1、考研数学二（特征向量与特征值、相似、对角化）-试卷 1 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列矩阵中不能相似对角化的是（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 是 n 阶非零矩阵，A m 0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A 的特征值只有零B.A 必不能对角化C.EAA 2 A m-1 必可逆D.A 只有一个线性无关的特征向量4.设 A 是 n 阶非零矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 A 3 0，则( )（分数：2.00）A.EA
2、 不可逆，EA 不可逆B.EA 不可逆，EA 可逆C.EA 可逆，EA 可逆D.EA 可逆，EA 不可逆5.是 4 阶实对称矩阵，A 2 2A0，r(A)3，则 A 相似于( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1 (1，2，1) T 与 2 (1，1，1) T 分别是 0 与 1 的特征向量，则 2 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_7.已知 A 和 B （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_9.设 3 阶矩阵 A 的特
3、征值为 2，3，如果2A48，则 1（分数：2.00）填空项 1:_10.A 是 3 阶矩阵，特征值为 1，2，2则4A -1 E 1（分数：2.00）填空项 1:_11.A 是 3 阶矩阵，它的特征值互不相等，并且A0，则 r(A) 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：48.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.计算 （分数：2.00）_14.已知 n 阶矩阵 A 满足 A 3 E (1)证明 A 2 2A3E 可逆 (2)证明 A 2 A2E 可逆（分数：2.00）_15.设 （分数：2.00）_16.证明 3 阶
4、矩阵 （分数：2.00）_17.已知 3 阶矩阵 A （分数：2.00）_18.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性的无关 3 维列向量组，满足 A 1 1 2 2 2 3 ，A 2 2 1 2 2 3 ，A 3 2 1 2 2 3 (1)求 A 的特征值 (2)判断 A 是否相似于对角矩阵?（分数：2.00）_19.A （分数：2.00）_20.已知 （分数：2.00）_21.设 A （分数：2.00）_22.设 n 阶矩阵 A （分数：2.00）_23.已知 A （分数：2.00）_24.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 Aa
5、 1 1 2 3 ，Aa 2 2 2 3 ，Aa 3 2 2 3 3 (1)求作矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 )B (2)求 A 的特征值 (3)求作可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_25.已知 n 阶矩阵 A 满足(AaE)(AbE)0，其中 ab，证明 A 可对角化（分数：2.00）_26.A 是 n 阶矩阵，数 ab证明下面 3 个断言互相等价： (1)(AaE)(AbE)0 (2)r(AaE)r(AbE)n (3)A 相似于对角矩阵，并且特征值满足(a)(b)0（分数：2.00）_27.设 A 1 ，A 2 ，A N
6、 都是 n 阶非零矩阵，满足 A i A j 证明每个 A i 都相似于对角矩阵 （分数：2.00）_28.构造正交矩阵 Q，使得 Q T AQ 是对角矩阵 （分数：2.00）_29.设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都为 3，向量 1 (1，2，1) T ， 2 (0，1，1) T 都是齐次线性方程组 AX0 的解 (1)求 A 的特征值和特征向量 (2)求作正交矩阵 Q 和对角矩阵，使得（分数：2.00）_30.A ，正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 是对角矩阵，并且 Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_31.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，3， 1 (1，1，1)
7、 T 和 2 (1，2，1) T 分别是属于 1 和 2 的特征向量，求属于 3 的特征向量，并且求 A（分数：2.00）_32.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2，又 6 是它的二重特征值，向量 1 (1，1，0) T 和 2 (21，1) T 和 3 (1，2，3) T 都是属于 6 的特征向量 (1)求 A 的另一个特征值与相应的特征向量 (2)求 A（分数：2.00）_33.3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，2， 1 (1，1，1) T 是 A 的属于 1 的特征向量记 BA 5 4A 3 E (1)求 B 的特征值和特征向量 (2)求 B（分数：2.00）_34.设 B 是
8、 3 阶实对称矩阵，特征值为 1，1，2，并且 (1，1，1) T 是 B 的特征向量，特征值为2求 B（分数：2.00）_35.设 A 为实矩阵，证明 A T A 的特征值都是非负实数（分数：2.00）_考研数学二（特征向量与特征值、相似、对角化）-试卷 1 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列矩阵中不能相似对角化的是（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项 A 是实对称矩阵，选项 C 有 3 个不同的特征值，均可对角化 选项 B
9、 和 D 特征值都是0，0，3 在选项 B 中，nr(0EA)2，说明 0 有 2 个线性无关的特征向量故可以相似对角化 在选项 D 中，nr(0EA)1，说明 0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似对角化 故应选 D3.设 A 是 n 阶非零矩阵，A m 0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A 的特征值只有零B.A 必不能对角化C.EAA 2 A m-1 必可逆D.A 只有一个线性无关的特征向量 解析：解析：设 A，0，则 A m m 0故 0选项 A 正确 因为 A0，r(A)1，那么 A0 的基础解系有 nr(A)个解，即 0 有 nr(A)个线性无关的特征向量故选
10、项 B 正确，而选项 D 不一定正确 由(BA)(EAA 2 A m-1 )EA m E，知选项 C 正确 故应选D4.设 A 是 n 阶非零矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 A 3 0，则( )（分数：2.00）A.EA 不可逆，EA 不可逆B.EA 不可逆，EA 可逆C.EA 可逆，EA 可逆 D.EA 可逆，EA 不可逆解析：5.是 4 阶实对称矩阵，A 2 2A0，r(A)3，则 A 相似于( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1 (1，2，1) T 与 2 (1，1，1)
11、T 分别是 0 与 1 的特征向量，则 2 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(1，0，1) T ，t0）解析：解析：设 2 的特征向量是 ( 1 ， 2 ， 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 7.已知 A 和 B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：y1）解析：解析：由 AB，知a ii b ii 且1 是 A 的特征值，即 8.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：9.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，如果2A48，则 1（分数
12、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：2A8A，得A6又A23得 110.A 是 3 阶矩阵，特征值为 1，2，2则4A -1 E 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：11.A 是 3 阶矩阵，它的特征值互不相等，并且A0，则 r(A) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：A 的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元素就是 A 的特征值，为 3 个互不相等数其中有一个为 0(因为A0)，则 r(A)2三、解答题(总题数：24，分数：48.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程
13、或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记矩阵 则所求为A，ABcE，而 B )解析：14.已知 n 阶矩阵 A 满足 A 3 E (1)证明 A 2 2A3E 可逆 (2)证明 A 2 A2E 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 3 E，A 的特征值都满足 3 1 (1)A 2 2A3E(A3E)(AE)，3 和1 都不满足 3 1，因此都不是 A 的特征值于是(A 3E)和(AE)都可逆，从而 A 2 2A3E可逆 (2) 设 A 的全体特征值为 1 ， 2 ， n ，则 A 2 A2E 的特征值 i 2 i 2，i1
14、，2， 由于 i 3 1， i 或者为 1，或者满足 i 2 i 10于是 i 2 i 2 或者为 4，或者为 1，总之都不是 0因此 A 2 A2E 可逆)解析：15.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求特征值 ACE，其中 C )解析：16.证明 3 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)先说明特征值相等 ACE，其中 C 则 C 的秩为 1，从而特征值为0，0，3于是 A 的特征值为 1，1，4 B 是上三角矩阵，特征值就是对角线上的元素，也是 1，1，4 (2)再说明它们都相似于对角矩阵 A 是实对称矩阵，因此相似于对角矩阵 用判断法则二，要说明 B是相似
15、于对角矩阵，只要对二重特征值 1，说明 nr(BE)2，而 n3， 因此只要说明 r(BE)1 BE )解析：17.已知 3 阶矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 a A 的特征多项式为 要使得它有二重根，有两种可能的情况： 2 是二重根，即 2 是 2 8183a 的根，即 416183a0，求出 a2，此时三个特征值为 2，2，6 2 是一重根，则 2 8183a 有二重根， 2 8183a(4) 2 ，求出a23此时三个特征值为 2，4，4 (2)讨论 A 是否相似于对角化矩阵 当 a2 时，对二重特征值 2，考察 3r(A2D)是否为 2，即 r(A2E)是否
16、为 1， A2E ，r(A2E)1，此时 A 可相似对角化 当 a23 时，对二重特征值 4，考察 3r(A4E)是否为 2，即 r(A4E)是否为 1， A4E )解析：18.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性的无关 3 维列向量组，满足 A 1 1 2 2 2 3 ，A 2 2 1 2 2 3 ，A 3 2 1 2 2 3 (1)求 A 的特征值 (2)判断 A 是否相似于对角矩阵?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)用矩阵分解： A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 2 2 2 3 ，2 1 2 2 3 ，2 1 2 2 3 )( 1 ， 2 ， 3 )B，这
17、里 B 从 ， 线性无关的条件知道，(，)是可逆矩阵于是 A 相似于 B (1) )解析：19.A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： A 的特征值 0，5，b 如果 b0 和 5，则 A 的特征值两两不同，A 相似于对角矩阵 如果 b0，则 A 的特征值 0，0，5 此时 A A 相似于对角矩阵 特征值 0 的重数 23r(A) r(A)1 a0 于是：a0 且 b0 时 A 相似于对角矩阵；a0 且 b0 时 A不相似于对角矩阵； 如果 b5，则 A 的特征值 0，5，5 此时 A )解析：20.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 与 B 相似，从而有相同的特
18、征值 2，2，y2 是二重特征值，于是 r(A2E)1 A2E 得 5 A 与 B 相似从而 tr(A)tr(B)，于是 14522y得 y6 (2)求属于 2 的两个线性无关的特征向量：即求(A2E)X0 的基础解系： A2E 得(A2E)X0 的同解方程组 1 2 3 ， 得基础解系 1 (1，1，0) T ， 2 (1，0，1) T 求属于6 的一个特征向量：即求(A6E)X0 的一个非零解： A6E 得(A6E)X0 的同解方程组 得解 3 (1，2，3) T 令 U( 1 ， 2 ， 3 )，则 U -1 AU )解析：21.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求
19、 A 的特征值： EA (1)(1) 2 于是 A 的特征值为 1(一重)和1(二重) 要使 A 可对角化，只需看特征值1要满足 3r(AE)2，即 r(AE)1， (AE) 得 k0，A (2)求属于1 的两个线性无关的特征向量，即求(AE)X0的基础解系： AE 得(AE)X0 的同解方程组 2 1 2 3 0 得基础解系 1 (1，0，2) T ， 2 (0，1，1) T 求属于 1 的一个特征向量，即求(AE)X0 的一个非零解： AE 得(AE)X0 的同解方程组 得解 3 (1，0，1) T 令 U( 1 ， 2 ， 3 )，则 U -1 AU )解析：22.设 n 阶矩阵 A （
20、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果 b0，则 AE，特征值为 1(n 重)，并且任何 n 维非零向量都是特征向量A 本身就是对角矩阵，对任一 n 阶可逆矩阵 P，均有 P -1 APE，下面讨论 b0 的情形 (1)求特征值 可以求 A 的特征多项式，再求根得到特征值，但是这个矩阵可更加简单的计算特征值 记 C 是每个元素都是 b 的 n 阶矩阵，则 AC(1b)EC 的秩为 1，其特征值为 0，0，0，nb于是 A 的特征值为：1b，1b，1b，(n1)b1 求 A 的特征向量 属于特征值 16 的特征向量是A(1b)EX0(即 CX0)的非零解易见 1 (1，1，0，0) T ，
21、 2 (1，0，1，0) T ， n-1 (1，0，0，1) T ， 是 CX0 的基础解系得属于 1b 的特征向量： c 1 1 c 2 2 c n-1 n-1 ，c 1 ，c 2 ，c n-1 不全为 0 属于特征值(n1)bl 的特征向量是A(n1)b1EX0 的非零解求得一个非零解 (1，1，1，1) T ，它构成基础解系，属于(n1)b1 的特征向量为 c，c0 (2)令 P( 1 ， 2 ， n-1 ，)，则 P 是可逆矩阵，并且 )解析：23.已知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)先求 A 的特征值 EA (a1) 2 (a2) A 的特征值为 a1(二重)和
22、 a2(一重) 求属于 a1 的两个线性无关的特征向量，即求A(a1)EX0 的基础解系： A(a1)E 得A(a1)EX0 的同解方程组 1 2 3 ， 得基础解系 1 (1，1，0) T ， 2 (1，0，1) T 求属于 a2 的一个特征向量，即求A(a2)EX0 的一个非零解： A(a2)E 得A(a2)EX0 的同解方程组 得解 3 (1，1，1) T 令 U( 1 ， 2 ， 3 )，贝 0 U -1 AU )解析：24.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 Aa 1 1 2 3 ，Aa 2 2 2 3 ，Aa 3 2 2 3 3 (1)
23、求作矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 )B (2)求 A 的特征值 (3)求作可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)根据题意得，B (2)由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，( 1 ， 2 ， 3 )是可逆矩阵，并且( 1 ， 2 ， 3 ) -1 A( 1 ， 2 ， 3 )B，因此 A 和 B 相似，特征值相同 B (1)( 2 54)(1) 2 (4) B 的特征值为1，1，4A 的特征值也为 1，1，4 (3)先把 B 对角化求出 B 的属于 1 的两个无关的特征向量(1，1，0) T ，(0，2
24、，1) T ；求出 B 的属于 4 的一个特征向量(0，1，1) T 构造矩阵 令 P( 1 ， 2 ， 3 )D( 1 2 ，2 2 3 ， 2 3 )，则 p -1 APD -1 ( 1 ， 2 ， 3 ) -1 A( 1 ， 2 ， 3 )DD -1 BD )解析：25.已知 n 阶矩阵 A 满足(AaE)(AbE)0，其中 ab，证明 A 可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证明 A 的特征值只能是 a 或 b 设 A 是 A 的特征值，则(a)(b)0，即 a 或 b 如果 b 不是 A 的特征值，则 AbE 可逆，于是由(AaE)(AbE)0 推出AaE0，即 A
25、aE 是对角矩阵 如果 b 是 A 的特征值，则A6E0设 1 ， 2 ， t 是齐次方程组(AbE)X0 的一个基础解系(这里 tnr(AbE)，它们都是属于 b 的特征向量取AbE 的列向量组的一个最大无关组 1 ， 2 ， k ，这里 kr(AbE)则 1 ， 2 ， k 是属于 a 的一组特征向量则有 A 的 ktn 个线性无关的特征向量组 1 ， 2 ， k ； 1 ， 2 ， t ，因此 A 可对角化)解析：26.A 是 n 阶矩阵，数 ab证明下面 3 个断言互相等价： (1)(AaE)(AbE)0 (2)r(AaE)r(AbE)n (3)A 相似于对角矩阵，并且特征值满足(a)
26、(b)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 a 和 b 都是 A 的特征值(因为如果 a 不是 A 的特征值，则 3 个断言都推出AbE如果 b 不是 A 的特征值，则 3 个断言都推出 AaE) (1) (2) 用关于矩阵的秩的性质，由(AaE)(AbE)0得到： r(AaE)r(AbE)n， r(AaE)r(AbE)r(AaE)(AbE)r(ba)E)n， 从而 r(AaE)r(AbE)n (2) (3) 记 k a ，k b 分别是 a，b 的重数，则有 k a nr(AaE) k b nr(AbE) 两式相加得 nk a k b nr(AaE)nr(AbE)n，于是其中“
27、”都为“”，从而和都是等式，并且 k a k b n kkn，说明 A 的特征值只有 a 和 b，它们都满足(a)(b)0 和都是等式，说明 A 相似于对角矩阵 (3) )解析：27.设 A 1 ，A 2 ，A N 都是 n 阶非零矩阵，满足 A i A j 证明每个 A i 都相似于对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对每个 A i ，取它的一个非零列向量，记作 n i (不必是 A i 的第 i 个列向量) 由条件知，对每个 i，A i i i ，当 ij 时，A i j 0即 1 ， 2 ， n 都是 A i 的特征向量，当 ij 时特征值为 1，否则为 0 下面证 1
28、， 2 ， n 线性无关设 c 1 1 c 2 2 c n n 0，用 A i 乘之，得 c i i 0，因为 i 0，所以 c i 0，i1，2，n这说明 1 ， 2 ， n 线性无关，从而 A i 相似于对角矩阵 作 P i ( i ， 1 ， i-1 ， i+1 ， n )，则 P i -1 A i P i )解析：28.构造正交矩阵 Q，使得 Q T AQ 是对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)先求特征值 EA (2)(6) A 的特征值为0，2，6 再求单位正交特征向量组 属于 0 的特征向量是齐次方程组 AX0 的非零解， A 得AX0 的同解方程组 求得一个
29、非零解为(1，1，1) T ，单位化得 1 (1，1，1) T 属于 2 的特征向量是齐次方程组(A2E)X0 的非零解， A2E 得 AX0 的同解方程组 求得一个非零解为(1，1，0) T ，单位化得 2 (1，1，0) T 属于 6 的特征向量是齐次方程组(A6E)X0 的非零解， A 得 AX0 的同解方程组 求得一个非零解为(1，1，2) T ，单位化得 3 *(1，1，2) T 作正交矩阵 Q( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQQ -1 AQ (2)先求特征值 EA (1) 2 (10) A 的特征值为 1，1，10 再求单位正交特征向量组 属于 1 的特征向量是齐次方程组
30、(AE)X0 的非零解， AE 得(AE)X0 的同解方程组 1 2 2 2 4 0， 显然 1 (0，1，1) T 是一个解第 2 个解取为 2 (c，1，1) T (保证了与 1 的正交性!)，代入方程求出 c4，即 2 (4，1，1) T 令 1 1 1 (0，1，1) T ， 2 是 2 2 (4，1，1) T 再求出属于 10 的特征向量是齐次方程组(A10E)X0 的非零解(1，2，2) T ，令 3 3 3 (1，2，2) T 3 作正交矩阵 Q( 1 ， 2 ， 3 ) 则 Q T AQQ -1 AQ )解析：29.设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都为 3，向量 1 (
31、1，2，1) T ， 2 (0，1，1) T 都是齐次线性方程组 AX0 的解 (1)求 A 的特征值和特征向量 (2)求作正交矩阵 Q 和对角矩阵，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)条件说明 A(1，1，1) T (3，3，3) T ，即 0 (1，1，1) T 是 A 的特征向量，特征值为 3又 1 ， 2 都是 AX0 的解说明它们也都是 A 的特征向量，特征值为 0由于 1 ， 2 线性无关，特征值 0 的重数大于 1于是 A 的特征值为 3，0，0 属于 3 的特征向量：c 0 ，c0 属于 0 的特征向量：c 1 1 c 2 2 ；c 1 ，c 2 不都为 0 (2)将 0 单位化，得 0 对 1 ， 2 作施密特正交化，得 作 Q( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q 是正交矩阵，并且 Q T AQQ -1 AQ (3)建立矩阵方程 A( 0 ， 1 ， 2
