1、考研数学二（向量）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，则 【 】（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时，必有AB0（C）当 nm 时，必有AB0（D）当 nm 时，必有AB02 n 维向量组 1， 2， m(3mn)线性无关的充要条件是 【 】（A）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k m，使 k11k 22k mm0（B） 1， 2， m 中的任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， m 中存在一个向量不能由其余向量线性表示（D） 1， 2， m 中任意一个向量都不能由其余向量线性
2、表示3 设 n 维列向量组() ： 1， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组()：1， m 线性无关的充分必要条件为 【 】（A）向量组() 可由向量组 () 线性表示（B）向量组()可由向量组()线性表示（C）向量组()与向量组()等价（D）矩阵 A 1 m与矩阵 B 1 m等价4 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】（A） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（B） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（C） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（D） 1 2， 2 3， 3 4， 4 15 设有向量组 1(1 ， 1，2，4)， 2(0，3，1
3、，2)， 3(3，0，7，14)，4 (1，2， 2，0)， 5 (2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是 【 】（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 56 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则 【 】（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式都不等于零（C）若矩阵 B 满足 BA O，则 BO（D）A 通过初等行变换，必可以化为(I m，O)的形式7 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 AC 的秩为，r 1，则 【 】（A）r
4、r 1（B） rr 1（C） rr 1（D）r 与 r1 的关系不定8 向量组 1， 2， m 线性相关的充分条件是 【 】（A） 1， 2， m 均不为零向量（B）矩阵 1 2 m的秩为 m（C） 1， 2， m 中任意一个向量均不能由其余 m1 个向量线性表示（D） 1， 2， m 中有一部分向量线性相关9 设 A、B 都是 n 阶非零矩阵，且 ABO，则 A 和 B 的秩 【 】（A）必有一个等于零（B）都小于 n（C）一个小于 n，一个等于 n（D）都等于 n10 设有任意两个咒维向量组 1， 2， m 和 1， 2， m，若存在两组不全为零的数 1， 2， m 和 k1，k 2，k
5、m，使( 1k 1)1( mk m)m( 1k 1)1( mk m)m0，则 【 】（A） 1， m 和 1， m 都线性相关（B） 1， m 和 1， m 都线性无关（C） 1 1， m m， 1 1， m m 线性无关（D） 1 1， m m， 1 1， m m 线性相关11 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1 2， 2 3， 12 2 3（C） 12 2，2 23 3， 33 1（D） 1 2 3，2 13 222 3，3 15 25 312 设 n(n3)A 若 r(A)n1，则 a 必为 【 】（A）1（
6、B）（C） 1（D）13 若向量组 1， 2， 3 线性无关，向量组 1， 2， 4 线性相关，则 【 】（A） 1 必可由 2， 3， 4 线性表示（B） 2 必不可由 1， 3， 4 线性表示（C） 4 必可由 1， 2， 3 线性表示（D） 4 必不可由 1， 2， 3 线性表示14 设向量 可由向量组 1， 2， 3 线性表示，但不能由向量组()：1， 2， m-1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m-1， ，则 【 】（A） m 不能由 ()线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由() 线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D）
7、 m 可由 ()线性表示，但不可由()线性表示15 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 【 】（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有k11 k22 k ss0，则 1， 2， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，都有 k11k 22k ss0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关二、填空题16 若向量组 线性相关，则 _17 向量组 1(1 ，a ，1 ，1) T， 2(1 ，1，a，1) T
8、， 3(1，1，1，a) T 的秩为_18 若向量组() ： 1(1，0，0) T， 2(1 ，1，0) T， 3(1，1，1) T 可由向量组()： 1， 2， 3， 4 线性表示，则向量组()的秩为_19 设有矩阵 则 r(AB)_20 若齐次线性方程组 0 存在非零解，则 a_21 设向量组 1(2，1，1， 1)， 2(2，1，a，a)， 3(3，2，1，a)，4 (4，3，2 ，1)线性相关，且 a1，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设向量组 1， 2， 3 线性相关，而 2， 3， 4 线性无关，问：(1) 1 能否用2， 3 线性表示 ?并证明之；
9、(2) 4 能否用 1， 2， 3 线性表示?并证明之23 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵(nm)，且 ABE 证明：B 的列向量组线性无关24 设 A 为 n 阶方阵，k 为正整数，线性方程组 AkX0 有解向量 ，但 Ak-10证明：向量组 ，A，A k-1 线性无关25 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明：向量组 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是行列式26 设 n 维列向量组 1， 2， n 线性无关，P 为 n 阶方阵，证明：向量组P1，P 2，P n 线性无关 P 027 设 1(1 ， 1，1)， 2 (1，2，3)， 3(1，3，t) (1
10、)问 t 为何值时，向量组1， 2， 3 线性无关? (2) 当 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性相关? (3)当1， 2， 3 线性相关时，将 3 表示为 1 和 2 的线性组合28 设 i(a i1，a i2，a in)T(i1，2，r；rn)是 n 维实向量，且1， 2， r 线性无关已知 (b 1，b 2，b n)T 是线性方程组的非零解向量，试判断向量组1， ， r， 的线性相关性29 设有向量组() ： 1 (1，0，2) T， 2(1 ，1， 3)T， 3(1，1，a 2) T 和向量组()： 1(1，2，a 3) T， 2(2，1，a6) T， 3(2，1，a4) T
11、试问：当 a为何值时，向量组() 与向量组() 等价?当 a 为何值时，向量组()与()不等价?30 设有向量组() ： 1 (1a，1，1，1) T， 2(2，2a，2，2)T， 3(3，3，3a，3) T， 4(4，4，4，4a) T问 a 取何值时，()线性相关?当()线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出考研数学二（向量）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 向量2 【正确答案】 D【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【知识模块】 向量5
12、 【正确答案】 B【知识模块】 向量6 【正确答案】 C【知识模块】 向量7 【正确答案】 C【知识模块】 向量8 【正确答案】 C【知识模块】 向量9 【正确答案】 B【知识模块】 向量10 【正确答案】 D【知识模块】 向量11 【正确答案】 C【知识模块】 向量12 【正确答案】 B【知识模块】 向量13 【正确答案】 C【知识模块】 向量14 【正确答案】 B【知识模块】 向量15 【正确答案】 B【知识模块】 向量二、填空题16 【正确答案】 或 1【试题解析】 3 个 3 维向量 ， ，3 线性相关 行列式 (1)0， 或 1【知识模块】 向量17 【正确答案】 【试题解析】 对下
13、列矩阵作初等变换： 1 2 3由阶梯形矩阵可见，r( 1， 2， 3)【知识模块】 向量18 【正确答案】 3【试题解析】 由条件知 3r()r( )3， r()3【知识模块】 向量19 【正确答案】 2【试题解析】 因为 B 是满秩方阵，所以 r(AB)r(A)，而由 A 的初等变换：知 r(A)2，故 r(AB)2【知识模块】 向量20 【正确答案】 2【试题解析】 由条件知方程组系数矩阵 A 的秩小于 3，而由 A 的初等变换：【知识模块】 向量21 【正确答案】 【试题解析】 以 1， 2， 3， 4 为行向量组构成 4 阶方阵 A，则有A(a1)(2a1)0，又 a1，故 a【知识模
14、块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 (1) 1 可由 2， 3 线性表示，由 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3 线性相关即可证明(2) 4 不能由 1， 2， 3 线性表示，否则，因 1 可由 2， 3 线性表示，得 4 可由 2， 3 线性表示，这与 2， 3， 4 线性无关矛盾【知识模块】 向量23 【正确答案】 设 B 按列分块为 B 1 2 n，设有一组数 1， 2， n 使11 22 nn0，即 BX0，其中 X 1， 2， nT，两端左乘 A，得ABX0，即 X0故 1， 2， n 线性无关【知识模块】 向量24 【正确答案】 设有
15、一组数 1， 2， k，使 1 2A kAk-10 两端左乘 Ak-1，得 1Ak-10因 Ak-10，得 10类似可得 2 k0故，A， Ak-1 线性无关【知识模块】 向量25 【正确答案】 令矩阵 A 1 2 n，则向量组 1， 2， n 线性无关 A0，而两端取行列式，得A 2D，故 1， n 线性无关 D0【知识模块】 向量26 【正确答案】 n 个 n 维列向量 P1，P 2，P n 线性无关 行列式P 1 P2 Pn0 ，而 P 1 P2 PnP 1 2 n， 两端取行列式，得P 1P nP 1 n，又由已知条件知行列式 1 n0，故行列式P 1P n0 P 0【知识模块】 向量
16、27 【正确答案】 由行列式( 1 2 3)Tt5，知当 t5 时， 1， 2， 3 线性无关，当 t5 时， 1， 2， 3 线性相关当 t5 时，由解方程组 11 22 3，得3 12 2【知识模块】 向量28 【正确答案】 线性无关证明如下：由题设条件有b1ai1b 2ai2b nain Ti0(i1，2，r) 设 k11k rrk k+10，用T 左乘用 T 左乘两端并利用 Ti0 及 T 20，得kr+10 ， k11k rr0，又 1， r 线性无关， k1k r0故1， ， r， 线性无关【知识模块】 向量29 【正确答案】 由于行列式 1 2 3a1，故当 a1 时，秩 1 2
17、 33方程组 11 22 33 i(i1，2，3)有解 (且有唯一解) ，所以向量组()可由向量组() 线性表示；又由行列式 1 2 360，同理可知向量组()可由()线性表示故当 a 1 时，( )与()等价当 a1 时，由于秩 1 2 3秩1 2 3 1，故方程组 11 22 33 1 无解，即 1 不能由向量组()线性表示，所以()与()不等价【知识模块】 向量30 【正确答案】 令矩阵 A 1， 2， 3， 4，由A0 或由初等行变换，可得：当 a0 或 a10 时， ()线性相关当 a0 时， 1 为()的一个极大无关组，且 22 1， 33 1， 44 1；当 a10 时，对 A 施行初等行变换：A可知 2， 3， 4 为()的一个极大无关组，且 1 2 3 4【知识模块】 向量
