1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=0二、填空题2 设向量 1=(1，2，1) T 和 2=(1，1，2) T 都是方阵 A 的属于特征值 =2 的特征向量，又向量 =1+22，则 A2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 设 A，B 为同阶方阵，(1)如果 A，B 相似，试证 A，B 的特
2、征多项式相等；(2) 举一个 2 阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；(3) 当 A，B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立4 设实对称矩阵 求可逆矩阵 P，使 P 一 1AP 为对角矩阵，并计算行列式AE 的值4 设矩阵 已知线性方程组 Ax= 有解但不唯一，试求：5 a 的值；6 正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵7 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=3=1，对应于 1 的特征向量为，求 A7 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1=(一 1，一 1，1) T， 2=(1，一 2，一 1)T8 求
3、 A 的属于特征值 3 的特征向量；9 求矩阵 A9 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(一 1，2，一 3)T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量10 求 A 的另一特征值和对应的特征向量；11 求矩阵 A11 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2，且 1=(1，一 1，1)。 是A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A5 一 4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵12 验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；13 求矩阵 B13 设
4、三阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，对应的特征向量依次为14 将 用 1， 2， 3 线性表出；15 求 An(n 为自然数 )16 已知 3 阶实对称矩阵 A 满足 trA=一 6，AB=C ，其中 求 k的值与矩阵 A17 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 1，且 1=(1，a+1，2)T， 1=(a 一 1，一 a，1) T。分别是 1， 2 对应的特征向量 又 A 的伴随矩阵 A*有一个特征值为 A*,属于 0 的特征向量为 0=(2，一 5a，2a+1) T试求 a、 0 的值，并求矩阵 A17 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2，且
5、18 求 A 的所有特征值与特征向量；19 求矩阵 A20 设方阵 A 满足条件 ATA=E，其中 AT 是 A 的转置矩阵，E 为单位阵试证明 A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 121 没 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值， 1， 2 分别是 A 的对应于1， 2 的特征向量，证明 1+2 不是 A 的特征向量22 设 0 为可逆矩阵 A 的一个特征值，证明 00，且 是 A 的逆矩阵 A 一 1 的一个特征值 是 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值23 设 ， 均为三维单位列向量，并且 T=0，若 A=T+T，则必有非零列向量x，使 Ax=0，并且 A 与
6、 A 相似，写出对角矩阵 A24 设 A 为 3 阶方阵，且有 3 个相异的特征值 1， 2， 3，对应的特征向量依次为1,2,3，令 =1+2+3，证明：，A ，A 2 线性无关25 设 A，B 均为 n 阶方阵，A 有 n 个互异特征值，且 AB=BA证明：B 能相似于对角矩阵26 证明 n 阶矩阵 相似26 设 A 为 3 阶矩阵， 1,2,3 是线性无关的 3 维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+3327 求矩阵 B使得 A(1,2,3)=(1,2,3)B；28 求矩阵 A 的特征值；29 求可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP 为对角矩阵29 已知矩阵 A
7、 与 B 相似，其中30 求 x 与 y；31 求正交矩阵 Q，使得 Q 一 1AQ=B31 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(一 1，2，一 1)T， 2=(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解32 求 A 的特征值与特征向量；33 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A；34 求 A 及 ，其中 E 为 3 阶单位矩阵34 设 3 阶方阵 A=(1,2,3)有 3 个不同的特征值，且 3=1+22，试证35 r(A)=2；36 若 1+2+3=，求 Ax= 的通解考研数学二（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）模拟试卷 2 答
8、案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查特征值、特征向量的定义和线性相关性的判别法利用属于不同特征值的特征向量线性无关即得设 k11+k2A(1+2)=0，得(k 1+1k2)1+2k22=0，由于 1， 2 是属于 A 的不同特征值的特征向量，故 1， 2 线性无关，从而 所以 1， A(1+2)线性无关 即选项 B 正确【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化二、填空题2 【正确答案】 (12，16，20) T【试题解析】 本题考查矩阵特征值与特征向量的定义和向量线性表示及矩阵的运算因为 A=A1+2
9、A2=21+42=2，所以【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 (1)若 A B，那么存在可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=B，故E 一B=EP 一 1AP= P 一 1EPP 一 1AP= P 一 1(E 一 A)P=P 一1E-A P=P 一 1PEA= E-A，即 A，B 的特征多项式相等(2)令 ，那么EA= 2=EB，但 A，B 不相似否则，存在可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=B=O从而 A=POP 一 1=O，矛盾(3)由A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等
10、，记特征多项式的根为 1， n，则有 即存在可逆矩阵 P，Q使 于是(PQ 一 1)一 1A(PQ 一 1)=B由 PQ 一 1 为可逆矩阵知，A 与 B 相似【试题解析】 本题主要考查同阶方阵相似的定义，相似的必要非充分条件及两个实对称矩阵相似的充分必要条件【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化4 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为由此得矩阵 A 的特征值1=2=a+1， 3=a2对于特征值 =a+1，可得对应的两个线性无关的特征向量1=(1， 1，0) T， 2=(1，0，1) T对于特征值 3=a 一 2，可得对应的特征向量3=(一 1，1， 1)T令矩阵【试题解析】
11、 本题主要考查的知识点是把实对称矩阵化为对角矩阵的方法，矩阵特征值、特征向量的求法及相似矩阵的性质由题设可求出矩阵 A 的 3 个线性无关的特征向量，于是可求出可逆矩阵 P，使 P 一 1AP 为对角矩阵由A E=P 一 1APP 一 1P=P 一 1AP-E，可知只要求出对角矩阵 P 一 1AP，就可以计算出A 一 E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化5 【正确答案】 对线性方程组 Ax= 的增广矩阵作初等行变换，有因为方程组 Ax= 有解但不唯一，所以 r(A)=r(A，)3，故 a=一 2【知识模块】 矩阵的特征值
12、和特征向量及方阵的相似对角化6 【正确答案】 由(1)，有 矩阵 A 的特征多项式为故 A 的特征值为 1=3， 2=一 3， 3=0，对应的特征向量分别是 1=(1，0，一 1)T， 2=(1，一 2，1) T， 3=(1，1，1) T特征向量1,2,3 已正交，将 1,2,3 单位化，得【试题解析】 本题主要考查非齐次线性方程组有解的判别方法及用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法 由线性方程组 Ax=有无穷多个解，知 r(A)=，(A，)3，利用此结论求得 的值再计算矩阵 A 的特征值、特征向量，把线性无关的特征向量正交化、单位化，可得正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵【知识模块】
13、矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化7 【正确答案】 对应于 2=3=1 有两个线性无关的特征向量，设为 2， 3，它们都与 1 正交，故应有 分别取 X1=1，0，得 由于 2 与 3 已正交，故只需将 1， 2， 3，单位化，得求出 则 Q 一1=QT因此【试题解析】 利用实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交，求出 2 对应的线性无关的特征向量，然后进行正交化、单位化得到正交矩阵 P 利用A=QAQT 即可也可直接令 P=(1， 2， 3)，由 A=PAP 一 1 得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化8
14、【正确答案】 设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T因为实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交，所以 1T3=0 和 2T3=0，即x1，x 2，x 3 是齐次线性方程组 的非零解，解得其基础解系为(1，0，1)T因此 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3=k(1，0，1) T，其中 k 为任意非零常数【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化9 【正确答案】 令矩阵【试题解析】 本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题，即由矩阵 A 的特征值和特征向量如何求 A利用实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量均正交，可求得A 的属于特征值 3 的特征向
15、量，设为 3，记 P=(1,2,3)，有 ，故 A=PAP 一 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化10 【正确答案】 由 r(A)=2，所以 A 的另一特征值 3=0设属于 3=0 的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，则有 3Tx=0 2Tx=0即 解得此方程组的基础解系为(一 1，1，1) T，即 A 的属于特征值 3=0 的全部特征向量为 kx=k(一 1，1，1)T(k 为任意非零常数 )【试题解析】 本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题，即由 A 的特征值和特征向量，如何求 A本题不仅要求考生知道实对
16、称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交这一事实，还要求考生能够正确地求解可逆矩阵的逆矩阵由 r(A)=2，可知A 的另一特征值为 3=0由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，求出属于特征值 0 的特征向量，于是可求出矩阵 A也可以根据特征向量的定义以及矩阵的迹等于特征值之和求 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化11 【正确答案】 令矩阵 P=(1， 2，x)，则【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化12 【正确答案】 由 A1=11 知 B1=(A5 一 4A3+E)1=(15 一 413+1)1=一
17、 21，故1 是矩阵 B 的属于特征值一 2 的特征向量 类似，矩阵 B 的其他两个特征值为i5 一 4i3+1(i=2，3) 所以 B 的全部特征值为一 2，1，1 因为 A 是实对称矩阵，故 B 也是实对称的若设(x 1，x 2，x 3)T 为 B 的属于特征值 1 的特征向量，则必有(x1，x 2，x 3)1=0，即(x 1，x 2，x 3)T 与 1 正交所以有 x1x2+x3=0，解此方程得其基础解系为 2=(1，1，0) T， 3=(一 1，0，1) T 故矩阵 B 的属于特征值一 2 的全部特征向量为 k11(k1，为不等于零的任意常数 )； 属于特征值 1 的全部特征向量为k2
18、2+k33(k2，k 3 是不全为零的任意常数)【试题解析】 若 是 n 阶矩阵 A 的特征值 f(x)是 x 的 m 次多项式，则 f()是 f(a)的特征值，且矩阵 A 的属于 的特征向量 ，也是 f(a)的属于 f()的特征向量这是矩阵的重要性质所以第(1)问就是以具体的矩阵来验证上述结论第(2)问则是常见的由矩阵 B 的特征值、特征向量求出 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化13 【正确答案】 令【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化14 【正确答案】 设 对此方程组的增广矩阵作初等行变换 得唯
19、一解(2，一 2，1) T，故有 =1 一 2+3【试题解析】 本题考查相似矩阵的性质，运用 A 相似于对角阵去计算 An【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化15 【正确答案】 由于 Ai=ii，故 Ani=ii；因此 An=An(21 一 22+3)=2(An1)=2(An2)+An【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化16 【正确答案】 由题设 AB=C 可知 A(1，2，1) T=0，从而 1=0 为 A 的特征值，1=(1， 2，1) T 为相应的特征向量；又 A(1，k，1) T=(一 12，一 12k，一 12)T=一12(1， k，1) T，由此
20、可知 2=一 12 为矩阵 A 的特征值， 2=(1，k，1) T 为相应的特征向量，因为 1+2+3=trA=一 6，所以 3=6又因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，故有 1T2=0，即(1，2，1)(1 ， k，1) T=0，解得 k=一 1设 A 的属于 3=6 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，则显然 1T3=0， 2T3=0，即得到方程组： 求得基础解系 3=(一 1，0，1) T，即为 A 的属于 3=6 的特征向量由 A1=01，A 2=一 122，A 3=63，得 A(1,2,3)=(0，一 122，6 3)，即故【试题解析】 本题考查相似对角化的逆问题用
21、特征值与特征向量的定义Ax=x，求特征值与特征向量即若 Ax=0 有非零解 x0知 0 是 A 的特征值，x 0是 A 的关于 0 特征值对应的特征向量，若 Ax=x，则 是 A 的特征值，非零列向量 x 是 A 的关于特征值 A 的特征向量还可用 1+2+3=trA 求特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化17 【正确答案】 由于A= 123=一 2，故 A 可逆由于 0 是 A*的属于 0 的特征向量所以 A*0=00于是 AA*0=0A0，即A 0=0A0，亦即一20=0A0故 从而 是 A 的特征值， 0 是 A 的关于 对应的特征向量又由于 1， 2 为实对称矩
22、阵 A 的不同特征值的特征向量，故 1， 2 正交，即1T2=0，得 a=1无论 a=1 还是 a=一 1，则有 0 与 1， 2 中任何一个都线性无关，所以 0 应是矩阵 A 的属于 3 的特征向量，于是有 从而 0=2且 0 与 1正交，即 0T1=5a2+a4=0，则 或 a=一 1，于是 a=一 1， 0=2【试题解析】 本题考查实对称矩阵相似对角矩阵的逆问题运用实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量必正交的性质来确定 a 与 0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化18 【正确答案】 由题设知 所以，由特征值与特征
23、向量的定义， 1=1 是 A 的一个特征值，对应的一个特征向量为 1=(1，0，1) T 2=一 1 是 A 的又一个特征值，对应的一个特征向量为 2=(1，0，一 1)T，又 r(A)=2，所以 A 的另一特征值 3=0，设 3 对应的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，由题设知，1T3=0， 2T3=0，即 解得基础解系为 3=(0，1，0) T故 A 的特征值为=1，=一 1，=0 依次对应的特征向量为 k1(1，0，1) T，k 2(1，0，一 1)T， k3(0，1， 0)T，其中 k1，k 2，k 3 均是不为 0 的任意常数【试题解析】 本题考查抽象实对称对角化的逆问题所
24、涉及的知识点是矩阵 A 不可逆 是 A 的特征值；实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量必正交【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化19 【正确答案】 由 A(1,2,3)=(1，一 2，0)，有 A=(1，一 2，0)( 1,2,3)一 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化20 【正确答案】 设 x 是 A 的实特征向量(非零)，它所对应的特征值为 ，故有Ax=x(Ax) T(Ax)=xT(ATA)x=xTEx=xTx(据已知)，因此，有 xTx=(Ax)T(x)=A2xTx， 即 (1 一 2)xTx=0由于 xTx=x20，故 12=0，即=1【试题解
25、析】 本题利用特征值、特征向量的定义，通过矩阵运算而得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化21 【正确答案】 由 A1=11，A 2=22，有 A(1+2)=A1+A2=11+22 若1+2 是 A 的特征向量，则应存在数 ，使 A(1+2)=(1+2) =1+2，从而1+2 =11+22，即( 1)1+(2)2=0 因为 1， 2 线性无关，所以=1=2，这与 12 矛盾 因此， 1+2 不是 A 的特征向量【试题解析】 本题主要考查矩阵特征值、特征向量的概念和属于不同特征值的特征向量线性无关这一知识点利用反证法可证明本题【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角
26、化22 【正确答案】 设 00 是 A 的对应于特征值 0 的特征向量，则有 A0=00 (*)若 0=0，则(*) 式为 A0=0，且 00，这就是说，线性方程组 Ax=0 有非零解 0，故A=0 与 A 可逆矛盾因此 00由(*)式可得 是 A 一 1 的一个特征值又因 A*=AA -1，故有 从而 是 A*的一个特征值【试题解析】 本题考查的主要知识点有：矩阵的特征值、特征向量，矩阵与其伴随矩阵之间的关系等【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化23 【正确答案】 因为 ， 为单位向量，且 T=0，故 的秩为 2，从而有x0，使 即 Tx=0， Tx=0，于是有 Ax=(T
27、+T)x=Tx=Tx=0又A=(T+T)=T+T=，A=( T+T)=T+T=，因此，A 的特征值为 1，1，0，其对应的特征向量为 ，x，且 ， ，x 线性无关，故存在可逆矩阵 JP=(，x)，使【试题解析】 本题考查抽象矩阵的特征值与特征向量的求法，特征值与特征向量的性质和矩阵相似对角化的条件【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化24 【正确答案】 因为 Ai=ii(i=1，2，3)，则 A=A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33，A 2=A(A)=A(11+22+33)=121+222+323设存在常数 k1，k 2，k 3，使 k1+k2A+k3A2=0，
28、进而得(k1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3=0由于 1,2,3 线性无关，于是有 其系数行列式 故k1=k2=k3=0，所以， ，AB，A 2 线性无关【试题解析】 本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化25 【正确答案】 因 A 有 n 个互异特征值，所以存在可逆矩阵 P，使其中 1， 2， n 是 A 的特征值，且 ij(ij)于是，根据题设 AB=BA，得(P 一 1AP)(P 一 1BP)=P 一 1ABP=P 一 1BAP=(P 一 1BP
29、)(P 一 1AP)，即 A(P 一 1BP)=(P 一 1BP)A令 P 一 1BP=(cij)nn，代入上式，有比较两边元素得 icij=jcij，即( ij)cij=0由此有 cij=0(ij)，故【试题解析】 本题考查矩阵相似对角化的条件【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化26 【正确答案】 设矩阵 显然矩阵 A 的每行元素之和为 n，所以 n 是 A 的一个特征值，又 A 的秩 r(A)=1，所以 A 有 n 一 1 个0 特征值而 A 又是实对称矩阵，所以 A 可相似的对角矩阵 A即又由 得 B 的 n 个特征值为 1=n， 2=3= n=0，而当 2=3= n=
30、0 时，有显然，r(0EB)=1 ，故 B 的 n1 重特征值 0 有 n1个线性无关的特征向量，所以，B 也可相似对角化，且 再根据相似矩阵具有传递性，知 A 一 B【试题解析】 本题考查矩阵相似对角化的有关理论综合运用实对称矩阵必可相似对角矩阵；n 阶矩阵每行元素之和为 n，则 n 为该矩阵的一个特征值；n 阶矩阵的秩为 1，则该矩阵必有 n1 个特征值为 0；A 一 A 对于 A 的 k 重特征值必有r(A)=nk相似矩阵具有传递性：若 A 一 B，B 一 C，则 AC【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化27 【正确
31、答案】 由题设条件，有 可知【试题解析】 本题主要考查矩阵的基本运算相似矩阵的性质(相似矩阵有相同的特征值)，矩阵的特征值与特征向量的计算以及矩阵对角化的方法由题设，容易求得矩阵 B由 A 与 B 相似，要求矩阵 A 的特征值，仅需求矩阵 B 的特征值，最后求可逆矩阵 P 即可【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化28 【正确答案】 因为 1,2,3 是线性无关的 3 维列向量，可知矩阵 C=(1,2,3)可逆，所以 C 一 1AC=B，即矩阵 A 与 B 相似由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值由 得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A的特征值 1=2=1， 3=4【知识模块
32、】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化29 【正确答案】 由题设，有 A(1 一 2)=1 一 2，A(2 1 一 3)=21 一 3，A( 2+3)=4(2+3)，从而 1 一 2，2 1 一 3 是 A 的属于特征值 1 的两个特征向量， 2+3是 A 的属于特征值 4 的特征向量又 1 一 2，2 1 一 3 线性无关，从而1 2，2 1 3， 2+3 线性无关，故 P=(1 一 2，2 1 3， 2+3)为所求的可逆矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化30 【正确答案】 因 A 与 B 相似，故E-A=
33、EB，即整理得 ( 一 2)(2x1)=( 一 2)2+(1 一 y)y比较上式两边 同次幂的系数可得 x=0，y=1，此时【试题解析】 本题主要考查矩阵相似的性质及利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法由矩阵 A 与 B 相似，知它们有相同的特征多项式，由此可求出 x 和y，然后用常规方法求出正交矩阵 Q，使 QAQ=B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化31 【正确答案】 由于 B 是对角矩阵，其特征值为 1=2， 2=1， 3=一 1，而 A 与B 相似，故它们也是 A 的特征值对于特征值 1=2，由 得 A 的属于 1=2 的特征向量可取为 1=(1，0，0) T对
34、于特征值 2=1，由得 A 的属于 2=1 的特征向量可取为 =(0，1，1)T对于特征值 3=一 1，由 得 A 的属于 3=一 1 的特征向量可取为 3=(0，1，一 1)T显然， 1， 2， 3 已正交，再单位化，得则 Q 可逆，且有 Q 一 1AQ=B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化32 【正确答案】 由题设知 1， 2 是 Ax=0 的两个解，所以有 A1=0，A 2=0即A1=01，A 2=02而 1， 2 线性无关，所以 1=2=0 是 A 的二重特征值，1， 2 为 A 的属于特征值 0 的两个线性无关
35、的特征向量又矩阵 A 的各行元素之和均为 3，即 由特征值与特征向量的定义，知 3=3 是 A 的一个特征值， 3=(1， 1，1) T 为 A 的属于特征值 3 对应的一个特征向量于是，A 的全部特征值为 1=2=0， 3=3属于特征值 0 对应的全部特征向量 k11+k22(k1，k 2 是不全为零的任意常数)，属于特征值 3 对应的全部特征向量 k33(k3 是不为零的任意常数)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化33 【正确答案】 对 1， 2 正交化，令 b1=1=(一 1，2，一 1)T，再分别将 b1，b 2， 3 单位化，得则 Q 为正交矩阵，且QTAQ=A【
36、知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化34 【正确答案】 因 QTAQ=A，且 Q 为正交矩阵，故 A=QAQT【试题解析】 本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题 由 1， 2 是线性方程组Ax=0 的解，知 1， 2 是属于 0 的特征向量又由 A 的各行元素之和为 3，知(1，1， 1)T 是 A 的属于 3 的特征向量于是 A 的所有的特征值、特征向量均求出，从而本题就成为一个常规题了【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化35 【正确答案】 由于 3=1+22 知 r(A)3，所以 0 是 A 的一个特征值，又由于A 的 3 个特征值各不相同，故 A 可对角化，且 A 有两个非零特征值，从而 r(A)=2所以 Ax=0 的基础解系只有一个线性无关的解向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化36 【正确答案】 由 1+22 一 3=0 得【试题解析】 本题考查向量组线性相关和矩阵特征值的概念和性质，矩阵相似对角化的条件以及非齐次线性方程组通解的结构【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化
