【考研类试卷】考研数学二（微分方程）-试卷1及答案解析.doc

1、考研数学二（微分方程）-试卷 1 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 xdy=(y 一 )dx(x0)满足 y(1)=0 的特解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设线性无关的函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)均是方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2

2、y 一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 一 C 2 )y 34.设二阶线性常系数齐次微分方程 y“+by“+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是 ( )（分数：2.00）A.0，+)B.(一，0C.(一，4D.(一，+)5.具有特解 y 1 =e 一 x ，y 2 =2xe 一 x ，y 3 =3e x 的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0C.y

3、“一 6y“+11y“一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=06.函数 y=Cx+ （分数：2.00）A.是通解B.是特解C.是解，但既非通解也非特解D.不是解二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设 y 1 =e x ，y 2 =x 2 为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 p(x)，g(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y 1 (x)，y 2 (x)与 y 3 (x)是二阶线性非齐次方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 （分数：2.0

4、0）填空项 1:_10.设 f(x)在(一，+)内有定义，且对任意 x(，+)，y(一，+)，成立 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，且 f“(0)存在等于 a，a0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)在(一，+)上可导，且其反函数存在为 g(x)若 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x e x +1， 则当一x+时 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 y“+ytan x=cos x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1（分

5、数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 3e x tan ydx+(1 一 e x )sec 2 ydy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 y“tan x=yln y 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dxdy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ，记 y 0 =y(x 0

6、) （分数：2.00）_19.设 a0，函数 f(x)在0，+)上连续有界，证明：微分方程 y“+ay=f(x)的解在0，+)上有界（分数：2.00）_20.已知曲线 y=y(x)经过点(1，e 一 1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y 轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式（分数：2.00）_21.求解(1+ （分数：2.00）_22.设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 “(x)=(x)，(0)=0 (1)求方程 y“+ysin x=(x)e cosx 的通解； (2)方程是否有以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由（分数：2.00）_23.设有方程 y“

7、+P(x)y=x 2 ，其中 P(x)= （分数：2.00）_24.设 (1)用变限积分表示满足上述初值条件的特解 y(x)； (2)讨论 （分数：2.00）_25.求微分方程 xy“+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_26.求(4 一 x+y)dx 一(2 一 x 一 y)dy=0 的通解（分数：2.00）_27.求 xy“一 y“ln y“+y“ln x=0 满足 y(1)=2 和 y“(1)=e 2 的特解（分数：2.00）_28.求 y“ 2 一 yy“=1 的通解（分数：2.00）_29.求(x+2)y“+xy“ 2 =y“的通解（分数：2.00）_30.求

8、微分方程 （分数：2.00）_31.求微分方程 （分数：2.00）_32.求微分方程 y“一 2y“一 e 2x =0 满足条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_考研数学二（微分方程）-试卷 1 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 xdy=(y 一 )dx(x0)满足 y(1)=0 的特解是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：将原方程变形为3.设线性无关的函数 y 1 (x)，y 2 (x)，

9、y 3 (x)均是方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 一 C 2 )y 3 解析：解析：由于 C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 C 2 )y 3 =C 1 (y 1 一 y 3 )+C 2 (y 2 一 y 3 )+y 3 ，其中 y 1 一 y 3

10、 和 y 2 一 y 3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y 3 是原方程的一个特解，所以(D)是原方程的通解4.设二阶线性常系数齐次微分方程 y“+by“+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是 ( )（分数：2.00）A.0，+) B.(一，0C.(一，4D.(一，+)解析：解析：因为当 b2 时，y(x)= ，所以，当 b 2 一 40 时，要想使 y(x)在区间(0，+)上有界，只需要 0，即 b2当 b 2 40 时，要想使 y(x)在区间(0，+)上有界，只需要 5.具有特解 y 1 =e 一 x ，y 2 =2xe 一 x ，

11、y 3 =3e x 的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0 C.y“一 6y“+11y“一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=0解析：解析：根据题设条件，1，一 1 是特征方程的两个根，且一 1 是重根，所以特征方程为( 一 1)(+1) 2 = 3 + 2 一 一 1=0，故所求微分方程为 y“+y“一 y“一 y=0，故选(B) 或使用待定系数法，具体为： 设所求的三阶线性常系数齐次微分方程是 y“+ay“+by“+cy=0。 由于 y 1 =e 一 x ，y 2 =2xe 一 x ，y 3 =3e

12、x 是上述方程的解，所以将它们代入方程后得 6.函数 y=Cx+ （分数：2.00）A.是通解B.是特解C.是解，但既非通解也非特解 D.不是解解析：解析：(1)因原方程阶数为二，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为 C 1 +C 1 x+ 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设 y 1 =e x ，y 2 =x 2 为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可 设所求的二阶线性齐次微分方程为 y“+p(x)y“+q(x)y=0 分别以 y 1

13、 =e x ，y 2 =x 2 代入，得 8.设 p(x)，g(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y 1 (x)，y 2 (x)与 y 3 (x)是二阶线性非齐次方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 (y 1 一 y 2 )+C 2 (y 2 一 y 3 )+y 1 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：由线性非齐次方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可 y 1 一 y 2 与 y 2 一 y 3 均是式对应的线性齐次方程 y“+p(x)y“

14、+q(x)y=0 的两个解今证它们线性无关事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数 k 1 与 k 2 使 l 1 (y 1 一 y 2 )+k 2 (y 2 一 y 3 )=0 设 k 1 0，又由题设知 y 2 一 y 3 0，于是式可改写为 9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=e y 一 e 一 y 一 ）解析：解析：熟悉反函数的导数的读者知道， 原方程可化为 x 关于 y 的二阶常系数线性方程将式代入原方程，原方程化为 以 x=0 时，y=0 代入上式，得 0=C 1 +C 2 再将式两边对y 求导，有 10.设 f(x)在(一，+)内有定

15、义，且对任意 x(，+)，y(一，+)，成立 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，且 f“(0)存在等于 a，a0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：axe x）解析：解析：由 f“(0)存在，设法去证对一切 x，f“(x)存在，并求出 f(x) 将 y=0 代入 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，得 f(x)=f(x)+f(0)e x ， 所以 f(0)=0 11.设 f(x)在(一，+)上可导，且其反函数存在为 g(x)若 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x e x +1， 则当一x+时 f(x

16、)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：未知函数含于积分之中的方程称积分方程现在此积分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两边对 x 求导数化成微分方程解之注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之 将所给方程两边对 x 求导，有 gf(x)f“(C)+f(x)=xe x 因 gf(x)x，所以上式成为 xf“(x)+f(x)=xe x 以 x=0 代入上式，由于 f“(0)存在，所以由上式得 f(0)=0当 x0 时，上式成为 12.微分方程 y“+ytan x=cos x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_

17、（正确答案：正确答案：(x+C)cosx，其中 C 为任意常数）解析：13.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e 一 2x +(C 2 + ）解析：解析：y“一 4y=0 的特征根 =2，则 设其特解 y * =Axe 2x 代入 y“一 4y=e 2x ，可解得 A= 。 所以 y“一 4y=e 2x 的通解为 C 1 e 一 2x +(C+ 14.微分方程 3e x tan ydx+(1 一 e x )sec 2 ydy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：tany=C(e

18、 x 一 1) 3 ，其中 C 为任意常数）解析：解析：方程分离变量得 15.微分方程 y“tan x=yln y 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e Csinx ，其中 C 为任意常数）解析：解析：原方程分离查量，有 16.微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3x 2 +xy=C，其中 C 为任意常数）解析：解析：原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程 原方程化为 =一 6 由一阶线性方程的通解公式得 y= 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字

19、说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dxdy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ，记 y 0 =y(x 0 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx 一 dy 变形为 0，则 y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明 y(x)有界即可 )解析：19.设 a0，函数 f(x)在0，+)上连续有界，证明：微分方程 y“+ay=f(x)的解在0，+)上有界（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程的通解为 y(x)=e 一 ax C

20、+ 0 x f(t)a at dt， 设 f(x)在0，+)上的上界为 M，即f(x)M，则当 x0 时，有 y(x)=e 一 ax C+ 0 x f(t)dt Ce 一 ax +e 一 ax 0 x f(t)e at dt C+Me 一 ax 0 x e at dt )解析：20.已知曲线 y=y(x)经过点(1，e 一 1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y 轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x，y)处的切线方程为 Yy=y“(Xx)，令 X=0，得到截距为 xy=yxy“，即 xy“=y(1 一 x) 此为一阶可

21、分离变量的方程，于是 ，又 y(1)=e 一 1 ，故 C=1，于是曲线方程为 y= )解析：21.求解(1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程化为 ln(u+e u )=一 lny+C1， (u+e u )y=C， 将 u= )解析：22.设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 “(x)=(x)，(0)=0 (1)求方程 y“+ysin x=(x)e cosx 的通解； (2)方程是否有以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e 一sin xdx (x)e cos x s

22、e sin xdx dx+C =e cos x (x)e cos x e 一 cos x dx+C =e cos x (x)dx+C=e cos x (x)+C(其中 C为任意常数) (2)因为 “(x)=(x)，所以 (x)= 0 x (t)dt+C1， 又 (0)=0，于是 (x)= 0 x (t)dt 而 (x+2)= 0 x+2 (t)dt= 0 x (t)dt+ x x+2 (t)dt=(x)+ 0 2 (t)dt，所以，当 0 2 (t)dt=0 时，(x+2)=(x)，即 (x)以 2 为周期 因此，当 0 2 (t)dt=0 时，方程有以 2 为周期的解)解析：23.设有方程

23、y“+P(x)y=x 2 ，其中 P(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题虽是基本题，但其特色在于当 x 的取值范围不同时，系数 P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解 y=y(x)是连续函数，确定任意常数24.设 (1)用变限积分表示满足上述初值条件的特解 y(x)； (2)讨论 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一般认为，一阶线性微分方程 y“+p(x)y=q(x)的计算公式为 y=e 一p(x)dx e p(x)dx q(x)dx+C， 而本题是要求写成变限积分形式 y(x)= 由于本题表达形式比较复杂，且写

24、出表达式后还要进行极限讨论 )解析：25.求微分方程 xy“+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求(4 一 x+y)dx 一(2 一 x 一 y)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求 xy“一 y“ln y“+y“ln x=0 满足 y(1)=2 和 y“(1)=e 2 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 y“=p，则 y“=p“，代入原方程中，xp“一 pln p+pln x=0，即 )解析：28.求 y“ 2 一 yy“=1 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案

25、： )解析：29.求(x+2)y“+xy“ 2 =y“的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：变形和作适当代换后变为可分离变量的方程 方程两边同除以 x，得 )解析：32.求微分方程 y“一 2y“一 e 2x =0 满足条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次方程 y“一 2y“=0 的特征方程为 2 一 2=0，由此求得特征根 1 =0， 2 =2对应齐次方程的通解为 =C 1 +C 2 e 2x ，设非齐次方程的特解为 y * =Axe 2x ，则 (y * )“=(A+2Ax)e 2x ， (y * )“=4A(1+x)e 2x )解析：