 向量4 【正确答案】 B【试题解
13、析】 由 1,2,3 线性无关，且 2 不能由 1,2,3 线性表示知， 1,2,3， 2线性无关，从而部分组 1,2， 2 线性无关，故 B 为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。取 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0， 0)T， 3=(0，0，1，0)T， 2=(0，0， 0，1) T， 1=1，知选项 A 与 C 错误。对于选项 D，由于 1,2,3 线性无关，若 1,2,3， 1+2 线性相关，则 1+2 可由 1,2,3 线性表示，而 1 可由1,2,3 线性表示，从而 2 可由 1,2,3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误。【知识模块】 向量5 【正确答案】 C【
14、试题解析】 因为 1,2,3,4 是三维非零列向量，所以 1,2,3,4 必线性相关。若1,2,3 线性无关，则 4 必能由 1,2,3 线性表示，可知结论正确。令1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，2，0) T， 4=(0，0，1) T，则 1,2,3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，但 1， 2， 4 线性无关，可知结论错误。 由于 (1， 1+2， 2+3)( 1， 2， 2+3)( 1,2,3，( 4， 1+4， 2+4， 3+4)( 4,1,2,3)( 1,2,3,4)，所以 r(1， 1+2， 2+3)=r(1， 2， 3)=r(4， 1+4， 2+
15、4， 3+4)=r(1,2,3,4)，则当 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)时，可得 r(1,2,3)=r(1,2,3,4)，因此 4 可以由1,2,3 线性表示。可知结论 正确。所以选 C。【知识模块】 向量6 【正确答案】 D【试题解析】 例如，令 1=(1，1) ， 3=(0，2)，=(一 1，一 1)，则 1， 2 线性无关，而 1+=(0，0) 与 2+=(一 1，1) 线性相关。如果设 =(0，0)，那么 1+ 与2+ 却是线性无关的。故选 D。【知识模块】 向量7 【正确答案】 A【试题解析】 记 B=(1， 2， s)，则(A 1，A 2，A
16、 s)=AB。若向量组1， 2， s 线性相关，则 r(B)s，从而 r(AB)r(A)s ，向量组A1，A 2，A s 也线性相关，故应选 A。【知识模块】 向量8 【正确答案】 D【试题解析】 向量组 1,2， s 线性相关的充要条件是 1,2， s 中至少存在一个向量能用其余向量线性表示，所以 1,2， ， s 线性无关的充要条件是1,2， ， s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。故选 D。【知识模块】 向量9 【正确答案】 B【试题解析】 向量组()线性相关，也即 r(AB) n，可知矩阵 A，B 中至少有一个不是满秩的。因为若 A，B 均满秩，则矩阵 AB 也满秩，此时向量组
17、()线性无关，这与题设矛盾。所以向量组(I)、()中至少有一个是线性相关的。故选 B。【知识模块】 向量10 【正确答案】 C【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行变换，有可见秩r(1,2,3,4,5)=3。又因为三阶子式 所以 2， 3， 4 是极大线性无关组，所以应选 C。【知识模块】 向量11 【正确答案】 A【试题解析】 由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这 n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A。【知识模块】 向量二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 对矩阵( 1,2,3:1， 2
18、， 3)作初等行变换，有当 a一 1 时，行列式 1,2,3=a+10，由克拉默法则可知线性方程组 x11+x22+x33=i(i=1，2，3)均有唯一解，此时向量组()可由向量组(I) 线性表示。同理，由行列式 1， 2， 3=60 ，可知向量组(I) 也可由向量组 () 线性表示。向量组(I)与()等价。当 a=一 1 时，有 因为r(1,2,3)r(1,2,3， 1)，所以线性方程组 x11+x22+x33=1 无解，即 1 不能由1,2,3 线性表示。向量组(I)与()不等价。综上所述，当 a一 1 时，向量组(I)与()等价；当 a=一 1 时，向量组(I)与() 不等价。【知识模块
19、】 向量13 【正确答案】 记 A=(1,2,3)，B=( 1， 2， 3)。因为 1， 2， 3 不能由 1,2,3线性表示，所以 r(A)1,2,3 线性表示)，从而即 a=一 2 或 1。当 a=一 2 时考虑线性方程组 Bx=2。因为系数矩阵的秩为 2，增广矩阵的秩为 3，所以线性方程组Bx=2 无解，即 2 不能由 1， 2， 3 线性表出，这与题中的已知条件矛盾，故 a=一 2 不合题意。当 a=1 时， 1=2=3=1=(1，1，1)，则 1=2=3=1+0.2+0.3，说明 3， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表示；而方程组 x11+x22+x33=2 无解( 系数矩阵的
20、秩为 1，增广矩阵的秩为 2)，所以 2 不能由 1,2,3 线性表示。故 a=1 符合题意。【知识模块】 向量14 【正确答案】 因为向量组 1,2， m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1， 2， m，使 1a1， 2a2， mam=0。因 1， 2， m 不全为零，所以必存在 k，使得 k0，且 k+1= m=0。当 k=1 时，代入上式有 1a1=0.又因为a10，所以 1=0，与假设矛盾，故 k1。当 k0 且 k2 时，有因此向量 ak 能由 a1，a 2，a k-1 线性表示。【知识模块】 向量15 【正确答案】 必要性： a 1，a 2，a n 是线性无关的一组 n 维向
21、量，因此r(a1，a 2，a n)=n。对任一 n 维向量 b，因为 a1，a 2，a n，b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故 a1，a 2，a n，b 线性相关。 综上所述 r(a1，a 2，a n，b)=n。 又因为 a1，a 2，a n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a1，a 2，a n 线性表示。 充分性： 已知任一 n 维向量 b 都可由 a1，a 2， ，a n 线性表示，则单位向量组： 1， 2， n 可由 a1，a 2，a n 线性表示，即 r( 1， 2， n)=nr(a1，a 2，a n)， 又 a1，a 2，a n 是一组 n 维向量，有 r(a1，a 2
22、，a n)n。 综上，r(a 1，a 2， an)=n。所以 a1，a 2，a n 线性无关。【知识模块】 向量【知识模块】 向量16 【正确答案】 r( 1,2,3)=23 1,2,3 线性相关； 假设 a1 不能由 a2，a 3 线性表示，则 a2，a 3 线性相关。 而由 r(a2，a 3，a 4)=3a 2，a 3，a 4 线性无关a 2，a 3 线性无关，与假设矛盾。 综上所述，a 1 必能由 a2，a 3 线性表示。【知识模块】 向量17 【正确答案】 由(I)的结论，a 1 可由 a2，a 3 线性表示，则若 a4 能由 a1，a 2，a 3 线性表示a 4 能由 a2，a 3
23、线性表示，即 r(a2，a 3，a 4)3 与 r(a2，a 3，a 4)=3 矛盾，故a4 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示。【知识模块】 向量18 【正确答案】 因为 a1， a2 线性无关，a 1+b，a 2+b 线性相关，所以 b0，且存在不全为零的常数 k1，k 2，使 k1(a1+b)+k2(a2+b)=0，则有(k 1+k2)b=一 k1a1k2a2。又因为 a1，a 2 线性无关，若 k1a1+k2a2=0，则 k1=k2=0，这与 k1，k 2 不全为零矛盾，于是有 k1a1+k2a20，(k 1+k2)b0。综上 k1+k20，因此由(k 1+k2)b=一 ka1k2
24、a2 得【知识模块】 向量19 【正确答案】 必要性： 因为 1,2， n 线性无关，且 1,2， n 可由12， n 线性表示，所以 nr(1,2， n)r(12， n)n，即r(12， n)=n，则 12， n 线性无关。 充分性： 因为 12， n 是线性无关的 n 维向量组，所以 12， n 可以表示 n 维向量空间中所有的向量，故1,2， ， n 可由 12， n 线性表示。【知识模块】 向量【知识模块】 向量20 【正确答案】 假设存在某个 ki=0，则由 k11+kmm=0 可得 k 11+ki-1i-1+ki+1i+1+kmm=0。 (1) 因为任意 m 一 1 个向量都线性无
25、关，所以必有k1=ki-1=ki+1=km=0，即系数 k1，k m 全为零。所以系数 k1，k m 或者全为零，或者全不为零。【知识模块】 向量21 【正确答案】 由(I)可知，当 l10 时，系数 l1，l m 全不为零，所以将其代入(1)式得又因为任意 m-1 个向量都线性无关，所以 ，即【知识模块】 向量22 【正确答案】 设有常数 0， 1， k-1，使得 0+1A+ k-1Ak-1=0，则有 Ak-1(0+1A+ k-1Ak-1)=0，从而得到 0Ak-1=0。由题设 Ak-10，所以 0=0。类似地可以证明 1=2= k-1=0，因此向量组 ，A，A k-1 是线性无关的。【知识
26、模块】 向量23 【正确答案】 由 Ai=ii(i=1，2，3)，且 i(i=1，2，3)非零可知， 1,2,3 是矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，故 1,2,3 线性无关。又A=1+22+33，A 2=1+42+93，所以而矩阵 P 是范德蒙德行列式，故P=20，所以 ，A，A 2 线性无关。【知识模块】 向量【知识模块】 向量24 【正确答案】 假设 *， 1， n-r 线性相关，则存在不全为零的数c0，c 1，c n-r 使得 c0*+c11+cn-rn-r=0， (1) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c0*+c11+c0A*)=c0A*+c1A1+cn-rAn-r=cb，其
27、中 b0，则 c0=0，于是(1)式变为 c11+cn-rn-r=0， 1， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， n-r 线性无关，因此 c1=c2=cn-r=0，与假设矛盾。所以*， 1， n-r 线性无关。【知识模块】 向量25 【正确答案】 假设 *， *+1， *+n-r 线性相关，则存在不全为零的数c0，c 1，c n-r 使 c0*+c1(*+1)+cn-r(*+n-r)=0，即 (c 0+c1+cn-r)*+c11+cn-rn-r=0。 (2) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c 0+c1+cn-r)*+c11+cn-rn-r =(c0+c1+cn-r)
28、A*+c1A1+cn-rAn-r =(c0+c1+cn-r)b， 因为b0，故 c0+c1+cn-r=0，代入(2)式，有 c 11+cn-rn-r=0， 1， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， n-r 线性无关，因此 c1=c2=cn-r=0，则 c0=0.与假设矛盾。 综上，向量组 *， *+1， *+n-r 线性无关。【知识模块】 向量26 【正确答案】 设 X 为 Ax=b 的任一解，由题设知 1， 2， n-r+1 线性无关且均为 Ax=b 的解。 取 1=2 一 1， 2=3 一 1， 1, n-r=n-r+1 一 1，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方
29、程 Ax=0 的解。 下面用反证法证： 设1， 2， n-r 线性相关，则存在不全为零的数 l1，l 2，l n-r 使得 l11+l22+ln-rn-r=0， 即 l1(21)+l2(3 一 1)+ln-r(n-r+1 一 1)=0，也即 一(l1+l2+ln-r)1+l12+l23+ln-rn-r+1=0。 由 1， 2， n-r+1 线性无关知一(l1+l2+ln-r)=l1=l2=ln-r=0， 这与 l1，l 2，l n-r 不全为零矛盾，故假设不成立。因此 1， 2， n-r 线性无关，是 Ax=0 的基础解系。 由于 x， 1 均为 Ax=b 的解，所以 X 一 1 为 Ax=0
30、 的解，因此 x 一 1 可由 1， 2， n-r 线性表示，设 x 一1=k21+k32+kn-r+1n-r =k2(2 一 1)+k3(3 一 1)+kn-r+1(n-r+1 一 1)， 则 x=1(1一 k2 一 k3 一一 kn-r+1)+k22+k33+kn-r+1n-r+1， 令 k1=1 一 k2 一 k3一 kn-r+1，则k1+k2+k3+kn-r+1=1，从而 x=k 11+k22+kn-r+1n-r+1 恒成立。【知识模块】 向量【知识模块】 向量27 【正确答案】 令 A=(1， 2， n-1)T，则 A 是(n 一 1)n 矩阵，且 r(A)=n 一1。由已知条件可知
31、 ijT=0(i=1，2，n 一 1；j=1，2)，即 Aj=0(j=1，2)，这说明 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个解向量。但 Ax=0 的基础解系中所含向量的个数为 nr(A)=n 一(n 一 1)=1，所以解向量 1， 2 必定线性相关。【知识模块】 向量28 【正确答案】 设 k11+k12+kn-1n-1+k01=0，两边取转置得 k11T+k22T+kn-1n-1T+k01T=0， 上式两端同时右乘 1 得 k 11T1+k22T1+kn-1n-1T1+k01T1=0，注意到 iT1=0(i=1，2，n 一 1)，所以 k01T1=0.由 10 可得 1T10，于是
32、k0=0，从而 有 k11+k22+kn-1n-1=0。 又因为 1， 2， n-1线性无关，所以 k1=k2=kn-1=k0=0，故 1， 2， n-1， 1，线性无关。【知识模块】 向量29 【正确答案】 必要性：令 B=(b1，b R)，A=(a 1，a S)，则有 B=AK，由定理 r(B)=r(AK)minr(A)，r(K)，结合向量组(I) ：b 1，b 2，b r，线性无关知 r(B)=r，故 r(K)r。又因为 K 为 rs 阶矩阵，则有 r(K)minr，sr。综上所述 rr(K)r，即 r(K)=r。充分性：已知 r(K)=r，向量组()线性无关，r(A)=s，因此 A 的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵 P 使 于是有由矩阵秩的性质 即r(B)=r(K)=r，因此向量组 (I)线性无关。【知识模块】 向量
