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【考研类试卷】考研数学二(特征向量与特征值、相似、对角化)-试卷1及答案解析.doc

1、考研数学二(特征向量与特征值、相似、对角化)-试卷 1 及答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.下列矩阵中不能相似对角化的是(分数:2.00)A.B.C.D.3.设 A 是 n 阶非零矩阵,A m 0,下列命题中不一定正确的是(分数:2.00)A.A 的特征值只有零B.A 必不能对角化C.EAA 2 A m-1 必可逆D.A 只有一个线性无关的特征向量4.设 A 是 n 阶非零矩阵,E 是 n 阶单位矩阵,若 A 3 0,则( )(分数:2.00)A.EA

2、 不可逆,EA 不可逆B.EA 不可逆,EA 可逆C.EA 可逆,EA 可逆D.EA 可逆,EA 不可逆5.是 4 阶实对称矩阵,A 2 2A0,r(A)3,则 A 相似于( )(分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:12.00)6.设 A 是 3 阶实对称矩阵,特征值是 0,1,2如果 1 (1,2,1) T 与 2 (1,1,1) T 分别是 0 与 1 的特征向量,则 2 的特征向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_7.已知 A 和 B (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_8.已知矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_9.设 3 阶矩阵 A 的特

3、征值为 2,3,如果2A48,则 1(分数:2.00)填空项 1:_10.A 是 3 阶矩阵,特征值为 1,2,2则4A -1 E 1(分数:2.00)填空项 1:_11.A 是 3 阶矩阵,它的特征值互不相等,并且A0,则 r(A) 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:24,分数:48.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_13.计算 (分数:2.00)_14.已知 n 阶矩阵 A 满足 A 3 E (1)证明 A 2 2A3E 可逆 (2)证明 A 2 A2E 可逆(分数:2.00)_15.设 (分数:2.00)_16.证明 3 阶

4、矩阵 (分数:2.00)_17.已知 3 阶矩阵 A (分数:2.00)_18.设 A 为 3 阶矩阵, 1 , 2 , 3 是线性的无关 3 维列向量组,满足 A 1 1 2 2 2 3 ,A 2 2 1 2 2 3 ,A 3 2 1 2 2 3 (1)求 A 的特征值 (2)判断 A 是否相似于对角矩阵?(分数:2.00)_19.A (分数:2.00)_20.已知 (分数:2.00)_21.设 A (分数:2.00)_22.设 n 阶矩阵 A (分数:2.00)_23.已知 A (分数:2.00)_24.设 A 为 3 阶矩阵, 1 , 2 , 3 是线性无关的 3 维列向量组,满足 Aa

5、 1 1 2 3 ,Aa 2 2 2 3 ,Aa 3 2 2 3 3 (1)求作矩阵 B,使得 A( 1 , 2 , 3 )( 1 , 2 , 3 )B (2)求 A 的特征值 (3)求作可逆矩阵 P,使得 P -1 AP 为对角矩阵(分数:2.00)_25.已知 n 阶矩阵 A 满足(AaE)(AbE)0,其中 ab,证明 A 可对角化(分数:2.00)_26.A 是 n 阶矩阵,数 ab证明下面 3 个断言互相等价: (1)(AaE)(AbE)0 (2)r(AaE)r(AbE)n (3)A 相似于对角矩阵,并且特征值满足(a)(b)0(分数:2.00)_27.设 A 1 ,A 2 ,A N

6、 都是 n 阶非零矩阵,满足 A i A j 证明每个 A i 都相似于对角矩阵 (分数:2.00)_28.构造正交矩阵 Q,使得 Q T AQ 是对角矩阵 (分数:2.00)_29.设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都为 3,向量 1 (1,2,1) T , 2 (0,1,1) T 都是齐次线性方程组 AX0 的解 (1)求 A 的特征值和特征向量 (2)求作正交矩阵 Q 和对角矩阵,使得(分数:2.00)_30.A ,正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 是对角矩阵,并且 Q 的第 1 列为 (分数:2.00)_31.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1,2,3, 1 (1,1,1)

7、 T 和 2 (1,2,1) T 分别是属于 1 和 2 的特征向量,求属于 3 的特征向量,并且求 A(分数:2.00)_32.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2,又 6 是它的二重特征值,向量 1 (1,1,0) T 和 2 (21,1) T 和 3 (1,2,3) T 都是属于 6 的特征向量 (1)求 A 的另一个特征值与相应的特征向量 (2)求 A(分数:2.00)_33.3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1,2,2, 1 (1,1,1) T 是 A 的属于 1 的特征向量记 BA 5 4A 3 E (1)求 B 的特征值和特征向量 (2)求 B(分数:2.00)_34.设 B 是

8、 3 阶实对称矩阵,特征值为 1,1,2,并且 (1,1,1) T 是 B 的特征向量,特征值为2求 B(分数:2.00)_35.设 A 为实矩阵,证明 A T A 的特征值都是非负实数(分数:2.00)_考研数学二(特征向量与特征值、相似、对角化)-试卷 1 答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.下列矩阵中不能相似对角化的是(分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:选项 A 是实对称矩阵,选项 C 有 3 个不同的特征值,均可对角化 选项 B

9、 和 D 特征值都是0,0,3 在选项 B 中,nr(0EA)2,说明 0 有 2 个线性无关的特征向量故可以相似对角化 在选项 D 中,nr(0EA)1,说明 0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似对角化 故应选 D3.设 A 是 n 阶非零矩阵,A m 0,下列命题中不一定正确的是(分数:2.00)A.A 的特征值只有零B.A 必不能对角化C.EAA 2 A m-1 必可逆D.A 只有一个线性无关的特征向量 解析:解析:设 A,0,则 A m m 0故 0选项 A 正确 因为 A0,r(A)1,那么 A0 的基础解系有 nr(A)个解,即 0 有 nr(A)个线性无关的特征向量故选

10、项 B 正确,而选项 D 不一定正确 由(BA)(EAA 2 A m-1 )EA m E,知选项 C 正确 故应选D4.设 A 是 n 阶非零矩阵,E 是 n 阶单位矩阵,若 A 3 0,则( )(分数:2.00)A.EA 不可逆,EA 不可逆B.EA 不可逆,EA 可逆C.EA 可逆,EA 可逆 D.EA 可逆,EA 不可逆解析:5.是 4 阶实对称矩阵,A 2 2A0,r(A)3,则 A 相似于( )(分数:2.00)A.B.C.D. 解析:二、填空题(总题数:6,分数:12.00)6.设 A 是 3 阶实对称矩阵,特征值是 0,1,2如果 1 (1,2,1) T 与 2 (1,1,1)

11、T 分别是 0 与 1 的特征向量,则 2 的特征向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:t(1,0,1) T ,t0)解析:解析:设 2 的特征向量是 ( 1 , 2 , 3 ),则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故有 7.已知 A 和 B (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)填空项 1:_ (正确答案:y1)解析:解析:由 AB,知a ii b ii 且1 是 A 的特征值,即 8.已知矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:9.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3,如果2A48,则 1(分数

12、:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:2A8A,得A6又A23得 110.A 是 3 阶矩阵,特征值为 1,2,2则4A -1 E 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)解析:11.A 是 3 阶矩阵,它的特征值互不相等,并且A0,则 r(A) 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:A 的特征值互不相等,因此相似于对角矩阵,并且对角线上的元素就是 A 的特征值,为 3 个互不相等数其中有一个为 0(因为A0),则 r(A)2三、解答题(总题数:24,分数:48.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程

13、或演算步骤。(分数:2.00)_解析:13.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:记矩阵 则所求为A,ABcE,而 B )解析:14.已知 n 阶矩阵 A 满足 A 3 E (1)证明 A 2 2A3E 可逆 (2)证明 A 2 A2E 可逆(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 A 3 E,A 的特征值都满足 3 1 (1)A 2 2A3E(A3E)(AE),3 和1 都不满足 3 1,因此都不是 A 的特征值于是(A 3E)和(AE)都可逆,从而 A 2 2A3E可逆 (2) 设 A 的全体特征值为 1 , 2 , n ,则 A 2 A2E 的特征值 i 2 i 2,i1

14、,2, 由于 i 3 1, i 或者为 1,或者满足 i 2 i 10于是 i 2 i 2 或者为 4,或者为 1,总之都不是 0因此 A 2 A2E 可逆)解析:15.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:求特征值 ACE,其中 C )解析:16.证明 3 阶矩阵 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)先说明特征值相等 ACE,其中 C 则 C 的秩为 1,从而特征值为0,0,3于是 A 的特征值为 1,1,4 B 是上三角矩阵,特征值就是对角线上的元素,也是 1,1,4 (2)再说明它们都相似于对角矩阵 A 是实对称矩阵,因此相似于对角矩阵 用判断法则二,要说明 B是相似

15、于对角矩阵,只要对二重特征值 1,说明 nr(BE)2,而 n3, 因此只要说明 r(BE)1 BE )解析:17.已知 3 阶矩阵 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)求 a A 的特征多项式为 要使得它有二重根,有两种可能的情况: 2 是二重根,即 2 是 2 8183a 的根,即 416183a0,求出 a2,此时三个特征值为 2,2,6 2 是一重根,则 2 8183a 有二重根, 2 8183a(4) 2 ,求出a23此时三个特征值为 2,4,4 (2)讨论 A 是否相似于对角化矩阵 当 a2 时,对二重特征值 2,考察 3r(A2D)是否为 2,即 r(A2E)是否

16、为 1, A2E ,r(A2E)1,此时 A 可相似对角化 当 a23 时,对二重特征值 4,考察 3r(A4E)是否为 2,即 r(A4E)是否为 1, A4E )解析:18.设 A 为 3 阶矩阵, 1 , 2 , 3 是线性的无关 3 维列向量组,满足 A 1 1 2 2 2 3 ,A 2 2 1 2 2 3 ,A 3 2 1 2 2 3 (1)求 A 的特征值 (2)判断 A 是否相似于对角矩阵?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)用矩阵分解: A( 1 , 2 , 3 )( 1 2 2 2 3 ,2 1 2 2 3 ,2 1 2 2 3 )( 1 , 2 , 3 )B,这

17、里 B 从 , 线性无关的条件知道,(,)是可逆矩阵于是 A 相似于 B (1) )解析:19.A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: A 的特征值 0,5,b 如果 b0 和 5,则 A 的特征值两两不同,A 相似于对角矩阵 如果 b0,则 A 的特征值 0,0,5 此时 A A 相似于对角矩阵 特征值 0 的重数 23r(A) r(A)1 a0 于是:a0 且 b0 时 A 相似于对角矩阵;a0 且 b0 时 A不相似于对角矩阵; 如果 b5,则 A 的特征值 0,5,5 此时 A )解析:20.已知 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)A 与 B 相似,从而有相同的特

18、征值 2,2,y2 是二重特征值,于是 r(A2E)1 A2E 得 5 A 与 B 相似从而 tr(A)tr(B),于是 14522y得 y6 (2)求属于 2 的两个线性无关的特征向量:即求(A2E)X0 的基础解系: A2E 得(A2E)X0 的同解方程组 1 2 3 , 得基础解系 1 (1,1,0) T , 2 (1,0,1) T 求属于6 的一个特征向量:即求(A6E)X0 的一个非零解: A6E 得(A6E)X0 的同解方程组 得解 3 (1,2,3) T 令 U( 1 , 2 , 3 ),则 U -1 AU )解析:21.设 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)求

19、 A 的特征值: EA (1)(1) 2 于是 A 的特征值为 1(一重)和1(二重) 要使 A 可对角化,只需看特征值1要满足 3r(AE)2,即 r(AE)1, (AE) 得 k0,A (2)求属于1 的两个线性无关的特征向量,即求(AE)X0的基础解系: AE 得(AE)X0 的同解方程组 2 1 2 3 0 得基础解系 1 (1,0,2) T , 2 (0,1,1) T 求属于 1 的一个特征向量,即求(AE)X0 的一个非零解: AE 得(AE)X0 的同解方程组 得解 3 (1,0,1) T 令 U( 1 , 2 , 3 ),则 U -1 AU )解析:22.设 n 阶矩阵 A (

20、分数:2.00)_正确答案:(正确答案:如果 b0,则 AE,特征值为 1(n 重),并且任何 n 维非零向量都是特征向量A 本身就是对角矩阵,对任一 n 阶可逆矩阵 P,均有 P -1 APE,下面讨论 b0 的情形 (1)求特征值 可以求 A 的特征多项式,再求根得到特征值,但是这个矩阵可更加简单的计算特征值 记 C 是每个元素都是 b 的 n 阶矩阵,则 AC(1b)EC 的秩为 1,其特征值为 0,0,0,nb于是 A 的特征值为:1b,1b,1b,(n1)b1 求 A 的特征向量 属于特征值 16 的特征向量是A(1b)EX0(即 CX0)的非零解易见 1 (1,1,0,0) T ,

21、 2 (1,0,1,0) T , n-1 (1,0,0,1) T , 是 CX0 的基础解系得属于 1b 的特征向量: c 1 1 c 2 2 c n-1 n-1 ,c 1 ,c 2 ,c n-1 不全为 0 属于特征值(n1)bl 的特征向量是A(n1)b1EX0 的非零解求得一个非零解 (1,1,1,1) T ,它构成基础解系,属于(n1)b1 的特征向量为 c,c0 (2)令 P( 1 , 2 , n-1 ,),则 P 是可逆矩阵,并且 )解析:23.已知 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)先求 A 的特征值 EA (a1) 2 (a2) A 的特征值为 a1(二重)和

22、 a2(一重) 求属于 a1 的两个线性无关的特征向量,即求A(a1)EX0 的基础解系: A(a1)E 得A(a1)EX0 的同解方程组 1 2 3 , 得基础解系 1 (1,1,0) T , 2 (1,0,1) T 求属于 a2 的一个特征向量,即求A(a2)EX0 的一个非零解: A(a2)E 得A(a2)EX0 的同解方程组 得解 3 (1,1,1) T 令 U( 1 , 2 , 3 ),贝 0 U -1 AU )解析:24.设 A 为 3 阶矩阵, 1 , 2 , 3 是线性无关的 3 维列向量组,满足 Aa 1 1 2 3 ,Aa 2 2 2 3 ,Aa 3 2 2 3 3 (1)

23、求作矩阵 B,使得 A( 1 , 2 , 3 )( 1 , 2 , 3 )B (2)求 A 的特征值 (3)求作可逆矩阵 P,使得 P -1 AP 为对角矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)根据题意得,B (2)由于 1 , 2 , 3 线性无关,( 1 , 2 , 3 )是可逆矩阵,并且( 1 , 2 , 3 ) -1 A( 1 , 2 , 3 )B,因此 A 和 B 相似,特征值相同 B (1)( 2 54)(1) 2 (4) B 的特征值为1,1,4A 的特征值也为 1,1,4 (3)先把 B 对角化求出 B 的属于 1 的两个无关的特征向量(1,1,0) T ,(0,2

24、,1) T ;求出 B 的属于 4 的一个特征向量(0,1,1) T 构造矩阵 令 P( 1 , 2 , 3 )D( 1 2 ,2 2 3 , 2 3 ),则 p -1 APD -1 ( 1 , 2 , 3 ) -1 A( 1 , 2 , 3 )DD -1 BD )解析:25.已知 n 阶矩阵 A 满足(AaE)(AbE)0,其中 ab,证明 A 可对角化(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先证明 A 的特征值只能是 a 或 b 设 A 是 A 的特征值,则(a)(b)0,即 a 或 b 如果 b 不是 A 的特征值,则 AbE 可逆,于是由(AaE)(AbE)0 推出AaE0,即 A

25、aE 是对角矩阵 如果 b 是 A 的特征值,则A6E0设 1 , 2 , t 是齐次方程组(AbE)X0 的一个基础解系(这里 tnr(AbE),它们都是属于 b 的特征向量取AbE 的列向量组的一个最大无关组 1 , 2 , k ,这里 kr(AbE)则 1 , 2 , k 是属于 a 的一组特征向量则有 A 的 ktn 个线性无关的特征向量组 1 , 2 , k ; 1 , 2 , t ,因此 A 可对角化)解析:26.A 是 n 阶矩阵,数 ab证明下面 3 个断言互相等价: (1)(AaE)(AbE)0 (2)r(AaE)r(AbE)n (3)A 相似于对角矩阵,并且特征值满足(a)

26、(b)0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:不妨设 a 和 b 都是 A 的特征值(因为如果 a 不是 A 的特征值,则 3 个断言都推出AbE如果 b 不是 A 的特征值,则 3 个断言都推出 AaE) (1) (2) 用关于矩阵的秩的性质,由(AaE)(AbE)0得到: r(AaE)r(AbE)n, r(AaE)r(AbE)r(AaE)(AbE)r(ba)E)n, 从而 r(AaE)r(AbE)n (2) (3) 记 k a ,k b 分别是 a,b 的重数,则有 k a nr(AaE) k b nr(AbE) 两式相加得 nk a k b nr(AaE)nr(AbE)n,于是其中“

27、”都为“”,从而和都是等式,并且 k a k b n kkn,说明 A 的特征值只有 a 和 b,它们都满足(a)(b)0 和都是等式,说明 A 相似于对角矩阵 (3) )解析:27.设 A 1 ,A 2 ,A N 都是 n 阶非零矩阵,满足 A i A j 证明每个 A i 都相似于对角矩阵 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对每个 A i ,取它的一个非零列向量,记作 n i (不必是 A i 的第 i 个列向量) 由条件知,对每个 i,A i i i ,当 ij 时,A i j 0即 1 , 2 , n 都是 A i 的特征向量,当 ij 时特征值为 1,否则为 0 下面证 1

28、, 2 , n 线性无关设 c 1 1 c 2 2 c n n 0,用 A i 乘之,得 c i i 0,因为 i 0,所以 c i 0,i1,2,n这说明 1 , 2 , n 线性无关,从而 A i 相似于对角矩阵 作 P i ( i , 1 , i-1 , i+1 , n ),则 P i -1 A i P i )解析:28.构造正交矩阵 Q,使得 Q T AQ 是对角矩阵 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)先求特征值 EA (2)(6) A 的特征值为0,2,6 再求单位正交特征向量组 属于 0 的特征向量是齐次方程组 AX0 的非零解, A 得AX0 的同解方程组 求得一个

29、非零解为(1,1,1) T ,单位化得 1 (1,1,1) T 属于 2 的特征向量是齐次方程组(A2E)X0 的非零解, A2E 得 AX0 的同解方程组 求得一个非零解为(1,1,0) T ,单位化得 2 (1,1,0) T 属于 6 的特征向量是齐次方程组(A6E)X0 的非零解, A 得 AX0 的同解方程组 求得一个非零解为(1,1,2) T ,单位化得 3 *(1,1,2) T 作正交矩阵 Q( 1 , 2 , 3 ),则 Q T AQQ -1 AQ (2)先求特征值 EA (1) 2 (10) A 的特征值为 1,1,10 再求单位正交特征向量组 属于 1 的特征向量是齐次方程组

30、(AE)X0 的非零解, AE 得(AE)X0 的同解方程组 1 2 2 2 4 0, 显然 1 (0,1,1) T 是一个解第 2 个解取为 2 (c,1,1) T (保证了与 1 的正交性!),代入方程求出 c4,即 2 (4,1,1) T 令 1 1 1 (0,1,1) T , 2 是 2 2 (4,1,1) T 再求出属于 10 的特征向量是齐次方程组(A10E)X0 的非零解(1,2,2) T ,令 3 3 3 (1,2,2) T 3 作正交矩阵 Q( 1 , 2 , 3 ) 则 Q T AQQ -1 AQ )解析:29.设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都为 3,向量 1 (

31、1,2,1) T , 2 (0,1,1) T 都是齐次线性方程组 AX0 的解 (1)求 A 的特征值和特征向量 (2)求作正交矩阵 Q 和对角矩阵,使得(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)条件说明 A(1,1,1) T (3,3,3) T ,即 0 (1,1,1) T 是 A 的特征向量,特征值为 3又 1 , 2 都是 AX0 的解说明它们也都是 A 的特征向量,特征值为 0由于 1 , 2 线性无关,特征值 0 的重数大于 1于是 A 的特征值为 3,0,0 属于 3 的特征向量:c 0 ,c0 属于 0 的特征向量:c 1 1 c 2 2 ;c 1 ,c 2 不都为 0 (2)将 0 单位化,得 0 对 1 , 2 作施密特正交化,得 作 Q( 1 , 2 , 3 ),则 Q 是正交矩阵,并且 Q T AQQ -1 AQ (3)建立矩阵方程 A( 0 , 1 , 2

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